12.Геометрические характеристики плоских сечений

При расчетах элементов конструкций используются различные геометрические характеристики. Так, например, при растяжении – сжатии использовалась площадь поперечного сечения стержня. Однако, при других деформациях эта геометрическая характеристика не является достаточной. При изгибе стержня прямоугольного сечения существенным является направление плоскости действия силы по отношению к ориентации осей симметрии сечения (рис. 12.1).

Рис. 12.48

Следовательно, при одной и той же площади поперечного сечения стержня, но при разном расположении его стержень сопротивляется изгибу по разному. При изгибе важной геометрической характеристикой является статический момент площади сечения.

Статическим моментом сечения относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до данной оси, которая распространяется а всю площадь (рис. 12.2).

Рис. 12.49

На основании теоремы Вариньона следует, что

Статический момент площади А относительно какой-либо оси равен произведению всей площади на расстояние от ее центра тяжести до этой оси. На основании последних выражений получим формулы для определения координат центра сечения:

12.1.Моменты инерции сечения

Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояний до данной оси, которая распространяется на всю площадь:

Полярный момент инерции J_p равен сумме осевых моментов инерции J_x и J_y относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей х и у, проходящих через полюс О:

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат называется сумма произведений элементарных площадей DA на их расстояния до этих осей, которая распространяется на всю площадь сечения А:

Примеры:

Прямоугольное сечение (рис. 12.3):

Рис. 12.50

Треугольное сечение (рис. 12.4):

Рис. 12.51

Круглое сечение (рис. 12.5):

Рис. 12.52

Кольцевое сечение (рис. 12.6):

Рис. 12.53

12.2.Момент инерции при параллельном переносе осей

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называется центральными. Момент инерции относительно центральной оси центральным моментом инерции.

Теорема: Момент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Рис. 12.54

Для произвольной плоской фигуры (рис. 12.7), площадь которой А, центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси х равен J_x.

Определим момент инерции фигуры относительно оси х₁, параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии а:

Первое слагаемое правой части – момент инерции фигуры относительно оси второе слагаемое содержит статический момент площади относительно оси и он равен нулю, т.к. ось – центральная; третье слагаемое после интегрирования будет равно а²А. В результате получим:

Этой формулой можно пользоваться только в тех случаях, когда одна из параллельных осей – центральная.

Из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси.

Пользуясь теоремой, можно вывести формулу для определения момента инерции прямоугольника относительно оси х₁, проходящей через основание (рис. 12.8).

Пример: Определить главные центральные моменты инерции сечения (рис. 12.9), если задано в₁ = 1,5 см, h₁ = 12 см, в₂ = 12 см, h₂ = 3 см.

Рис. 12.55

Оси, относительно которых моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения, называются главными осями инерции.

Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Решение: Определим положение центра тяжести сечения, разделенного на прямоугольники 1 и 2:

Поскольку заданное сечение симметрично относительно оси у, то эта ось является одной из главных центральных осей.

Моменты инерции и прямоугольников 1 и 2 относительно собственных центральных осей х₁ и х₂:

Главный центральный момент инерции J_х относительно центральной оси .