15.3.Напряжения и усилия в пластинке

Для вычисления нормальных напряжений _x и _y воспользуемся законом Гука:

_x=(_x – _y)/E; _y=(_y – _x)/E.

Учитывая (13.1), получим выражения для определения напряжений через функцию прогибов срединной плоскости пластинки:

_x= – Ez [ ²w/x²+ ²w/y²] /(1 – ²); _y= – Ez [ ²w/y²+ ²w/x²] /(1 – ²).

После подстановки угловой деформации из (13.1) в формулу закона Гука для касательных напряжений, получим:

_xy=E_xy/[2(1+)]=-Ez/(1+)[ ²w/xy].

Касательные напряжения в двух других плоскостях, согласно первой гипотезе, равны нулю. Однако такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез. В действительности эти касательные напряжения не равны нулю, поскольку это противоречит условиям равновесия. Касательные напряжения в плоскостях yz и zx определяются по зависимостям:

_yz=E/2(1-²) [(h²/4-z²)/y ²w]; _zx=E/2(1-²) [(h²/4-z²)/x ²w],

где обозначено  ²= ²w/x²+ ²w/y ².

На рис. 13.2 показаны эпюры этих напряжений по толщине пластинки.

Рис. 15.68

15.4.Усилия в пластинке

Исследуем, какие усилия соответствуют напряжениям в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной плоскости. На рис. 13.3 изображен бесконечно малый элемент пластинки.

Изгибающий момент M_x, приходящийся на единицу длины рассматриваемого сечения и представляющий собой сумму элементарных моментов _xdzz:

.

Рис. 15.69

Величина D=Eh³/[12(1-²)] называется цилиндрической жесткостью.

Аналогично подсчитываются изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы, возникающие в сечениях пластинки под действием поперечной нагрузки (рис. 13.4):

M_y= –D(  ²w/y ²+  ²w/x ²); H= –D(1 – )  ²w/xy; Q_x= –D/x  ²w; Q_y= –D/y  ²w.

Рис. 15.70

15.5.Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки

Рассмотрим вырезанный из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент (рис. 13.5).

На его противоположных гранях действуют усилия, отличающиеся друг от друга на величину приращения исследуемого усилия на бесконечно малом расстоянии, определяемом размерами сторон выделенного элемента.

Для того чтобы рассматриваемый элемент срединной плоскости находился в равновесии, должны удовлетворяться шесть условий равновесия: три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей. При этом все усилия следует умножать на длину грани, по которой они действуют.

Проекция всех сил на ось z дает:

Q_x/x + Q_y/y = –q.

Уравнения моментов всех сил относительно осей x и y:

M_x/x + H/y = Q_x;

M_y/y+H/x=Q_y.

Рис. 15.71

Исключая из последних уравнений поперечные силы, получим:

 ²M_x/x² + 2 ²H/xy + ²M_y/y ²= – q.

Подставляя в это уравнение выражения для изгибающих и крутящего моментов, выраженные через прогиб срединной плоскости пластинки, получим:

D( ⁴w/x⁴+2 ⁴w/x²y²+ ⁴w/y⁴)=q.

Это основное уравнение изгиба пластинки носит название уравнения Софи Жермен.

16.Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях

16.1.Понятие об усталостном разрушении материала и его причины

Многие детали машин и элементы сооружений в процессе эксплуатации подвергаются действию нагрузок, меняющихся во времени. Если уровень напряжений, вызванный этими нагрузками, превышает определенный предел, то в материале начинают происходить необратимые процессы накопления повреждений, которые приводят к образованию трещины.

Процесс постепенного накопления повреждений, приводящих к образованию трещины и разрушению, называется усталостью материала. Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью.

Механизм процесса усталостного разрушения металлов неразрывно связан со структурной неоднородностью, заключающейся в случайных вариациях размеров и очертаний отдельных зерен металла, их кристаллографической ориентации, в наличии различных включений, дефектов кристаллической решетки. Вследствие указанной неоднородности при переменных напряжениях, даже не превосходящих предела пропорциональности, в отдельных неблагоприятно ориентированных зернах возникает пластическая деформация. Она связана с деформациями сдвига по некоторым кристаллографическим плоскостям. При определенном уровне напряжений прочность некоторых кристаллитов (зерен) нарушается, следствием чего является образование микротрещин.