Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

820

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 6036 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Глава седьмая

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения, обозначения и параметры нелинейных элементов и цепей. Нелинейной называется цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент — резистивный, емкостный, индуктивный или источник ЭДС (тока). У перечисленных нелинейных пассивных элементов вольт-амперная U = fR(I) [u = ϕR(i)], кулон-вольтная q = fC(u),

вебер-амперная Ψ = fL(i) характеристики нелинейные. У нелинейного

источника или в более общем случае нелинейного активного двухполюсника нелинейная внешняя характеристика U = fЕ(I) [u = ϕЕ(i)].

Графические обозначения нелинейных элементов представлены в табл. 7.1.

Заметим, что второе из двух возможных обозначений нелинейных индуктивных элементов (см. пп. 3 и 4 табл. 7.1) используется в случае, когда такой элемент представляет собой катушку с ферромагнитным магнитопроводом, определяющим нелинейный характер элемента.

Характеристики нелинейных элементов могут меняться в зависимости от скорости изменения их переменных. Так, статическая вольтамперная характеристика (ВАХ) резистивного элемента U = fR(I),

связывающая постоянные его токи и напряжения, может отличаться от динамической ВАХ u = ϕR(i), связывающей его токи и напряжения

при быстрых изменениях токов. Из ВАХ определяют статические и дифференциальные сопротивления и проводимости:

R = R (I) = U/I, G = G (I) = I/U,

ст ст ст ст

R = R (I) = -------

, G

= G (I) = -------

U , I

или

= R (i) = -----

, G

= G (i) = -----

u , i

351

Таблица 7.1

№ п/п

Нелинейный элемент

Графическое обозначение

1Резистивный

2Емкостный

3Индуктивный

4Индуктивный

Источник ЭДС

Нелинейный пассивный

НП

двухполюсник

Нелинейный активный

НА

двухполюсник

Аналогичным образом определяются статические и динамические кулон-вольтные и вебер-амперные характеристики, статические и дифференциальные емкости и индуктивности, т.е. статические и дифференциальные параметры для нелинейных емкостных и индуктивных элементов.

Для описания процессов в нелинейных цепях, как и в цепях линейных, используются уравнения первого и второго законов

352

Кирхгофа и компонентные уравнения всех элементов цепи. В качестве компонентных уравнений используются уравнения вольт-ампер- ных, вольт-кулонных, вебер-амперных и внешних характеристик линейных и нелинейных элементов цепи. Часто вместо компонентных уравнений нелинейных элементов используются сами перечисленные характеристики, представленные графически или в табличном виде. Причем для нелинейных элементов подобные характеристики должны соответствовать скорости рассматриваемых процессов, т.е. они могут быть как статическими, так и динамическими. Заметим, что для некоторых, так называемых безынерционных, элементов, статические и динамические характеристики могут совпадать.

Особенности режимов и методов расчета нелинейных цепей.

В нелинейных цепях установившихся режимов может быть несколько; формы токов и напряжений пассивных элементов в таких режимах в общем случае отличаются от форм токов и напряжений источников.

При исследовании установившихся режимов путем плавного изменения отдельных параметров цепи, например амплитуды, частоты или фазы источников синусоидальной ЭДС, может наблюдаться целый ряд эффектов, нехарактерных для линейных цепей:

стабилизация выходных напряжения или тока (т.е. нулевая чувствительность выходных параметров к изменению параметров входного сигнала);

скачкообразное изменение амплитуды или частоты колебаний выходных токов и напряжений при относительно небольших изменениях параметров входного сигнала.

Главными особенностями расчетов установившихся процессов в нелинейных цепях являются:

невозможность применения принципа наложения; невозможность в общем случае нахождения аналитического решения;

необходимость нахождения решения не только для заданных параметров и характеристик элементов, но и исследования решения в некоторой окрестности изменения этих параметров и характеристик для того, например, чтобы оценить его устойчивость.

При расчетах установившихся режимов нелинейных цепей могут использоваться различные методы, известные из теории линейных цепей: методы эквивалентного генератора, преобразований электрических схем, но реализация их осуществляется с учетом конкретных особенностей характеристик нелинейных элементов. На выбор метода и характер решения оказывает влияние и форма задания характеристик нелинейных элементов — аналитическая, графическая, табличная, алгоритмическая.

353

Расчет режимов достаточно сложных цепей осуществляется численными либо аналитико-численными методами, однако режимы простых цепей часто удается рассчитать и исследовать графическими либо квазианалитическими методами.

Нелинейные цепи постоянного тока. Дана цепь с известными параметрами элементов. Определить напряжения и токи нелинейных элементов, построить вольт-амперные характеристики участков цепи. Применяются квазианалитические, графические, численные методы. Алгоритмы решения типовых задач представлены в табл. 7.2.

Численные методы расчета нелинейных цепей постоянного тока. Нелинейные цепи постоянного тока описываются нелинейными алгебраическими уравнениями. Численные методы определения корней нелинейных алгебраических уравнений реализованы в стандартных программах.

Особо отметим схемную реализацию метода Ньютона — метод дискретных линейных моделей, в котором на каждом шаге итерации нелинейный резистор представляется линейной схемой замещения.

Схемы замещения нелинейного резистора и их компонентные уравнения представлены в табл. 7.3 (здесь k — номер шага итерации).

Нелинейные цепи переменного тока. Основные методы расчета: по мгновенным значениям тока, напряжения, потокосцепления, заряда; по основной гармонике; по действующим значениям тока и напряжения.

Расчет по мгновенным значениям и основной гармонике. Рассматривается цепь или часть цепи с известной вольтамперной, вебер-амперной или вольт-кулонной характеристикой, подключенная к источнику синусоидального напряжения или тока. Характеристика может быть задана в виде графика, таблицы или аппроксимирующей функции.

Требуется определить зависимость тока, напряжения, магнитного потока или заряда от времени, построить амплитудные, амплитудночастотные, фазочастотные характеристики.

При графическом или численном расчете решение в виде графика или таблицы получается путем подстановки значения синусоидального воздействующего сигнала в заданную нелинейную функцию.

При аналитическом расчете решение можно получить в виде отрезков известных функций (в частности, синусоидальных) либо в виде суммы гармонических составляющих.

Расчет по основной гармонике — метод гармонического баланса — применяется для анализа резонансных слабонелинейных цепей второго порядка с малым затуханием. Допущение метода: амплитуды высших гармоник невелики и ими можно пренебречь. Метод гармонического баланса удобен для построения амплитудных и ампли- тудно-частотных характеристик цепи.

354

Таблица 7.2

	Используемая
Схема	вольт-амперная	Методика решения
	характеристика

1. Последовательное			U (I), U (I)		Способ	сложения		характеристик.
			1	2
соединение элементов					Построение вольт-амперной характе-
					ристики цепи и определение тока I и
E	I				напряжений U , U : U(I) = U (I) + U (I);
E	I					1	2	1	2
U1	U	2			U(I) = E
		2

Частный случай: в цепи	U (I)	Способ пересечения характеристик.
	1
один нелинейный элемент		Определение тока I и напряжений U ,
		1

Rвх			U : U (I) = U (I); U (I) = Е – R				I. Пра-
	I		2	1	2	1	вх
	I		вая часть этого уравнения — линей-
E			ная функция.
U1		U2	Примечание. По методу эквивалент-
U1		U2
			ного генератора к этой схеме можно
			привести любую разветвленную цепь
			с единственным нелинейным элементом

2. Параллельное соедине-

I (U),

Способ сложения характеристик. Постро-

ние элементов

I (U)

ение

вольт-амперной характеристики

цепи и определение напряжения U и

токов I , I : I(U) = I (U) + I (U); I(U) = J.

Способ

пересечения

характеристик.

Определение напряжения U и токов

I , I : I (U) = J – I (U).

Примечание. Если один из элемен-

тов линейный I(U) = U/R, то часть

этого уравнения — линейная функция

3. Разветвленная цепь

I (U ),

Способ

пересечения

характеристик.

с двумя узлами

I (U ),

Определение зависимостей

токов

от

I (U )

общего напряжения: U(I ) = E – U ;

U(I2) = E2

– U2; U(I3) = E3

+ U3; опре-

деление напряжения U по первому

закону

Кирхгофа: I1(U)

+ I2(U) =

= I (U); определение напряжений U ,

U , U

и токов I , I , I

на пересечении

1 2 3

характеристик

4. Сложная разветвленная

U(I) всех НЭ

Метод

эквивалентного нелинейного

цепь

генератора. Схема цепи

разбивается

на подсхемы; определяются вольт-

амперные

характеристики

подсхем:

U (I ), U (I ); приравниваются значе-

ния напряжения и тока на общих

выводах подсхем: U (I ) = U (I )

355

Таблица 7.3

Вид вольт-амперной
	Схема замещения резистора	Компонентные уравнения
характеристики

∂I(U)

= --------------

;

∂U

= G U

– I

I(U)

------

;

E = ------

∂U(I)

--------------

;

∂I

= R I

– U

k k

U(I)

= ----- ;

= -----

Алгоритмы аналитического расчета и метода гармонического баланса приведены в табл. 7.4.

Расчет по действующим значениям напряжения и тока (по эквивалентным синусоидам). Применяется для приближенного определения напряжений и токов в катушках и трансформаторах со стальным магнитопроводом. Реальные несинусоидальные кривые напряжения и тока заменяются эквивалентными синусоидами. Потери на гистерезис и вихревые токи определяются по экспериментальным данным, либо непосредственно по показаниям ваттметра, либо по экспериментально полученным кривым удельных активных и реактивных мощностей для данного сорта стали.

356

								Таблица 7.4

Метод	Аппроксимация
					Алгоритм расчета
расчета	характеристики

Аналити-	Кусочно-линейная,			1. На каждом линейном участке определяются
ческий	например,			коэффициенты а, b уравнения i(u) = au + b.
	i(u) = au + b			2. Подстановкой u = U sinωt определяется ток
						m
				i(t) на каждом линейном участке.
				3. Определяются моменты перехода с одного
				линейного участка на другой (углы отсечки θ )
									k
				по граничным условиям u , i				для каждой k-й
						k	k
				границы:
					i	= аU sinωθ + b.
					k	m	k
				4. Результат расчета — аналитическое выраже-
				ние i(t) в виде отрезков синусоид.
	Полиномиальная,			Подстановка значения u = U				sinωt в уравне-
							m
	например,			ние вольт-амперной характеристики.
				ние вольт-амперной характеристики.
	i(u) = a u + a u2 + a u3			Результат расчета — аналитическое выраже-
	1	2	3
				ние i(t) в виде ряда Фурье

Гармони-	Полиномиальная,			1. Составление		дифференциального			уравне-
ческого	например,			ния нелинейного резонансного контура
баланса		3
	i(ψ) = a ψ + a ψ			d	2	dψ
	1	3		d	ψ	dψ
				--------- + 2δ------ + f(ψ) = F ,
					2	dt
				dt
				где
				F = F sin(ωt + α) = F cosωt + F					sinωt.
				m		c		s
				2. Подстановка		искомого	решения		в виде
				ψ = ψ sinωt.
				m
				3. Приравнивание коэффициентов при cosωt,
				sinωt в левой и правой частях уравнения; полу-
				чение алгебраических уравнений, связываю-
				щих искомую амплитуду U			с составляющими
						m
				внешнего воздействия F , F .
						c	s
				4. Результат расчета — построение амплитуд-
				ной и амплитудно-частотной характеристик

При использовании эквивалентных синусоид тока и напряжения можно записывать и решать уравнения цепи в комплексной форме и пользоваться векторными и топографическими диаграммами. Основные алгоритмы построения схем замещения индуктивных элементов по действующим значениям напряжения и тока представлены в табл. 7.5.

В представленных схемах значения R , Х	или R, Х зависят от
экв	экв

действующего значения напряжения или тока.

357

Таблица 7.5

Схема замещения, исходные данные

Алгоритм определения параметров схемы замещения

С учетом сопротивления рассеяния Х . 1. Определение напряжения U , связанного

Дано: число витков w, частота f, дей- с потоком намагничивания Φ

(рис. А):

ствующие значения напряжения и тока

= j4,44fwΦ .

U, I, активная мощность Р, активное

2. Определение

эквивалентного

сопро-

сопротивление обмотки (меди) R , амп-

тивления потерь на гистерезис и вихре-

литуда магнитного потока Φ .

вые токи в магнитопроводе R

экв

Rм

= --------- , где Р

= Р –

R I

экв

Rэкв

экв

Xэкв

3. Определение

эквивалентного

индук-

тивного сопротивления катушки Х :

экв

Рис. А. параллельная схема замещения

-------

---------

--------- .

катушки с магнитопроводом

экв

Rм

4. Определение сопротивления последо-

вательной схемы замещения (рис. Б):

экв

= ----------------------------

= R + jX .

экв

+ jX

экв

5. Определение сопротивления рассеяния

X по модулю входного сопротивления:

Рис. Б. Последовательная схема заме-

щения катушки с магнитопроводом

= --- =

+ R)

+ (X

вх

Без учета сопротивления рассеяния Х .

1. Определение сопротивления R (рис. А):

Дано: действующие значения напряже-

P = (R

+ R)I .

ния и тока U, I, активная мощность Р, 2. Определение

сопротивления

по

активное сопротивление обмотки R .

модулю входного сопротивления:

Rм

= --- =

+ X

вх

3. Определение Х

, R

(рис. Б):

экв

R – jX

---------------

------------------

= ---------

–

j---------

–

экв

R + jX

+ X

экв

+ X2

R2 + X2

Рис. А. Последовательная схема замещения

= ------------------

, R

= ------------------

экв

IRм

экв

Xэкв

Рис. Б. Параллельная схема замещения

358

7.1. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА

НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1(р). Нелинейный двухполюсник (рис. к задаче 7.1(р), а) состоит из последовательно включенных линейного резистора с сопротивлением R = 80 Ом и нелинейного резистора, характеристика которого приведена на рис. к задаче 7.1(р), б (кривая 1).

				I, A
	R		I	0,4
	R

E				0,3
E	U2
	U2			0,2
U1		U		0,2
U1		U
				0,1
				0
	а)

2
1	3
	I(U1)

10 20 30 40 50 U, U1, U2, В

б)

U, В			I, A
U, В			I, A
50			0,5	4
50			0,5	4
40			0,4		I(U)
40			0,4
30			0,3
30			0,3
20			0,2
20			0,2		1
10			0,1




0	10 20 30 40 50 60 U1, В		0	10 20 30 40 50 U, В
		в)			г)

Рис. к задаче 7.1(p)

Построить: 1) вольт-амперную характеристику двухполюсника I(U );

2) зависимость напряжения U на нелинейном элементе от входного

напряжения U . Определить ток I при ЭДС Е = 40 В.

Решение. 1. Цепь описывается уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:

U (I) = RI + U(I) = U (I) + U(I),

т.е. алгебраическим выражением вольт-амперной характеристики пассивного двухполюсника (см. рис. к задаче 7.1(р), б). Здесь 1 — характеристика U(I) нелинейного резистора; 2 — характеристика

359

U (I) линейного резистора; 3 — характеристика, полученная сумми-

рованием характеристик 1 и 2 и являющаяся искомой вольт-ампер-

ной характеристикой двухполюсника I(U ).

2. Отмечая напряжения на входе цепи U (кривая 3) и на нелиней-

ном элементе U (кривая 1), при одинаковых значениях тока строим

зависимость U(U ), показанную на рис. к задаче 7.1(р), в.

При Е = U = 40 В ток I определим непосредственно по построен-

ной вольт-амперной характеристике двухполюсника — кривой 3 на рис. к задаче 7.1(р), б: I = 0,25 А. Ток может быть найден также методом пересечений. Запишем уравнение цепи в виде

U(I) = Е – RI

и построим (рис. к задаче 7.1(р), г) характеристики левой (кривая 1) и правой (прямая 4) частей этого уравнения. Равенство левой и правой частей соответствует точке их пересечения. В точке пересечения

I= 0,25 А (U = 20 В).

7.2.Дана цепь, схема которой приведена на рис. к задаче 7.2, а. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов НЭ1 и НЭ2

изображены на рис. к задаче 7.2, б — кривые U (I) и U (I) соответ-
							1	2
ственно. Характеристики симметричны относительно начала координат.
			I, A
		НЭ1	6		U1(I )
I	U1		4
E	U1	U2			U2(I )
E		U2	2		U2(I )
			2
			НЭ2
			0	2	4	6	8	10 U, В
	а)				б)
			Рис. к задаче 7.2

Определить ток I и напряжения U , U при Е = 9 В.

1 2

7.3(р). В схемах двухполюсников на рис. к задаче 7.3(р), а—е, Е = 25 В и J = 0,2 А. Характеристика нелинейного элемента (симметричная) изображена на рис. к задаче 7.3(р), ж.

Построить вольт-амперные характеристики этих двухполюсников. Решение. Характеристика для схемы 7.3, а изображена на рис. 7.3, з.

Для остальных вариантов двухполюсников решение провести самостоятельно.

7.4. В схеме на рис. к задаче 7.4, а ЭДС E = 8 В, вольт-амперные характеристики элементов изображены на рис. к задаче 7.4, б.

Определить токи нелинейных элементов и источника.

360

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 6036 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб231Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб42Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб820Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб100Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc