7.3.Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело (рис. 7.2) под действием внешних сил F_ek вращается вокруг оси OZ с угловым ускорением . Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZ M_ez=M_z(F_ek) называется вращающим моментом.

Найдем зависимость между угловым ускорением  тела и действующим на него вращающим моментом M_ez. Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек с массами m_k. При вращении тела каждая из этих точек движется по окружности радиуса _k с ускорением a_k , которое разложим на касательное a_k и нормальное a_kn ускорения.

Рис. 7.32

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инерции: касательную Ф_k^ =–ma_k^ и нормальную Ф_kⁿ =–ma_kⁿ. Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакций связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю:

M_ezФ_k^_k=0. (7.7)

(моменты сил Ф_kⁿ относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось). Касательная сила инерции Ф_k^=m_k_k , где   угловое ускорение тела. Подставляя значение сил инерции в уравнение (7.7), получим:

M_ez=m_k_k².

Величина m_k_k²=J_z, равная сумме произведений масс точек на квадрат их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси. Введя в последнее равенство принятое обозначение, получим основное уравнение динамики вращающегося тела:

M_ez=J_z . (7.8)

Момент инерции выражает меру инертности тела при вращательном движении. Выражению J_z можно придать интегральную форму:

J_z=v_k2dm_k . (7.9)

Из формулы (7.9) следует, что значение момента инерции зависит главным образом от распределения массы тела относительно оси вращения (рис. 7.3).

На рисунке изображены три колеса одинакового диаметра и массы, но различной формы. Ввиду того, что момент инерции тела складывается из элементарных моментов инерции m_k_k² отдельных точек, ясно, что при одинаковой массе из трех колес момент инерции второго наибольший, а третьего – наименьший J₂J₁>J₃. Иногда для упрощения расчетов используют понятие радиуса инерции тела , откуда i_z²=J_z/m, и тогда момент инерции тела

J_z=mi_z². (7.10)

Рис. 7.33

7.4.Моменты инерции простейших однородных тел

Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 7.4).

Рис. 7.34

Принимая во внимание однородность стержня и постоянство поперечного сечения по всей длине, учтя, что =m/l – масса единицы длины стержня, получим:

J_z= l³/3.

Подставив вместо  ее значение m/l , получим J_z=ml²/3.

Момент инерции этого же стержня относительно оси z_c, проходящей через середину стержня (рис. 7.5).

Рис. 7.35

Ось z_c называется центральной, так как проходит через центр тяжести тела. Момент инерции для этого случая определяется по формуле:

J_zc=ml²/12.

Для моментов инерции тела относительно параллельных осей существует зависимость (теорема Гюйгенса):

J_z=J_zc+me²,

где J_z – момент инерции относительно данной оси; J_zc – момент инерции относительно центральной оси, параллельной данной; m – масса тела и e – расстояние между осями.

Момент инерции тонкой круглой однородной пластинки относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости пластинки (рис. 7.6).

Рис. 7.36

Масса пластинки m, радиус пластинки r. Момент инерции пластинки определяется зависимостью: J_zc=mr²/2.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра массой m относительно его геометрической оси (рис. 7.7).

Определяется по формуле J_zc=mr²/2, так как цилиндр можно представить состоящим из тонких однородных дисков одного и того же радиуса r.

Момент инерции полого цилиндра массой m, относительно геометрической оси z выражается формулой:

J_z=m(r²+r₀²)/2,

где r – наружный радиус, а r₀ – внутренний радиус цилиндра (рис. 7.8).

Рис. 7.37

Рис. 7.38