Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

822

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6040 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Амплитудная характеристика. После подстановки заданных числовых значений уравнение (2) принимает вид

4æ10

– 4

æ10

-----------------------

Ψm +

-----------------------

Ψm

= –2æ10

Em sin α ,

0,1æ10–6

после преобразований — вид

– 5æ103Ψ

+ 1,5æ109

Ψ3

= –E

sin α ,

(4)

= ωΨ

= 2æ10

4Ψ

(5)

Условие резонанса: – 5æ103Ψ

+ 1,5æ109Ψ3 = 0 , отсюда

а) Ψm = 0 — тривиальное решение (источник отсутствует);

5æ10

æ10

–3

б) Ψm рез

= --------------------

= 1,825

Вб.

1,5æ109

Амплитудная характеристика рассчитывается по уравнениям (4), (5),

куда подставляются значения Ψ , лежащие в окрестности Ψ	. Ампли-
m	m рез

туды Еm считаем положительными, при этом sinα = ±1. Расчет характеристики приведен в табл. 1, кривая Um(Еm) — на рис. 2 к задаче 7.32(р).

Таблица 1

Ψ , Вб	0		–3	æ		–3		æ			–3	æ		–3	æ		–3	æ	–3	æ	–3
m		0,5æ10		1	10			1,5 10				1,825 10			2 10			2,2 10		2,5 10

Е , В	0	2,31		3,50				2,44				0			2,00			4,90		10,90
m

U , В	0	10,0		20,0				30,0				36,5			40,0			44,0		50,0
m

sinα	—	–1		–1						–1			—		1			1		1

α, рад	—	–π/2		–π/2					–π/2				—			π/2		π/2		π/2

			Um, В
			Um, В
				45
				45
				40
				40
				35
				35
				30
				25
				20
				20
				15
				10
				5

				0		1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Em, В
							Рис. 2 к задаче 7.32(p)

391

На характеристике можно отметить область Еm < 3,5 В, в которой одному значению Еm соответствует три значения Um (область феррорезонансных скачков) и область Um > 40 В (область стабилизации напряжения).

Амплитудно-частотная характеристика. Амплитудно-часто- тная характеристика Um(ω) строится по уравнению (2), которое раз-

решается относительно частоты в квадрате ω2, при этом учитывается sinα = ±1:

3 b

--- +

-- ---Ψ

± ω-------- ,

(6)

4 C

Um = ωΨm.

(7)

После подстановки числовых значений получаем

4æ106

= 3æ10

+ 3æ10

13 2

----------

----------------

Ψm

±ω

--------

Ψm±ω

--------

. (8)

10–3

10–7

Ψm

Построение амплитудно-частотной характеристики ведется (с учетом приближенного характера метода гармонического баланса) следующим образом. Вначале, задаваясь значениями Ψm, строим ске-

летную кривую характеристики U (ω								), определяемую однознач-
							ск	ск
ной частью уравнения (8): ω2						= 3æ10		8 + 3æ1013Ψ2 , а затем полу-
					ск			m
				2
ченные		значения	ω	ск	дополняем симметричными величинами
				ск
3		2		2		3
±ω--------		так, что ω	=	ω	±ω	-------- .
Ψ	m			ск	ск Ψ		m

Амплитуда напряжения Um определяется по соотношению (7). Расчет характеристики приведен в табл. 2, кривая Um(ω) изобра-

жена на рис. 3 к задаче 7.32(р).

Таблица 2

Ψ , Вб			–3		æ				–3		æ				–3		æ				–3		æ				–3		æ				–3
m	0,5æ10				1 10						1,5		10				2 10						2,2		10				2,5		10
ω , 1/с				4		æ				4		æ				4		æ				4		æ				4		æ				4
ск	1,75æ10				1,82			10			1,92			10			2,05			10			2,11			10			2,21			10

U , В	8,75				18,2						28,8						41,0						46,4						55,2
ск

ω, 104 рад/с	1,42	2,03			1,65		1,96				1,81		2,01				1,97		2,12				2,04			2,18			2,15		2,27

U , В	7,10	10,15			16,50		19,60				27,15		30,15				39,40		42,40				44,90		48,00				53,70		56,20
m

392

Um, В

ω, 104 рад/c

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

Рис. 3 к задаче 7.32(p)

На характеристике можно выделить область частот ω > 1,95æ104 рад/с,

в которой одному значению частоты соответствуют три значения Um,

(область феррорезонансных скачков).

7.33(р). В цепи рис. 1 к задаче 7.33(р)

характеристика катушки аппроксимиро-

вана полиномом

i(Ψ)

aΨ +

bΨ3

= 30Ψ + 4æ10

6 3

R u

, где

ток в амперах,

потокосцепление в веберах, емкость кон-

денсатора C = 0,1 мкФ, сопротивление

резистора R = 5 кОм, ЭДС e = Emsin(ωt + α)

Рис. 1 к задаче 7.33(p)

с частотой ω = 2æ104 1/с.

Полагая Ψ = Ψm sinωt, методом гармонического баланса рассчи-

тать и построить амплитудную характеристику — зависимость Um

первой гармоники напряжения на катушке от амплитуды Еm на час-

тоте ω = 2æ104 1/с.

Решение. Уравнения цепи:

dΨ

u =

------- ,

------- + ---∫ i1dt = e ,

---------- +

---i

1 = ----- ,

1 dΨ

i(Ψ) +

---

i(Ψ) +

--- -------

aΨ + bΨ

+ --- ------- ,

(1)

R dt

d2Ψ

1 dΨ a

---------- + ------- ------- + ---Ψ

+ ---

----- .

RC dt

ЭДС источника можно представить в виде

e = Em sin(ωt + α) = Em cosα sinωt + Em sinα cosωt.

393

Для анализа полученного уравнения применим метод гармонического баланса. Будем искать потокосцепление в виде Ψ = Ψm sinωt.

Тогда

dΨ	d2Ψ		2
------- = ωΨm cos ωt ,	----------		= ω Ψm sin ωt .
dt	dt	2
	dt

Подстановка этих значений в дифференциальное уравнение (1) дает

2		1		a		3 b	3
ω Ψ	m	sinωt + ------- ωΨ	m	cosωt + --- Ψ	m	sinωt + -- ---Ψ	m	sinωt –
	m	RC	m	C	m	4 C	m

1 b	3
– -- ---Ψ	m	sin3ωt = ωE	m	cosα cosωt – ωE	m	sinα sinωt.
4 C	m		m		m

В соответствии с методом гармонического баланса приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях уравнения

2		a		3 b	3
– ω Ψ	m	+ ---Ψ	m	+ -- ---Ψ	m	= –ωE	m	sin α ;
	m	C	m	4 C	m		m
		1

-------ωΨ = ωE cos α

RC m m

(третьей гармоникой потокосцепления пренебрегаем). Напряжение на катушке

dΨ

u = ------- = ωΨ cos ωt = U cos ωt .

dt m m

(2)

(3)

Для построения амплитудной характеристики Um(Em) исключим из уравнений (2) и (3) угол α, для чего возведем оба уравнения в

квадрат и сложим, при этом учтем, что sin2α + cos2α = 1:

3 b

– ω

ωΨ

+ ---

+ -- ---

-------

= ω

4 C

Подставив заданные значения, получим

3 4æ106

æ10

– (2

)

-----------------------

+ -- ----------------------- Ψ

0,1æ10–6

4 0,1æ10–6

2æ104

4 2

---------------------------------------------

Ψm = (2æ10 ) Em ,

5æ103æ0,1æ10–6

1016(– 1 + 3æ105Ψ2 )2

Ψ2

+ 1014(4Ψ

= 4æ108E2

394

108(– 1 + 0,3æ106	Ψ2 )2		Ψ2	+ 16æ106			Ψ2	= 4E2	,	(4)
		m	m				m	m
U	m	= 2æ104Ψ			m	.				(5)
	m				m

При расчете амплитудной характеристики Um(Em) задаемся значениями Ψm, которые подставляем в уравнения (4) и (5). Результаты расчета представлены в табл. 3, зависимость Um(Em) — на рис. 2 к задаче 7.33(р).

Таблица 3

Ψ , Вб		0		æ			–3				æ				–3		æ			–3			æ				–3				æ				–3		æ				–3			æ				–3
m		0	0,5			10			1,0				10			1,5			10			1,8			10				2,0				10			2,2			10				2,5			10

2								–6						–6							–6							–6						–6								–6							–6
Ψ		0	0,25			10		–6	1			10		–6		1,25			10		–6	3,24				10		–6	4			10		–6		4,84				10		–6	6,25				10		–6
m		0			æ					æ								æ						æ						æ								æ							æ
m

(–1 + 0,3×
×106 Ψ2 )*		0	–0,925							–0,7						–0,325								0							0,2					0,452							0,875
m

108(*)2	Ψ2	0	21,4							49,0						23,7								0						16,0						98,0							478,5
	m

16æ106	Ψ2	0		4,0						16,0						36,0						53,3								64,0						77,4							100,0
	m

4E2		0	25,4							65,0						59,7						53,3								80,0						175,4							578,5
m

Е , В		0	2,52							4,03						3,86						3,65								4,47						6,62							12,02
m		0	2,52							4,03						3,86						3,65								4,47						6,62							12,02

2 æ104Ψ =		0	10,0							20,0						30,0						36,5								40,0						44,0							50,0
	m	0	10,0							20,0						30,0						36,5								40,0						44,0							50,0
= U , В
m

Um, В

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Em, В

Рис. 2 к задаче 7.33(p)

395

7.5. РАСЧЕТ ПО ДЕЙСТВУЮЩИМ ЗНАЧЕНИЯМ

ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

7.34(р). Катушка с числом витков w = 500 и магнитопроводом из трансформаторной стали включена в сеть с напряжением U = 220 В (частота 50 Гц). Ток катушки I = 10 А, активная мощность Р = 1500 Вт. Сопротивление обмотки из медного провода постоянному току

R = 10 Ом. Амплитуда потока в магнитопроводе Φm = 10–3 Вб.

Составить схему замещения катушки и построить векторную диаграмму.

Решение. Схема замещения катушки представлена на рис. к

задаче 7.34(р), а, где L — эквивалентная индуктивность катушки,

эк

обусловленная потоком в магнитопроводе; L — индуктивность

рас

рассеяния; R — эквивалентное активное сопротивление, учитываю-

эк

щее потери в магнитопроводе; R — сопротивление обмотки.

				Rм	I
I	Rм Lрас			Rм		U
						U
		jωL	рас	I
		jωL		I

Uф

эк

а)

Iр

Φm

б)

Рис. к задаче 7.34(p)

Для определения параметров схемы замещения предварительно вычислим, приняв Φm = Φm, составляющую напряжения, связанную

с потоком в магнитопроводе U = j4,44fwΦm = j111 В.

Определим эквивалентное сопротивление потерь в магнитопро-

воде R записав по закону Джоуля—Ленца активную мощность

эк

(потерь) P = R2 I2 + U2 ⁄ R			, откуда R	= 24,6 Ом. Составляющая
	м	Φ	эк	эк
тока, обусловленная потерями в магнитопроводе, I					= U/R = 4,51 A.
				а	эк
	Для определения эквивалентного индуктивного сопротивления
X	= ωL находим реактивную составляющую тока I				= I2 – I2 = 8,9 А
эк	эк			р	а

и Xэк = UΦ/Iр = 12,5 Ом.

396

Индуктивное сопротивление рассеяния X	= ωL определим,
рас	рас

вычислив комплексное сопротивление катушки по схеме замещения (рис. к задаче 7.34(р), а)

Z = R	+ jX	+ jX	R	/(R	+ jX		) = 15,05 + j(X	+ 9,9)
м	рас		эк	эк	эк	эк	рас
и определив модуль полного сопротивления Z = U/I = 22 Ом.
Таким образом, 222 =			15,052 + (X			+ 9,9)2, откуда X		= 6,2 Ом.
					рас			рас

Векторная диаграмма для схемы замещения построена на рис. к задаче 7.34(р), б.

7.35. У катушки со стальным магнитопроводом при напряжении U = 220 В действующее значение тока I = 10 А, активная мощность

P = 1500 Вт. Сопротивление обмотки постоянному току R = 10 Ом.

Пренебрегая потоком рассеяния, составить последовательную (рис. к задаче 7.35, а) и параллельную (рис. к задаче 7.35, б) схемы замещения катушки.

	I Rм					I Rм

U Xэк Rэк

а)	б)
	Рис. к задаче 7.35
7.36(р). Дроссель, включенный в сеть с напряжением U = 380 В,
частотой f = 50 Гц,	имеет стальной магнитопровод сечением

S = 6æ10–4 м2, массой G = 2 кг.

Определить необходимое число витков w и действующее значение тока обмотки I для получения амплитуды индукции в магнитопроводе В = 1,5 Тл, при которой удельные потери в стали Р = 4 Вт/кг, удель-

ная реактивная мощность намагничивания Q = 32 вар/кг. Активным

сопротивлением обмотки и потоком рассеяния можно пренебречь. Решение. Обозначим активную

составляющую тока I

, реактив-

ную I .

1. Определение параметров эквива-

лентной схемы (рис. к задаче 7.36(р)).

Рис. к задаче 7.36(p)

397

Активное R и реактивное (индуктивное) X сопротивления эквивалентной схемы определяются по мощности потерь Р и мощности намагничивания Q:

Р = U2/R, Q = U2/Х.

Здесь Р = GР = 2æ4 = 8 Вт; Q = GQ = 2æ32 = 64 вар.

Таким образом, R = U2/Р = 3802/8 = 1,805æ104 Ом, Х = U2/Q =

=3802/64 = 2,256æ103 Ом.

2.Определение числа витков и тока обмотки. Ток потерь IR = U/Р =

= 380/(1,805æ104) = 0,0210	А,	ток намагничивания I				=	U/X =
					Φ
= 380/(2,256æ103) = 0,1684 А, ток обмотки I			=	I2	+ I2	= 0,1697 А.
				R	Φ
Число витков определяется	по	формуле U	=	4,44wfSBm,			откуда

w = U/(4,44fSBm) = 1900 витков.

7.37(р). Характеристика катушки со стальным магнитопроводом для действующих значений токов и напряжений может быть аппрок-

симирована выражением U = 300I – 10I3, где напряжение в вольтах, ток в амперах. Катушка соединена последовательно с конденсатором емкостью С = 15 мкФ и получает питание от источника синусоидального тока частотой f = 50 Гц (рис. к задаче 7.37(р), а), ω = 314 1/с.

Определить действующее значение тока, при котором в цепи возникнет резонанс напряжений.

Решение. Расчет по действующим значениям проводим комплексным методом (рис. к задаче 7.37(р), б).

	C	I	C
	uC		UC
i	u	i	U
	u		U

а)	б)
Рис. к задаче 7.37(p)
Условие феррорезонанса UС = U.
Напряжение на линейном конденсаторе UC =	1		106
Напряжение на линейном конденсаторе UC =	--------I	=	-------------------I = 210I,
	ωC		314æ15

следовательно, 210I = 3000I – 10I3, решаем уравнение I3 – 9I = 0: а) I = 0 — тривиальное решение (ток отсутствует),

398

б) I = 3 А.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛ. 7

7.1. См. решение.

7.2. I = 4 А; U = 2 В; U = 7 В.

7.3.

I, А 0,3

0,2

0,1

–20 –10 0 10 20 30 40 U, В –0,1

–0,2

Рис. к задаче 7.3

7.4. U = 8 В; I = 6 А; I = 4 А. Ток источника I = 10 А.

7.5. U = 6 В; I = 4 А; I = 2 А.

7.6.См. решение.

7.7. U = 6 В; I		= 5 А; I = 3 А; I	= 2 А.
	1	2	3
7.8.	U = 0,5 В;	I = 0,03 А.
7.9.	I = 0,2 А; I	= 0,6 А; I = 0,4 А; U = 25 В.

7.10.U = 6 В; I = 1,5 А.

7.11.См. решение.

7.12. I	= 0,2 А; I = 0,4 А; U	= 10 В; U	= 30 В.
1	2	1	2

7.13.См. решение.

7.14.См. решение.

7.15.U = 8 В; I = 0,1 А.

7.16. U = 10 В; I = 0,4 А; I = 0,6 А.

7.17.См. решение.

7.18.См. решение.

7.19.См. решение.

7.20.I = 0,0637 А; I = 0,1 А; P = 10 Вт.

0
7.21. I	= 2 А; I = 0,436 А; U	= 36 В.
max	0	обр. max
7.22. См.	решение.
7.23. I =	0,127 А; P = 20 Вт; U	= 400 В.
0	обр. max
7.24. См.	решение.

399

7.25.См. решение.

7.26.См. решение.

7.27.См. решение.

7.28.См. решение.

7.29.i = 0,1125 sinωt – 0,02425 sin3ωt А; I = 0,0814 А.

7.30.См. решение.

7.31.U = 89 В; I = 0,0184 А; IL = 0,114 А; IC = 0,112 А.

7.32.См. решение.

7.33.См. решение.

7.34.См. решение.

7.35.Последовательная схема замещения: R = 5 Ом, X = 16,1 Ом.

Параллельная схема замещения: R	= 56,8 Ом, X = 17,7 Ом.
эк	эк
7.36. См. решение.
7.37. I = 3 А.

400

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6040 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб232Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб42Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб822Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб100Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc