8.Элементы аналитической механики
Аналитическая механика устанавливает общие, единые методы изучения движения и равновесия, применяемые для всех материальных систем. Эти методы представляют собой исследования средствами математического анализа всех возможных движений материальной системы. Связями называют такие условия, которым должны удовлетворять в процессе движения системы координаты точек, скорости и их ускорения при действии на точки любых активных сил. Связи могут выражаться какими-то соотношениями между координатами точек, их производными по времени (компонентами скоростей), вторыми производными (компонентами ускорений) и даже производными высших порядков. Соотношения, выражающие наложенные связи, могут представлять собой уравнения или неравенства.
В аналитической механике применяют аксиому о связях, рассмотренную в статике, т.е. считают, что влияние связей на положение и движение материальных точек осуществляется посредством действия сил реакций связей.
Связи можно подразделить на два класса: голономные и неголономные связи.
Голономными называют связи, выражающиеся конечными уравнениями или неравенствами относительно координат, или же интегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат. Голономные связи часто называют геометрическими связями.
Неголономными называют связи, выражающиеся неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, т.е. уравнениями, содержащими не только координаты точек системы, но и их производные по времени. Неголономные связи также называют кинематическими, так как они налагают условия не только на координаты точек системы, но и на их скорости и ускорения.
Связи, не зависящие от времени, называют стационарными.
8.1.Обобщенные координаты
При решении задач механики независимые декартовы координаты обычно выражают через некоторые другие геометрические параметры. В кинематике, например, применяются криволинейные координаты. В аналитической механике подобные параметры называют обобщенными координатами. Обобщенными координатами могут являться какие-то углы, отрезки или другие величины.
Числом степеней свободы системы с голономными связями называют число независимых обобщенных координат, через которые можно выразить декартовы координаты всех точек системы.
Для определения траектории и закона движения по ней каждой точки системы достаточно сначала найти в функциях времени все обобщенные координаты qi, а затем по формулам, выражающим декартовы координаты точек системы через обобщенные координаты, можно выразить все декартовы координаты в функциях времени, т.е. установить движение системы. Для определения обобщенных координат системы необходимо иметь дифференциальные уравнения движения относительно qi. В аналитической динамике выводятся правила составления таких уравнений.
8.2.Возможные перемещения
Рассмотрим понятие возможного перемещения для точки в случае голономных связей (рис. 8.1).
Условие связи выражается в том, что точка В находится на некоторой поверхности. Рассматривая в некоторый момент времени положение точки при данной связи, можно мысленно представить, какие элементарные (малые) перемещения допускаются данной связью.
Возможным перемещением точки называют мыслимое бесконечно малое перемещение, допускаемое связями, наложенными на точку в данный момент времени (r).
Рис. 8.39
Действительным перемещением точки за время dt называют такое элементарное перемещение, которое она фактически совершает в пространстве за время dt при заданных связях. Если связь, наложенная на точку, не зависит от времени, то каждое из действительных перемещений, которое совершает точка, совпадает с одним из возможных перемещений. Если к точке приложена сила F, то учитывая возможные перемещения точки из данного ее положения, допускаемые связями, можно вычислить величину элементарной работы силы на том или ином возможном перемещении. Эта работа и является элементарной работой силы.
Идеальными связями механической системы называют такие связи, при которых сумма элементарных работ сил реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении системы.