7.Динамика твердого тела

7.1.Понятие о механической системе

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело рассматривается в механике как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек. Причем абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической системы, так как расстояния между материальными точками остается неизменным. Механические системы, расстояния между точками которых могут меняться, называются изменяемыми. К ним относятся любые машины и механизмы.

Если рассматривать какую-либо механическую систему, то силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему, называются внешними, а силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел этой же системы, называются внутренними.

Внешние силы принято обозначать с индексом e: F_e, R_e,, а внутренние силы – с индексом i: F_i.

Рис. 7.31

Так как, согласно четвертой аксиоме динамики, внутренние силы взаимодействия между отдельными точками механической системы (рис. 7.1) попарно равны и направлены противоположно вдоль прямых, соединяющих эти точки, то главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю, причем если рассматриваемая механическая система неизменяемая, т.е. представляет собой абсолютно твердое тело, то внутренние силы уравновешиваются; если же рассматривается изменяемая механическая система, то внутренние силы взаимно не уравновешиваются, так как приложенные к разным телам, они могут вызвать их взаимное перемещение.

Движение механической системы зависит не только от действующих сил, оно зависит также, во-первых, от суммарной массы системы

m=m_k , (7.1)

где m – масса механической системы и m_k – массы ее отдельных точек, и, во-вторых, от положения центра масс системы.

Движение центра масс определяется уравнением

Fe_=ma_c , (7.2)

где F_e  результирующая всех внешних сил, приложенных к точкам системы; m масса системы и a_c  ускорение центра масс системы. Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и приложены все внешние силы. Используя уравнение (7.2) при решении задач, следует иметь в виду, что движение центра масс характеризует перемещение системы только при ее поступательном движении.

7.2.Принцип Даламбера

Для рассмотрения движения несвободных систем используется специальный принцип, получивший название принципа Даламбера.

Уравнение движения материальной точки массой m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид:

ma=F+R . (7.3)

Сила F является равнодействующей активных сил, R – равнодействующая реакций связей и a – ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета. Назовем силой инерции материальной точки произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. Ф=-ma. Тогда уравнение (7.3) примет вид:

F+R+ Ф=0. (7.4)

Так как силы F, R и Ф образуют систему сходящихся сил и удовлетворяют условию (7.4), то они являются системой сил, эквивалентной нулю:

{F,R,Ф}  0. (7.5)

Уравнение (7.4) выражает принцип Даламбера для точки: при движении материальной точки активные силы, реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Рассмотрим систему N материальных точек. К каждой точке системы в общем случае приложена равнодействующая активных сил и равнодействующая реакций связей. Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получим:

Fk+Rk+Фk=0, (k=1,…,N). (7.6)

N векторных условий (7.6) выражают принцип Даламбера для системы: при движении механической системы активная сила и реакция связей вместе с силой инерции составляют равновесную систему сил для каждой точки системы.