14.Устойчивость сжатых стержней

14.1.Основные понятия

Соблюдение условий прочности и малость перемещений по сравнению с допускаемыми нормами еще не гарантируют способности конструкций выполнять предназначенные им функции.

Наряду с анализом прочности и жесткости необходим анализ устойчивости конструкций.

Назовем исходное состояние равновесия тела невозмущенным, отклонения его от состояния равновесия – возмущениями, а новое состояние равновесия – возмущенным.

Если при действии малых возмущений тело отклоняется от своего невозмущенного состояния равновесия незначительно, то такое состояние равновесия называется устойчивым. Если же состояние равновесия тела не обладает этим свойством, то оно называется неустойчивым.

Рассмотрим абсолютно жесткий стержень, шарнирно закрепленный нижним концом и сжатый силой F. В вертикальном положении стержень удерживается упругой пружиной, имеющей жесткость c (рис. 12.1). Это означает, что при повороте стержня на единичный угол в упругом шарнире возникает момент, равный c.

Рис. 14.62

Допустим, что стержень получил отклонение от вертикального положения, определяемое углом . Если новое положение стержня является равновесным, то, составляя уравнение m₀=0, получим:

Flsin=c. (12.1)

Таким образом, рассматриваемая задача является нелинейной, причем нелинейность обусловлена конечным перемещением стержня.

Если угол  достаточно мал, то можно положить sin. В результате нелинейное уравнение (12.1) заменяется линеаризованным

(Fl – c)=0.

Последнее уравнение имеет два возможных решения. Первое из них, при  = 0, означает, что вертикальное положение равновесия стержня соблюдается при любом значении силы F.

Решение (  0) возможно в том случае, когда обращается в нуль множитель Fl-c=0. Отсюда следует, что отклоненное положение равновесия имеет место только при F=c/l=F^*.

Таким образом, при F=F^*, наряду с вертикальным положением равновесия стержня, возможно другое положение равновесия, как угодно близкое к первому. Силу F^* называют критической силой.

При F<F^* стержень имеет только одно вертикальное положение равновесия. При F=F^* стержень начинает отклоняться от вертикального положения равновесия. При F>F^* стержень отклонится от вертикального положения еще больше.

Таким образом, при F<F^* вертикальное положение равновесия стержня является устойчивым, а при F>F^* – неустойчивым. При F>F^* происходит переход стержня от исходного вертикального (неустойчивого) положения равновесия к отклоненному (устойчивому) положению равновесия. Этот переход называют потерей устойчивости исходного положения равновесия стержня.

Потеря устойчивости может произойти при напряжениях, значительно меньше тех, которые допустимы с точки зрения прочности конструкции.

14.2.Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим шарнирно опертый по концам сжатый стержень (рис. 12.2). Предположим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M=Fv.

Рис. 14.63

При малых прогибах справедливо равенство , которое можно представить в виде:

, (12.2)

где обозначено k²=F/EI.

Решение однородного дифференциального уравнения (12.2) имеет вид

V(z)=B cos kz + C sin kz.

Произвольные постоянные B и C определяются из граничных условий:

при z=0 v=0;

при z=l v=0.

Из первого условия следует, что B=0. Таким образом, уравнение оси изогнутого стержня записывается так:

v=Csinkz.

Используя второе граничное условие, получим

Csinkl=0.

Если предположить, что C0, то sinkl=0 и тогда получим kl=n, n=1,2,3,… .

В результате имеем F=n²²EI/l², т.е. криволинейная форма равновесия стержня возможна только при фиксированных значениях сжимающей силы. При n=1 стержень изгибается с образованием одной полуволны синусоиды (рис. 12.3), при всех последующих n число полуволн соответственно равно n.

Рис. 14.64

Наименьшее значение сила F принимает при n=1

F_кр=²EI/l². (12.3)

Эта сила называется критической силой. Формула (12.3) была впервые получена в 1744 г. математиком Леонардом Эйлером.

Таким образом, F_кр представляет собой наименьшую сжимающую силу, при которой наряду с прямолинейной формой равновесия становится возможной другая (изгибная) форма равновесия.