Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

813

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 6034 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Значение установившихся составляющих решения в момент t = 0

iL уст(0)

–18,43

uC уст(0)

–8,229

Преходящая составляющая решения

= eAt[x(0) – x (0)],

прех

уст

x(0) =

x(0) – x

(0) =

18,43

уст

8,229

α t

Матричная экспонента eAt = e 1

+ e 2

P , тогда

iL прех

uC прех

1,027e–1026t – 2,7æ10–2e–38974t 5,271æ10–3e–1026t – 5,271æ10–3e

–38974t

–5,271e–1026t + 5,271e–38974t

–2,7æ10–2e–1026t + 1,027e–38974t

18,952e–1026t

– 0,541e–38974t

18,43

8,229

–1026t

–38974t

–97,372e

+ 105,601e

3. Полное решение переходного процесса для t [0; T/2]:

iL(t) = iLуст(t) + iLпрех(t) = 20,10 – 20,55e–1026t + 0,541e–38974t А;

uC(t) = uC (t) + uC (t) = 0,151 + 105,078e–1026t – 105,229e–38974t В.

уст прех

4. Аналогично рассчитываем переходный процесс для второго интервала непрерывности t [T/2; T]:

установившаяся составляющая решения

iL уст

uC уст

–1026(t – 3,14æ10–3 )

–38974(t – 3,14æ10–3)

– 20,01 + 39,52e

– 1,082e

–1026(t – 3,14æ10–3 )

–38974(t – 3,14æ10–3)

– 0,151 – 202,45e

+ 210,83e

331

iL уст(0)

18,43

;

uC уст(0)

8,229

преходящая составляющая решения

iL прех

–18,972e–1026(t – 3,14æ10–3) + 0,541e

–38974(t – 3,14æ10–3 )

uC прех

97,572e–1026(t – 3,14æ10–3)

– 105,601e–38974(t – 3,14æ10–3)

Полное решение переходного процесса для t [T/2; T]:

	iL		=
			=
	uC

–1026(t – 3,14æ10–3)

–38974(t – 3,14æ10–3 )–

– 20,01 + 39,52e

– 1,082e

–1026(t – 3,14æ10–3 )

–38974(t – 3,14æ10

–3)

–18,972e

+ 0,541e

–1026(t – 3,14æ10–3)

–38974(t – 3,14æ10–3)+

– 0,151 – 202,45e

+ 210,83e

–1026(t – 3,14æ10

–3)

–38974(t – 3,14æ10

–3)

+97,572e

– 105,601e

Решение переходного процесса матричным методом и при помощи формул Дюамеля совпадает с точностью менее 1 %.

6.89. Напряжение на входе цепи имеет вид лестницы с равными прямоугольными ступенями, длительность каждой ступени T, высота

ступени U. Напряжение подается на вход цепи в момент времени t .

Найти ток на входе цепи, если известен закон изменения тока в цепи при подключении к постоянному источнику U (нулевые начальные условия)

i(t) = A (1 – e–αt) + A e–βt.

6.90.Напряжение на входе цепи представляется периодически

повторяющимися прямоугольными импульсами высотой U, длительностью t , разделенными интервалами t = T – t , где T —период.

Найти ток для k-го периода, если цепь состоит из последовательно соединенных:

а) резистора сопротивлением R = 2 Ом и катушки индуктивностью

L = 100 мГн; T = 0,02 с, t = 0,005 с;

б) резистора сопротивлением R = 100 кОм и конденсатора емкос-

тью С = 0,01 мкФ; T = 0,001 с, t = 0,0004 с.

332

6.91. На входе цепи действует напряжение, изменяющееся по закону однополупериодного выпрямления. Амплитуда Um, T —

период входного воздействия. Цепь состоит из последовательно соединенных резистора R и конденсатора С.

Найти ток установившегося режима.

6.92. На вход цепи подаются последовательно прямоугольные импульсы тока с амплитудой Im = 10 мА (рис. к задаче 6.92). Длитель-

ность импульса t	= 10 мкс, длительность паузы t = T – t	= 90 мкс, T —
1	2	1

период. Параметры элементов: R = 400 Ом, L = 20 мГн, С = 0,01 мкФ. Определить напряжение на емкостном элементе для установивше-

гося режима.

		R	i1
					i
J(t)	R	E
	R
	C		C	uC	R
	L				R
					i2
Рис. к задаче 6.92		Рис. к задаче 6.93(р)

6.93(р). Определить токи i(t), i (t) и напряжения uC(t) после ком-

мутации методом переменных состояния для схемы, представленной на рис. к задаче 6.93(р).

Решение. Напряжение на емкостном элементе в момент замыкания ключа uC(0) = E/2. Составим систему дифференциальных урав-

нений (уравнения состояния):

= Ax + Bu(t) , x

= [uC], x = [duC ⁄ dt] .

Для составления

уравнения

состояния можно

воспользоваться

(uC )

(E)

методом наложения, определив ток iC = iC

+ iC

= –

-----------

+ --- и

R ⁄ 3

duC

подставив

---------

= ---- . Уравнение состояния имеет вид

duC

= –

, Bu(t) =

---------

-------

+ -------E , т.е. A =

–-------

---

Выходные переменные

i = ------ , i

= – ------

+ --- .

333

Так как порядок матрицы состояния А равен единице, то матричную экспоненту можно определить через собственное число мат-

рицы: А α = – 3		– 3 t

	eAt = e RC .

1RC

Решение методом переменных состояния для напряжении на конденсаторе имеет вид

At At –1

x = e x(0) + (e – 1)A Bu = [uC] =

–R-------C t

-------–RC t

–RC

-------–RC t

---

– [1]

----------

[E]

---

-------–

3 t

uC(t) =

E---

E---e RC .

Для выходных переменных

– 3-------

–

-------3

i(t) =

------E +

------E e RC , i (t) =

2------E –

------E

e RC .

6.94. Дано: Е = 30 В, R = R = 200 Ом, R = 100 Ом, С = 100 мкФ,

L = 0,1 Гн (рис. к задаче 6.94).

iC R2

e(t)

Рис. к задаче 6.94 Рис. к задаче 6.95(p)

Определить токи после коммутации методом переменных состояния. 6.95(р). Дано: Е = 30 В, R = R = 10 Ом, С = 1000 мкФ, L = 0,6 Гн,

e(t) — меандр,

E ,			T
E ,		0	≤ t ≤ --	;
	0		2
e(t) =
		T
	–E	, -- ≤ t ≤ T,
	0	2

E = 100 В, T = 2πæ10–3 с (рис. к задаче 6.95(р)).

334

Определить установившиеся составляющие тока в индуктивном элементе и напряжения на емкостном элементе.

Решение. Уравнение состояния

diL

-------

x = Ax + Bu(t)

, x =

duC

---------

diL

duC

Составим уравнения Кирхгофа, разрешим их относительно ------- и --------- :

diL

e(t)

-------

–-----

–--

---------

duC

---------

---

–----------

R C

В матричном виде

		R	1
		R
	1
	–-----		–--		50		5
		L	L			–-----	–--
A =				=	3		3	.
					3		3
	1		1
	---		–----------		1000		–100
		C	R C
			2

Проекторы и собственные числа матрицы А:

α = –50 с–1, α = –200/3 с–1,

1 2

	A – α æ1							A – α æ1
P =	A – α æ1		=	3	–0,1	, P		A – α æ1		=
P =	-------------------------	2	=	3	–0,1	, P		= -------------------------	1	=
		2							1
1	α	– α					2	α	– α
	1	2		60	–2			2	1

–2 0,1 . –60 3

Операторное изображение по Лапласу для функции со сдвигом аргумента на разных интервалах непрерывности имеет вид

–1

– ----------------------------

, t

1 + e

(pT) ⁄ 2

U(p; t) =

p(t – T ⁄ 2)

–1

–p

1 – ----------------------------

, t

(pT) ⁄

1 + e

0; -- , 2

--2 ; T .

335

Установившаяся составляющая решения

iL уст

= – P BU(p ; t) – P BU(p

; t) =

uC уст

α t

– 0 1 –---------

-------------------------------

+ P

– 0 1 –---------

-------------------------------2e

, t

0;T--

α L

(α1 T) ⁄ 2

α L

(α2 T) ⁄ 2

1 + e

1 (t – T ⁄ 2)

α2 (t – T ⁄ 2)

1 –

+ P

–

, t

; T

α L---------

-------------------------------

1 T) ⁄ 2

α---------L

-------------------------------

2 T) ⁄ 2

(α

1 + e

–

200 t

5 – 10,78e–50t

+ 5,52e

, t [0; πæ10–3 ]

–200-------- t

50 – 215,7e–50t

+ 165,6e

;

–50(t – πæ

–3

–

200-------- (t – πæ10

–3)

)

– 5 + 10,78e

– 5,52e

, t [πæ10–3;2πæ10–3 ]

–50(t – πæ

–3

–200 (t – πæ10–3)--------

)

– 50 + 215,7e

– 165,6e

iL уст(0)

–0,26

uC уст(0)

–0,1

6.96(р). Дано: Е = 20 В, R = R = R = 2 Ом, C =

Ф, L =

Гн,

e(t) = 0 (рис. 1 к задаче 6.69(р)).

Составить уравнения состояния и вычислить матричную экспо-

ненту eAt.

Решение. Уравнение состояния

					diL
					diL
				-------
·		iL	·		dt
x = Ax + Bu(t) , x =			, x =			.
	uC				duC
				---------
					dt

336

	L	iL	R1	iC			iL	R1	iC
	uL			iR			uL		iR
E	e(t)			R		e(t)	uL		R3
				R	3	e(t)			R3
				R2	3				R2
				R2					R2
				C	u	C			uC
						C
	Рис. 1 к задаче 6.96(p)						Рис. 2 к задаче 6.96(p)

Составим уравнения состояния по методу наложения (схема после коммутации представлена на рис. 2 к задаче 6.56(р)):

(u )

)

(e(t))

R R

2 3

+ e(t) ,

= u

+ u

= –

-------------------

– R +

-------------------

R2 +

)

(i )

(e(t))

iC =

+ iC

= – R-------------------+ R

uC + R-------------------+ R

iL + 0 ,

R R

R +

-------------------

+ R

-------

–

----------------------------

–---------------------------------

[e(t)] ,

L(R

+ R )

duC

---------

–-----------------------------

-----------------------------

C(R

+ R )

(R + R )C

R R

R +

R-------------------

+ R

A =

–L(R----------------------------

+ R )

–---------------------------------

–3 –18

–4

–-----------------------------

-----------------------------

C(R

+ R )

(R + R )C

Характеристическое уравнение det[αæ1 – A] = α2 + 22α + 96 = 0. Проекторы и собственные числа матрицы А:

α = –6 с–1, α = –16 с–1,

				1		2
	A – α æ1			1
	A – α æ1
		2			–4 8		1 0		1,2 0,8
P1	= -------------------------	– α	=	10-----		+ 16		=		,
	α	– α		10-----	–3 –18		0 1		–0,3 –0,2
	1	2			–3 –18		0 1		–0,3 –0,2

337

		A – α æ1					1
P2				1			1			–4	8			1 0						–0,2 –0,8
P2		= ------------------------- =					–-----						+ 6				=						.
			α	– α			10			–3 –18				0 1					0,3			1,2
			2	1						–3 –18				0 1					0,3			1,2

Матричная экспонента по формуле Сильвестра
	At		α t			α t				–6t							–16t
			α t			α t					1,2		0,8						–0,2			–0,8
			1			2					1,2		0,8						–0,2			–0,8
e		= e		P + e			P = e								+ e								=
				1			2
											–0,3		–0,2						0,3			1,2


					1,2e–6t		– 0,2e–16t						0,8e–6t – 0,8e–16t
			=																		.
				–0,3e–6t			+ 0,3e–16t					–0,2e–6t + 1,2e–16t
																		1					1
6.97. Дано: Е = 20 В, R									= R		= R		= 2 Ом,			C =		----- Ф,				L =	--	Гн,
								1		2	3							16					6

e(t) = 0 (рис. к задаче 6.97).

Определить токи iR(t), iC(t) и напряжение uL(t) методом переменных состояния.

	L iL R1	iC
	uL	iR
E	e(t)		R3
		R2	R3
		R2
		C	uC

Рис. к задаче 6.97

	L iL R1	iC
	uL	iR
E	e(t)		R3
		R2	R3
		R2
		C	uC

Рис. к задаче 6.98

			1	1
6.98. Дано: Е = 20 В, R	= R	= R = 2 Ом, C = -----		Ф, L = --	Гн,
1	2	3	16	6
1	2	3

e(t) = –20 В (рис. к задаче 6.98).

Определить токи iR(t), iC(t) и напряжение uL(t) методом переменных состояния.

338

6.99. Дано: e (t) = 20e–4t				В, e (t) = 20 В, R		= R	= R = 2 Ом,
		1		2	1	2	3
1		1
C = -----	Ф, L =	--	Гн (рис. к задаче 6.99).
16		6

L iL R1	iC
uL	iR
e1(t) e2(t)		R3
	R2	R3
	R2
	C	uC

Рис. к задаче 6.99

Определить токи iL(t), iR(t), iC(t) и напряжения uC(t), uL(t) методом переменных состояния.

6.100. Решить задачу 6.23 методом переменных состояния. 6.101. Решить задачу 6.24 методом переменных состояния. 6.102. Решить задачу 6.25 методом переменных состояния. 6.103. Решить задачу 6.26 методом переменных состояния.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛ. 6

			–2æ105 t					–2æ105 t
6.1. i1(t) = 0,5(1 +		e			) А;	uC(t) = 5(1 – e				) В (см. рис.
к задаче 6.1).
i1(t), A						uC(t), В
1,0						5





						4
						4
0,5						3
0,5						3
						2
						2
						1
						1

0	1æ10–5	2æ10–5			t, c	0	1æ10–5		2æ10–5 t, c
				Рис. к задаче 6.1

339

6.2. i (t) = 0,24 + 0,12e–800t А (см. рис. к задаче 6.2).

i1(t), А

0,36

0,32

0,28

0,24

0,20

	0	0,002 0,004	0,006 0,008	t, c
		Рис. к задаче 6.2
i1(t), А			uL(t), В
2,0			7,5


			5,0

1,5
1,5
1,0			2,5
1,0
0,5




0	0,005	t, c	0	0,005	t, c
		Рис. к задаче 6.12

6.3. i (t) = 0,375e–750t А; uC(t) = 10 – 5e–750t В.

6.4.i(t) = 0,0775e–125t А; uC(t) = 62e–125t В.

6.5.uC(t) = 169,44 sin(314t – 2,2°) – 43,29e–500t В.

6.6.i(t) = 17,46 sin(314t + 142°) – 9,34e–400t А.

6.7.iC(t) = 10 sin(1000t + 90°) – 14e–1000t А.

6.8.i(t) = 0,707 sin(1000t – 45°) + 2,5e–1000t А.

6.9.a) ψ = 90°; б) ψ = 45°.

6 t

6.10.i (t) = ------ – 1 sin(10 t – 45°) – 2e А.

1 2

6.11.uC(t) = 26,67 – 16,23e–1800t В.

6.12.i (t) = 2 – 0,5e–750t А; uL(t) = 7,5e–750t В (см. рис. к задаче 6.12).6 –10

6.13.i(t) = 1 – 1e–80t А (см. рис. к задаче 6.13).

6.14.i (t) = 2 + 0,25e–750t А.

6.15. iL(t) = 1,5 – 1,5e–1600t А; i (t) = 2 – 1,2e–1600t А.

340

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 6034 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб218Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб41Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб813Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб95Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc