Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

820

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 6031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Применим метод двух узлов:
				1 E + pC				uC (0)
				1 E + pC				----------------		1
				R	p		1			p
							1
UC (p)				1
UC (p)			= ---------------------------------------------------------------	1						1		=
1				1						1
			----- + pC			+	R-------------------------------		+ 1 ⁄		pC
			R		1		R-------------------------------		+ 1 ⁄		pC
				1			2				2
[E + pC1R1uC (0)](1 + pC2R2 )
					1
= -------------------------------------------------------------------------------------------------												=
p[(1 + pC R )(					1 + pC R ) + pC R ]
			1	1			2		2		2	1
		2				æ		4		F (p)
= 50---------------------------------------------------------------(p			+ 950p		+ 19	æ	10		)	= -----------------	1	.
p(p	2	+ 1150p			+ 19	æ	10	4		pF (p)
	2							4
									)		3
											3
Корни уравнения: F (p) = pF (p) = 0; p										= 0.
		2			3				1
Характеристическое уравнение
F (p) = p2 + 1150p + 19æ104 = 0, p											= –575 ± 375,
3										2, 3

p = –200 с–1, p = –950 с–1.

Определяем оригинал						uC (t) ,			применяя теорему							разложения.
						1
При наличии нулевого корня получаем:
					F (0)	F (p )				p t			F (p )			p t
			uC		1		1	2		2			1		3	3
			uC		(t) = --------------	+ ------------------------- e							+ ------------------------- e				,
				1	F (0)	p F ′ (p )							p F ′ (p )
					3	2	3	2					3	3	3
					F (0) = 50æ19æ104							F (0)
					1								1
					1
												--------------		= 50 ,
					F (0) = 19æ10		4					F (0)
													3

					3

F (p ) = 50[(–200)2 + 350(–200) + 19æ104 ]														= 50æ4æ104
1		2
1		2

p F ′		(p )		= (–200)[2(–200) + 1150] = –15æ104
2	3		2

					F (p )			200æ10				4
					1	2		200æ10
					-------------------------		= –---------------------- = –13,3 ,
					p F ′ (p )			15æ10			4
					2 3	2		15æ10
F (p ) = 50[(–950)2 + 950(–950) + 19æ104														]	= 9,5æ105
	1		3
	1		3

p F ′			(p ) = (–950)[2(–950) + 1150]									= 7,15æ105
	3	3	3

					F (p )			9,5æ10				6
					1	3		9,5æ10
					-------------------------		=	----------------------- = 13,3 .
					p F ′ (p )			7,15æ10					5
													5
					3 3	3

301

–200t –950t

Следовательно, uC (t) = 50 – 13,3e + 13,3e В.

6.46. Дано: E = 80 B, R = R = 30 Ом, С = 100 мкФ, L = 20 мГн

(рис. к задаче 6.46).

Определить ток i (t) операторным методом.

i1	L					i1 R1	L i2
		iC					i3
E		C	uC	R2	E		C	uC
	R	1					R3
		1

Рис. к задаче 6.46

Рис. 1 к задаче 6.47(p)

I1(p)

Li2(0)

III

uC(0)

Рис. 2 к задаче 6.47(p)

6.47(р). Дано: E = 80 B, R

= 200 Ом, R

= 200 Ом, С = 40 мкФ,

L = 0,1 Гн (рис. 1 к задаче 6.47(р)).

Определить ток i (t) операторным методом.

Решение. Начальные условия: i (0 ) = i (0 ) = 0, u (0 ) = u (0 ) = 80 B.
2 + 2 –	C +	C –

Составляем операторную схему (рис. 2 к задаче 6.47(р)) и определяем изображение искомой переходной величины I (p) → i (t). При-

меняем метод контурных токов:

+ R )I

R I

= --- ,

3 II

– R I

pL +

–uC(0)

------

----------------- + Li (0).

После подстановки всех числовых значений получаем:

				80
400I	– 200I			= -----,
I		II		p
I		II

				2,5æ10	4
					4
							80
200I	+	200	+ 0,1p + --------------------			I	= –-----.
				p			p
I						II

302

Решение контурных уравнений:

400

–200

p2 + 103p + 25æ104

2,5æ10

--------------------------------------------------- ,

–200

200

+ 0,1p +

--------------------p

-----

–200

= 8 p

+ 25æ10 ,

2,5æ10

–

200 + 0,1p +

-----

--------------------

æ10

F (p)

I (p)

-----

I = ---------------------------------------------------------------

0,2p

+ 5

-----------------1

æ10

pF (p)

p(p

+ 1000p + 25

)

Корни уравнения pF (p) = 0: p

= 0; p

= –500 с–1 (нулевой и

2, 3

кратные корни).

При кратных корнях применяем метод неопределенных коэффи-

циентов:

F (p)

+ 5æ10

p--------------1

= ---------------------------------------------------------------

0,2p

= ------------

+ ------------------

--------------------------3

F (p)

p(p

+ 1000p + 25æ

)

– 0

+ 500

(p + 500)

p2(A

+ A ) + p(1000A

+ 500A

+ A ) + 25æ104A

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

1 .

p(p + 500)2

Решаем уравнения относительно A , A , A :

1 2 3

A + A	= 0,2
1	2

1000A	+ 500A		+ A		= 0
1			2	3	A1		= 0,2, A2	= 0, A3	= –200,

25æ104A = 5æ104
		1

F (p)		0,2		200					–500t
1		0,2		200					–500t
-----------------		= -------	– -------------------------- i (t) = 0,2					– 200te		.
pF (p)		p			2	1
					2
3			(p + 500)

303

6.48(р). Дано: e(t) = 100 sin(2500t + 30°), R = 30 Ом, R = 20 Ом,

С = 4 мкФ, L = 40 мГн (рис. 1 к задаче 6.48(р)).

Найти закон изменения тока iL(t) после коммутации операторным методом.

R1	C	ILm	R1	–jXC
	iL(t)	Em
e(t)	L	Em		jXL
e(t)	L			jXL
	R			R
	R

Рис. 1 к задаче 6.48(p)			Рис. 2 к задаче 6.48(p)
	ILm		ILпрех(p)
Em		jXL		R
				R
				pL



		R		Liпрех(0)
		R



Рис. 3 к задаче 6.48(p)			Рис. 4 к задаче 6.48(p)

Решение. Так как операторное изображение Е(р) достаточно сложно, применим операторный метод для нахождения преходящей

составляющей: iL (0) = iL(0) – iL (0).

прех уст

Для нахождения iL(0), iL (0) рассмотрим установившийся режим

уст

до и после коммутации. При синусоидальном воздействии решение находим комплексным методом:

XL = ωL = 100 Ом, XC = 1/(ωC) = 100 Ом.

Расчетная схема до коммутации приведена на рис. 2 к задаче 6.48(р):

I Lm	Em		100 30°	= 2 30° ,
I Lm	= -------------------------------------------------	=	-------------------------------------------------------	= 2 30° ,
	R1 – jXC + R + jXL		20 – j100 + 30 + j100

t ≤ 0, iL(t) = 2 sin(2500t + 30°), iL(0) = 2 sin30° = 1 А.

При t → × установившийся режим рассчитаем по схеме на рис. 3 к задаче 6.48(р):

I Lm =	Em		100 30°	= 0,98 –48,7° ,
	R-------------------+ jXL	=	-----------------------20 + j100

iL (t) = 0,98 sin(2500t – 48,7°), iL (0) = 0,98 sin(–48,7°) = –0,736 А,

уст уст

iL (0) = iL(0) – iL (0) = 1 + 0,736 = 1,736 А.

прех уст

304

Операторная схема для свободных (преходящих) составляющих приведена на рис. 4 к задаче 6.48(р):

	LiL прех(0)	iL прех(0)		1,736		–500t
iL прех(p) =	---------------------------R + pL	= --------------------------p + (R ⁄ L)	=	------------------p + 500	, iL прех(t) = 1,736e		.

Полное решение:

iL(t) = iL (t) + iL (t) = 0,98 sin(2500t – 48,7°) + 1,736e–500t А.

уст прех

6.49.Решить задачу 6.1 операторным методом.

6.50.Решить задачу 6.3 операторным методом.

6.51.Решить задачу 6.6 операторным методом.

6.52.Решить задачу 6.12 операторным методом.

6.53.Решить задачу 6.14 операторным методом.

6.54.Решить задачу 6.20 операторным методом.

6.55.Решить задачу 6.23 операторным методом.

6.56.Решить задачу 6.26 операторным методом.

6.57.Решить задачу 6.33 операторным методом.

6.58.Решить задачу 6.63 операторным методом.

6.59.Решить задачу 6.64 операторным методом. 6.60*. Решить задачу 6.37 операторным методом. 6.61*. Решить задачу 6.38 операторным методом. 6.62*. Решить задачу 6.39 операторным методом.

6.5. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ПРИ ДЕЙСТВИИ ИСТОЧНИКОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ

6.63.Цепь, состоящая из последовательно соединенных резистора

ссопротивлением R = 5 Ом и катушки с индуктивностью L = 2,5 Гн, включается под напряжение, изменяющееся по закону показательной

функции u(t) = U e–βt В при U = 10 В, β = 4 1/с.

Определить закон изменения тока в цепи и построить кривую тока.

6.64.Цепь, состоящая из последовательно соединенных резистора

ссопротивлением R = 2000 Ом и конденсатора с емкостью С = 50 мкФ,

включается под напряжение u(t) = 100e–5t В.

Найти закон изменения тока i(t) и напряжения на обкладках конденсатора uC(t).

6.65(р). Цепь, состоящая из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R и катушки с индуктивностью L, включается

на прямоугольный импульс U, действующий в течение времени t

(рис. 1 к задаче 6.65(р)).

Найти закон изменения тока i(t) и напряжения на индуктивном элементе uL(t).

305

u(t)
U
t1	t
Рис. 1 к задаче 6.65(p)

u(t)		g(t)	R
U
t1	1		L
t1	t
–U
Рис. 2 к задаче 6.65(p)		Рис. 3 к задаче 6.65(p)

Решение. 1. Используем метод наложения и классический метод решения переходного процесса.

Для интервала времени 0 ≤ t ≤ t ток определяется так же, как и в

случае подключения цепи к источнику постоянного напряжения. Решение классическим методом:

	R					R
U	–-- t					–--- t
U	L					L
i(t) = --- 1 – e		,	u	L	(t) = Ue		.
R				L
R

Для t ≥ t прямоугольный импульс может быть рассмотрен как

результат действия двух источников: напряжения U, включаемого в момент t = 0 и действующего неограниченно долго, и источника

отрицательного напряжения, равного –U, подключаемого в момент t = t

и также действующего неограниченно долго (рис. 2 к задаче 6.65(р)). Таким образом,

	R		R			R		R
U	–-- t	–U	–-- (t – t )		U	-- t		–-- t
U	L	–U	L	1	U	L 1		L
i(t) = --- 1 – e		+ ------- 1 – e			= --- e		– 1 e		.
R		R			R

2. Решение с использованием интеграла Дюамеля. Входное воздействие

u1 = U, 0 ≤ t ≤ t1; u(t) =

u2 = 0, t ≥ t1.

Производная u′(t) = 0.

Определим переходную проводимость g(t) = i(t) u(t) = 1(t) по

схеме на рис. 3 к задаче 6.65(р). Решение классическим методом:

		R
1		–--L t
g(t) = ---	1 – e	.
R

306

Для интервала 0 ≤ t ≤ t

–--L t

i(t) = u (0)g(t) +

∫

u ′ (τ) g(t – τ)

dτ = U---

1 – e

+ 0 =

---

1 – e

для t ≥ t

i(t) = u1(0)g(t) + ∫ u1′ (τ) g(t – τ)

dτ + [u2(t1 ) – u1(t1 )]g(t – t1 )

–-- t

–-- (t – t

)

+ ∫ u2′ (τ) g(t – τ)dτ = --- 1 – e

+ 0 +

(0 –

U)---

1 – e

+0=

-- t

–-- t

L 1

= --- e

– 1 e

Закон изменения напряжения на индуктивном элементе uL(t) найти самостоятельно.

6.66. Импульс напряжения прямоугольной формы задачи 6.65 подается на цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R и конденсатора с емкостью С.

Найти закон изменения тока i(t).

6.67. Цепь включается под напряжение, закон изменения которого представлен на рис. к задаче 6.67. Параметры цепи: R = 1 кОм,

С = 2æ103 мкФ.

Определить закон изменения тока в емкостном элементе.

u(t), В

u(t)

Um= 10

t, с

Рис. к задаче 6.67

6.68(р). Импульс в форме полуволны синусоиды (рис. 1 к задаче 6.68(р)) подается в цепь, содержащую последовательно соединенные элементы с параметрами: R = 1 Ом и L = 0,1 Гн, u(t) = Um sinωt,

Um = 10 В, Т = 0,02 с.

Найти уравнение тока i(t).

307

u(t), В

g(t)

Um= 10

t1 = T/2

t, с

Рис. 1 к задаче 6.68(p)

Рис. 2 к задаче 6.68(p)

Решение. Воздействующая функция и производная:

= U

sin ωt, 0 ≤ t

≤ --,

u(t) =

= 0, t

≥

--,

u ′ (τ) = ωU

cos ωτ, 0

≤ τ ≤ --

u′(τ) =

		T
u ′ (τ) = 0, τ ≥ --.
	2	2

Переходную функцию по току (переходную проводимость) g(t) = = i(t) u(t) = 1(t) находим по рис. 2 к задаче 6.68(р) классическим методом:

–--L t

g(t) = ---

1 – e

Для интервала 0 ≤ t ≤ t = Т/2

i(t) = u

(0)g(t) +

–--- (t – τ)

+ ∫u1′ (τ) g(t –

τ) dτ = 0 + ∫ωUm cos ωτ---

1 – e

dτ =

ωUm 1

–-- t t

--- τ

= ------------ ---

sin ωτ

– e

∫e

cos ωτ dτ

–-- t

ωUm

ωLe

-- t

sin ωt –

(R cos ωt +

ωL sin ωt)e

= ------------

------- ----------------------------

– R

R R2 + (ωL)

–-- t

sin (ωt – ϕ) +

sin ϕe

= -------

где Z =

R2 + (ωL)2 , tgϕ = ωL/R, ω = 2π/T.

308

Для t ≥ t = Т/2

t	t
1	t
i(t) = u1(0)g(t) + ∫ u1′ (τ) g(t – τ)	dτ + ∫ u2′ (τ) g(t – τ) dτ =

–-- (t – τ)

∫ ωUm cos ωτæ

= 0 +

---

1 – e

dτ + 0

cos ωτ +

ω sin ωτ

ωUm 1

–-- t

---

-- τ

sin ωt – e

= ------------

---

-------------------------------------------------e

---

			R
			–-- t
Um		ωLe	L	(R cos ωt
= -------	sin ωt	– ------------------		(R cos ωt	1
R	1	Z2			1
R

так как ωt = π, cos π = –1, sin π = 0.

-- t

+ ωL sin ωt )eL

–R ,

Решение:

sin ϕ

-- t

–-- t

i(t) = -------------------

1 + e

a cos bx + b sin bx

Примечание. ∫e

cos bx

dx =

------------------------------------------- e

a2 + b2

6.69. Импульс в форме полуволны

u(t), В

синусоиды (рис. к задаче 6.69) пода-

ется в цепь, содержащую последова-

тельно соединенные элементы с пара-

метрами R и С.

Найти ток i(t).

6.70(р). Цепь включается под напря-

жение, закон изменения которого

представлен на рис. 1 к задаче 6.70(р).

t1 = T/2 t, с

Параметры цепи: R = 1 Ом, L = 0,5 Гн.

Определить значение тока i(t) в

Рис. к задаче 6.69

моменты t = 0,5 с и t

= 1,5 с, постро-

ить кривую тока.

Решение. Воздействующая функция и производная:

	5 – 10t, 0 ≤ t ≤ 1 c,	–10, 0 ≤ τ ≤ 1 c,
u(t) =		u′(t) =
	0, t ≥ 1 c;		0, t ≥ 1 c.

309

i(t)

u(t), В

u(t)

0,5

1,0

t, с

–5

Рис. 1 к задаче 6.70(p)

g(t)

Рис. 2 к задаче 6.70(p)

Переходную проводимость g(t)

= i(t)

u(t) = 1(t)

найдем по схеме

на рис. 2 к задаче 6.70(р) классическим методом:

g(t) = 1 – 0,5e–1t А.

Для интервала 0 ≤ t ≤ 1 с

i(t) = u(0)g(t) + ∫u′(τ)g(t – τ)

dτ =

= 5(1 – 0,5e–1t ) + ∫(–10)(1 – 0,5e–1(t – τ) ) dτ =

= 5 – 2,5e–1t

+ ∫

(–10) dτ + 5e–1teτ

= 10 – 10t

– 7,5e–1t .

В момент времени t = 0,5 с значение тока i(0,5) ≈ 0,451 А.

Для t ≥ 1 с

i(t) = u(0)g(t) + ∫u′(τ)g(t – τ) dτ + [0 – u(1)]g(t – 1) =

= 5(1 – 0,5e–1t ) + ∫(–10)(1 – 0,5e–1(t – τ) ) dτ + 5[1 – 0,5e–1(t – 1) ] =

0
	1
= 5 – 2,5e–1t	– 10τ 1 + 5e–teτ + 5 – 2,5e–te1 =

=e–1t(– 7,5 + 2,5e) = –0,704e–1t .

Вмомент времени t = 1,5 с значение тока i(1,5) = –0,704e–1,5 ≈ –0,157 А.

310

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 6031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб231Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб42Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб820Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб100Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc