Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

822

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 6039 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

7.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

7.26(р). В трехфазной (рис. к задаче 7.26(р), а) и однофазной (рис. к задаче 7.26(р), б) цепях нелинейные резисторы имеют вольтамперную характеристику, представленную на рис. к задаче 7.32(р), в, которая может быть аппроксимирована кубической параболой

	i = au3, где a = 1,4æ10–4 А/В3.
eA	A	iA
eB		uA	u, В
eB	B	iB
N		N ′
eC		uB
eC	C	iC
		uC	i, А
	а)	uC
	а)
	e	iA
		iA
		uA	в)
	б)
		Рис. к задаче 7.26(p)

Действующее значение фазной ЭДС Е = 500 В (амплитудное значение Еm = 707 В), частота f = 50 Гц (ω = 314,16 1/с).

Требуется определить токи и напряжения нелинейных элементов, исследовать гармонический состав этих токов и напряжений, найти мощность, выделяющуюся в нагрузке.

Решение. 1. Однофазная цепь (схема на рис. к задаче 7.26(р), б). Напряжение на нелинейном элементе синусоидальное

u(t) = e (t) = Em sinωt.

Ток

i = aEmsin ωt

aEm

= ---------- (3 sinωt – sin3ωt) = 37 106 sinωt – 12 369 sin3ωt А. 4

Спектр тока содержит первую и третью гармоники.

Активная мощность Р, выделяющаяся в нелинейном резисторе, равна мощности, отдаваемой источником, и определяется как сумма

381

мощностей каждой гармоники в отдельности. Поскольку ЭДС источника синусоидальна,

Р = EmIm(1)/2,

где Im = 37 106 А — амплитуда первой гармоники тока.

(1)

Мощность, выделяющаяся в нелинейном резисторе,

Р= 707æ37 106/2 = 13,1æ106 Вт.

2.Трехфазная цепь (схема на рис. к задаче 7.26(р), а). В схеме нелинейные элементы включены в звезду без нейтрального провода.

Втакой схеме токи тройной частоты, образующие нулевую последовательность, протекать не могут. Поэтому гармонический состав токов трехфазной цепи существенно отличается от гармонического состава тока однофазной цепи, где присутствуют основная и третья гармоники. Для качественного объяснения причины отсутствия третьей гармоники тока можно предположить появление напряжения смещения нейтрали тройной частоты, препятствующего протеканию тока.

Для анализа особенностей спектра тока трехфазной цепи составим уравнения для схемы рис. 7.26, а по законам Кирхгофа:

uA = eA – uN′N,	(1)
uB = eB – uN′N,	(2)
uC = eC – uN′N,	(3)
iA + iB + iС = 0.	(4)

Суммируя первые три уравнения и отмечая при этом, что сумма ЭДС трехфазной цепи равна нулю, т.е. еА + еВ + еС = 0, определяем

напряжение смещения нейтрали uN N = –(uA + uB + uС)/3.

′

Учитывая, что i = au3, где u — напряжение нелинейного элемента, и подставляя значения uА, uВ и uС в уравнение (4), получаем

(eA – uN′N)3 + (eB – uN′N)3 + (eC – uN′N)3 = 0.

После алгебраических преобразований, в ходе которых определяются соотношения

			2		2			2		3Em2
		eA		+ eB		+ eC			=	----------	,
										2
3			3		3			3		3
eA	+ eB			+	eC		= –4--Em sin 3ωt ,
получаем
3		3	2					1	3
uN′N +		2--EmuN′N					+	4--Em sin 3ωt = 0 .

382

uN′N

Напряжение смещения нейтрали можно приближенно определить методом гармонического баланса.

Пусть uN N = UmN sin3ωt, где амплитуда UmN неизвестна. После

′

подстановки значения uN N в последнее уравнение и приравнивания к

′

нулю коэффициента при sin3ωt для определения UmN необходимо решить кубическое уравнение:

3		2	2		1	3
UmN	+ 3	3--EmUmN		+ 2	6--Em		= 0 .

Замечание. При расчете мы полагаем коэффициент при девятой гармонике пренебрежимо малым.

Полученное уравнение решается по формуле Кардана

					1		3				1		3	2		2	2	3
U					1		3	+			1		3		+	2	2	+
U		= 3 – --E						+			--E				+	--E		+
	mN				6		m			6			m			3	m
	1		3			1		3	2			2		2	3
	1		3	–		1		3		+		2		2		= –0,164E				.
+ 3 – --E				–		--E				+		--E				= –0,164E			m	.
	6		m		6			m				3		m					m

При амплитуде ЭДС Em = 707 В напряжение смещения нейтрали = –116 sinωt В.

Таким образом, определены напряжения на нелинейных элементах: uA = eA – uN′N = 707 sinωt + 116 sin3ωt В,

uB = eB – uN N = 707 sin(ωt – 120°) + 116 sin3ωt В,

′

uC = eC – uN N = 707 sin(ωt + 120°) + 116 sin3ωt В.

′

Определим ток нелинейного элемента. Для определенности рассмотрим фазу А. Напряжение на нелинейном элементе фазы А

uА = Um1 sinωt + Um3 sin3ωt,

где Um = 707 В; Um = 116 В.

1 3

Ток фазы А
						iA = a(Um1 sin ωt + Um3 sin 3ωt)3 ≈
		≈ a				3			3		3		2		U		+	3		2		U			sin ωt +
						3			3		3		2					3		2
						--U					– --U							--U					m1
						4			m1		4		m1			m3		2		m3
						4					4							2
			+				1			3	+	3		3			3	2	U				sin 3ωt +
			+			–--U				m	+	--U		m3		+ --U		m1	U		m3		sin 3ωt +
							4			m	1	4		m3			2	m1			m3
	3		2								3				2							3				2
+	3		2		U				+		3		U		2		sin 5ωt –					3			U	2	sin 7ωt	.
+	–--U				U				+		--U		U		m3		sin 5ωt –					--U			U		sin 7ωt	.
	4		m	1			m	3			4	m1										4		m1		m3
	4										4											4

Замечание. При расчете методом гармонического баланса мы пренебрегали девятой гармоникой как несущественной.

383

После подстановки значений а, Um , Um получаем

1 3

i ≈ 33 000 sinωt – 5100 sin5ωt – 1000 sin7ωt А.

Как и следовало ожидать, в спектре тока отсутствует третья гармоника, но присутствуют пятая и седьмая гармоники, частоты которых представляют собой линейные комбинации частот несинусоидального напряжения, приложенного к нелинейному элементу; в нашем случае эти линейные комбинации имеют вид

2ω + ω = 5ω; 2ω – ω = 5ω; 2ω + ω = 7ω.

1 3 3 1 3 1

Здесь ω = ω; ω = 3ω. Такие колебания называются комбинационными.

7.27(р). Две катушки с числом витков w = 2000 и w = 400 намо-

таны на магнитопровод, сечение которого S = 0,2 см2 и средняя длина магнитной линии l = 10 см (рис. к задаче 7.27(р), а). Кривая намагничивания материала дана на рис. к задаче 7.27(р), б.

Построить зависимости потока Φ в магнитопроводе и напряжения u на вторичной обмотке от времени при питании цепи от источника синусоидального тока i = 0,6 sin1000t А.

Решение. Построим вебер-амперную характеристику в координатах Φ и i (рис. к задаче 7.27(р), в) учитывая, что поток (в веберах)

Φ = ВS = Вæ0,2æ10–4 и ток (в амперах) i = Нl/w = Нæ5æ10–5 (закон

полного тока). Зависимость тока и потока от времени (от ωt) приведена на рис. к задаче 7.27(р), г, д).

Напряжение на вторичной обмотке

u = w dΦ/dt = w (∂Φ/∂i) di/dt.

(1)

Зависимость магнитного потока от тока получена в виде кусочнолинейной функции (см. рис. к задаче 7.27(р), в), поэтому можно рассчитать напряжения на отдельных участках. На первом участке (0 ≤ Φ ≤ 0,03 мВб), как следует из рис. к задаче 7.27(р), в, производ-

ная ∂Φ/∂i = 3æ10–4 Вб/А и напряжение

u = 400æ3æ10–4æ0,6æ1000 cos1000t = 72 cos1000t В.

(2)

Угол отсечки θ, соответствующий точке перелома кривой намагничивания при токе i = 0,1 А, определяется из соотношения 0,1 =

= 0,6 sinθ, откуда θ = 0,17 рад и t = θ/ω = 0,17æ10–3 с. В момент t = 0

по (2) напряжение u = 72 В и в момент t = 0,17æ10–3 с напряжение u = 72 cos0,17 = 71 В.

На втором участке (0,03 ≤ Φ ≤ 0,04 мВб) производная ∂Φ/∂i =

= 0,2æ10–4 Вб/А и напряжение

u = 400æ0,2æ10–4æ0,6æ1000 cos1000t = 4,8 cos1000t В.

(3)

384

																B, Тл
																B, Тл
																2,0
																1,5
	i		w1					w2		u						1,0
																1,0

											–10 000				–2500				0	2500 5000			10 000				H, А/м
											–10 000				–2500				0	2500 5000			10 000				H, А/м
																					–1,0
																					–1,0
																					–1,5
		а)																			–2,0
		а)																			б)
																					б)
		Φ, мВб											Φ, мВб
		Φ, мВб											Φ, мВб
		0,04
		0,04
		0,02
		0,02



–0,6 –0,4		–0,2			0	0,2			0,4		0,6 i, A			0				θ	π			π	3		π			2π	ωt
																			2				2		π
		–0,02																	2				2


		–0,04						в)						u, B								д)



														80
			0											80


–0,6 –0,4 –0,2 θ									0,4			i, A		40
							0,2				0,6
							0,2				0,6
				π

														0			θ		π			π		3		π	2π		ωt
		2												0			θ		π			π		3
		2												–40					2				2
														–40					2				2

–80

е)

32 π

2π

ωt

г)

Рис. к задаче 7.27(p)

Вмомент t = 0,17æ10–3 по (3) значение напряжения u = 4,8 cos0,17 =

=4,7 В и в момент t = (π/2)10–3 с значение напряжения u = 0. Зависимость u(ωt) показана на рис. к задаче 7.27(р), е.

7.28(р). В цепи на рис. к задаче 7.28(р), а трансформатор имеет магнитопровод, вебер-амперная характеристика которого изображена

на рис. к задаче 7.28(р), б. Число витков обмоток w = 1000 и

w = 2000; коэффициент связи k = 1; сопротивление резисторов

R = 100 Ом, R = 600 Ом. Цепь получает питание от источника ЭДС

е = 100 sinωt В, где частота ω = 1000 1/с. Активными сопротивлениями обмоток можно пренебречь.

Определить зависимости магнитного потока Φ, тока i и напряже-

ния u от времени, полагая, что при t = 0 Φ = –0,4 мВб.

385

Φ, мВб

R1 i1 k=1

0,04

i, A

–0,04

а)

б)

Рис. к задаче 7.28(p)

Решение. Рассмотрим два режима: ненасыщенный и насыщенный.

1.Ненасыщенный режим. Значение магнитного потока меняется

впределах –0,04 ≤ Φ ≤ 0,04 мВб. При этом суммарный ток iw = 0, т.е.

i w – i w = 0; i = (w /w )i ; u = (w /w )u .

	1	1	2			2			1		2		1	2	1	1	2	2
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:
						е = R i + u , u = R i ,
									1 1		1		2		2 2
здесь u	= w (dΦ/dt); u						= w (dΦ/dt);
1	1					2			2
			u = (w /w )R i = (w /w )2R i .
			1				1		2	2 2				1	2	2 1
Таким образом, е = R i									+ (w /w )2R i						= [R	+ (w /w )2R ]i .
							1 1			1		2		2 1		1	1	2	2	1
Ток в первичной обмотке
			e								100 sin ωt
i	= -----------------------------------								= ----------------------------------------------							= 0,4 sin ωt			А.
	1					2						1000			2
		w				2						1000			2
			1						100		+		-----------		600
	R	+	------			R
	1	w2					2						2000
		w2
Ток во вторичной обмотке
			w	1				1000
				1				1000		0,4 sin ωt = 0,2 sin ωt
	i	2 =	w------	2	i1		=	2000-----------		0,4 sin ωt = 0,2 sin ωt							А.
Напряжение u			= R i				= 600æ0,2 sinωt = 120 sinωt В.
		2				2 2
Магнитный поток определим из соотношения:
1			1												120
Φ = w------	∫ u2dt = 2000-----------∫ 120 sin 1000tdt = –														2000----------------------------æ1000 cos 1000t + K =
2

= –6æ10–5 cos 1000t + K .

386

Постоянная интегрирования K определяется из заданного началь-

ного условия: при t = 0 Φ(0) = –4æ10–5 Вб:

–6æ10–5 + K = –4æ10–5; K = 2æ10–5 Вб.

Таким образом, Φ(t) = –6æ10–5 cosωt + 2æ10–5 Вб.

Переход из ненасыщенного режима в насыщенный произойдет при угле ωt = θ (угол отсечки), при котором магнитный поток дости-

гает значения Φ(θ) = 4æ10–5 Вб:

4æ10–5 = –6æ10–5cosθ + 2æ10–5,

следовательно, cosθ = –0,333 и θ = 110°.

При изменении потока от значения +0,04 до –0,04 мВб процесс пойдет аналогично. Так, при 0 ≤ ωt ≤110°, 180° ≤ ωt ≤240° решение имеет вид:

Φ(t) = –6æ10–5 cosωt + 2æ10–5 Вб,

i	= 0,4 sinωt А, u = 120 sinωt В.
1	2

2. Насыщенный режим. В насыщенном режиме Φ = 4æ10–5 Вб

или Φ = –4æ10–5 Вб, напряжения u	= u = 0, ток i	= е/R	=
1	2	1	1

=100 sinωt/100 = 1 sinωt А, поток Φ = 4æ10–5 Вб при 110° ≤ t ≤ 180°,

Φ= –4æ10–5 Вб при 290° ≤ ωt ≤ 360°.

7.29.Катушка, имеющая w = 1000 витков, намотана на стальной магнитопровод, кривая намагничивания которого может быть

аппроксимирована полиномом Н = 100В + 200 В3, где H — напряженность магнитного поля, А/м; B — магнитная индукция, Тл. Сечение

магнитопровода S = 10–3 м2, средняя длина магнитной линии l = 0,2 м. Катушка подключена к источнику гармонического напряжения u =

= 2202 cosωt В.

Определить мгновенное и действующее значения тока в катушке

при частоте f = 50 Гц.
7.30(р). Цепь	состоит из катушки со					C
						C
стальным магнитопроводом,		имеющей
стальным магнитопроводом,		имеющей
w = 100 витков,	соединенной	последова-
w = 100 витков,	соединенной	последова-
тельно с конденсатором емкостью С = 4 мкФ						uC
и подключенной	к источнику	синусои-			u		uL
и подключенной	к источнику	синусои-	i		u
дального тока i = Im cos1000t А (рис. к
дального тока i = Im cos1000t А (рис. к
задаче 7.30(р)). Зависимость магнитного
потока Φ от тока катушки аппроксимиро-
потока Φ от тока катушки аппроксимиро-
вана полиномом Φ = 3,25æ10–3i – 10–3i3,				Рис. к задаче 7.30(p)

387

где Φ в веберах, i в амперах. Цепь настроена в резонанс на частоте первой гармоники изменением амплитуды тока.

Определить, при какой амплитуде тока наблюдается резонанс, найти мгновенные и действующие значения напряжения на входе цепи, на катушке, на конденсаторе в режиме резонанса.

Решение. Условие резонанса: сумма первых гармоник напряже-

ний катушки и конденсатора равна нулю: uL(1) + uC(1) = 0 .
Напряжение на нелинейной катушке uL			dΦ
Напряжение на нелинейной катушке uL		=	w------- , магнитный поток
			dt
Φ = 3,25æ10–3i – 10–3i3 = 3,25æ10–3I		cos ωt – 10		–3I3	cos 3ωt =
	m			m

	–3	3	–3
		--
= 3,25æ10 Im –		--	10
		4

	3	1	–3		3
I	m	cos ωt – --10		I	m	cos 3ωt .
	m	4			m

При заданной угловой частоте ω = 1000 рад/с напряжение, В, на катушке

u		= 100(–1000(3,25æ10–3I		– 0,75æ10	–3I	3 ) sin ωt +
	L		m			m

+ 0,25æ10–3æ3000I3m sin3ωt = –(325Im – 75I3m ) sin1000t + 75I3m sin3ωt.

Напряжение, В, на линейном конденсаторе

uC	1		1		∫ Im cos ωt = 250Im sin 1000t .
uC	= ---	∫ i di =	-------------------		∫ Im cos ωt = 250Im sin 1000t .
	C		4æ10	–6
			4æ10

(1) (1)

По условию резонанса uL + uC = 0 , т.е.

– (325Im – 75Im) + 250Im = 0,

– 75Im + 75Im = 0.

Решение уравнения: Im = 0 — тривиальное решение (отсутствует ток источника); Im = 1 А (полагаем амплитуду тока положительной),

следовательно, i = 1 cos1000t А. Тогда мгновенное значение напряжения на входе

u = uL + uC = 75Im sin 3ωt = 75 sin 3000t В.

75 Действующее значение напряжения U = ------ = 53 В.

388

Напряжение на катушке

3 3

uL = – (375Im – 75Im) sin 1000t + 75Im sin 3000t =

= – 250 sin 1000t + 75 sin 3000t В,

действующее значение

UL =	250-----------2	+	75--------	2	= 184 В.
	2		2

Напряжение на конденсаторе

uC = 250Im sin 1000t = 250 sin 1000t В, действующее значение

250

UC = -------- = 177 В.

7.31. Катушка, имеющая 500 витков, намотана на стальной магнитопровод, кривая намагничивания которого может быть аппроксими-

рована полиномом Н = 100В + 200 В3, где H — напряженность магнитного поля, А/м; B — магнитная индукция, Тл. Сечение

магнитопровода S = 10–3 м2, средняя длина магнитной линии l = 0,5 м. Катушка соединена параллельно с конденсатором емкостью 4 мкФ и подключена к источнику напряжения u с частотой 50 Гц (рис. к задаче 7.31).

i		C
iL	iC	e	i
u		u
		u
Рис. к задаче 7.31		Рис. 1 к задаче 7.32(p)

Определить, при каком действующем значении напряжения в цепи возможен резонанс токов на частоте первой гармоники; найти действующее значение всех токов в этом режиме.

7.32(р). Последовательно соединенные конденсатор емкостью 0,1 мкФ и катушка, ампер-веберная характеристика которой аппроксимирована полиномом

i(Ψ) = aΨ + bΨ3 = 30Ψ + 4æ106Ψ3,

где ток в амперах, потокосцепление в веберах, подключены к источнику ЭДС e = Em sin(ωt + α) (схема на рис. 1 к задаче 7.32(р)).

389

Полагая потокосцепление Ψ = Ψm sinωt, методом гармонического

баланса рассчитать и построить амплитудную характеристику — зависимость амплитуды Um первой гармоники напряжения на

катушке от амплитуды Еm при частоте ω = 2æ104 рад/с, а также амп- литудно-частотную характеристику Um(ω) при амплитуде Еm = 3 В.

dΨ	1	3
Решение. Уравнение цепи -------	+ ---	∫ i dt = e , где i = aΨ + bΨ	.
dt	C

После дифференцирования правой и левой частей уравнения

получим выражение

d2Ψ

----------

+ ---

Ψ +

---

= ----- .

(1)

Здесь

e = Em sin(ωt + α) = Em cosα sinωt + Em sinα cosωt,

d2Ψ

Ψ = Ψm sinωt,

----------

= –ω Ψm sin ωt .

dt2

Подставляя выражения для Ψ, е в уравнение (1), получаем

3 b

1 b

– ω

sin ωt +

---Ψ

sin ωt + --

---

sin ωt – -- ---Ψ

sin 3ωt =

4 C

= ωEm cosα cosωt – ωEm sinα sinωt.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометриче-

ских составляющих в левой и правой частях уравнения:
	– ω	2	a	Ψ		3 b	3	= –ωE		sin α ,	(2)
	– ω		+ ---	Ψ		+ -- ---Ψ		= –ωE		sin α ,	(2)
			C		m	4 C	m		m
				0 = ωEm cosα.							(3)

Третьей гармоникой пренебрегаем.

Из уравнения (3) следует, что cosα = 0, т.е. α = ±π/2; таким образом, sinα = ±1.

Напряжение на катушке

dΨ

u = ------- = ωΨ cos ωt = U cos ωt .

dt m m

Амплитудные значения Еm, Ψm, Um будем считать положитель-

ными. Уравнение (2) представляет собой уравнение амплитудных (при фиксированной частоте ω) и амплитудно-частотных (при фиксированной амплитуде Еm) характеристик.

390

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 6039 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб231Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб42Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб822Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб100Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc