14.3.Влияние способа закрепления концов стержня на значение критической силы

Формула Эйлера получена для шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие способы закрепления концов (рис. 12.4).

Рис. 14.65

Критическая сила для каждого из этих стержней может быть получена по обобщенной формуле:

F_кр=²EI/(l)²,

где -коэффициент приведенной длины, а величина l=l₀ называется приведенной или свободной длиной.

14.4.Практический расчет сжатых стержней

Найти значение критической силы для двутаврового стального стержня, защемленного нижним концом (рис. 12.5).

Из ГОСТ 8239-89 моменты инерции и площадь поперечного сечения двутавра №30 равны: I_x=7080 см⁴, I_y=337 см⁴, А=46,5 см². Модуль упругости стали Е=2,0610⁵МПа. Коэффициент свободной длины =2.

Потеря устойчивости стержня произойдет в плоскости наименьшей жесткости стержня, поэтому при вычислении критической силы следует брать наименьший момент инерции поперечного сечения.

Рис. 14.66

В результате найдем

F_кр=²ЕI_y/(l)²=3,14²2,0610⁵10⁶33710^–8/(25)²=68447 Н.

Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня, возникающие при действии этой сжимающей силы, равны:

_кр=F_кр/A=68447/(46,510² – 4)=14,7Мпа.

Отсюда видно, что потеря устойчивости стержня наступает при напряжениях, значительно меньших предела текучести или предела прочности материала. Действительная сжимающая сила, прикладываемая к стержню, должна быть меньше полученной критической силы.

15.Теория тонких пластин

15.1.Основные понятия и гипотезы

Пластинкой называется призматическое или цилиндрической тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане (рис. 13.1). Высота называется толщиной пластинки и обозначается h.

Рис. 15.67

Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Составляющая перемещения w в направлении оси z будет представлять собой прогиб пластинки. Пластинки находят широкое применение в строительстве в виде настилов и панелей, железобетонных плит для покрытия производственных зданий, плит фундаментов массивных зданий. Расчетной схемой плит, применяемых в строительных конструкциях, является тонкая пластинка.

Тонкими называются пластинки, имеющие отношение толщины к наименьшему характерному размеру в плане h/b примерно в пределах 1/5 – 1/80 и величину ожидаемых прогибов не более h/4.

Тонкие пластинки рассчитывают по приближенной теории, которая основана на следующих гипотезах, предложенных немецким физиком Г.Кирхгофом.

1. Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластинки, и длина его не изменяется.

2. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига, т.е. она является нейтральной и ее перемещения u₀= v₀=0.

3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости. Гипотеза позволяет пренебрегать напряжением _z ввиду малости по сравнению с напряжениями _x и _y.

15.2.Соотношения между деформациями и перемещениями

Исследуем пластинку, несущую поперечную нагрузку, т.е. нагрузку, нормальную к срединной плоскости пластинки.

Согласно первой гипотезе _z=w/z=0, откуда следует, что прогибы пластинки w не зависят от координаты z, т.е. w=w(x,y). Это означает, что все точки пластинки, лежащие на одной вертикали, получают одинаковые перемещения. Следовательно, достаточно определить прогибы срединной плоскости пластинки, чтобы знать вертикальные перемещения всех ее точек.

Согласно первой гипотезе, любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости, всегда направлен вдоль оси z , т.е. сдвиги в плоскостях _yz =_zx=0.

Учитывая последнее равенство и гипотезу недеформируемости срединной плоскости, можно найти перемещения вдоль осей x и y, выраженные через функцию прогибов срединной плоскости пластинки:

u = – zw/x; v = – zw/y.

Составляющие деформации пластинки, отличные от нуля, определяются по формулам:

_x=u/x= –z ²w/x²; _y=v/y= –z ²w/y²; (13.1) _xy=u/y+v/x= –2z ²w/xy.