Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

820

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 6033 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

6.82(р). Дано: R = 100 Ом, С1 =

= 0,5 мкФ, С = 1 мкФ, u

(0 ) = U =

–

= 120 B (рис. 1 к задаче 6.82(р)).

uC1

–C1 uC

uC2

Определить uС(t).

Решение. До коммутации uC (0– ) =

= U = 120 B, uC (0– )

= 0.

Рис. 1 к задаче 6.82(p)

Коммутация характеризуется мгновенным изменением емкости в цепи; напряжения на конденсаторах изменяются скачком до одинако-

вого значения uС(0 ). В момент коммутации сохраняется суммарный

заряд конденсаторов:

∑Q(0+ ) = ∑Q(0– );

∑Q(0– ) = C1uC (0– ) + C2uC (0– ) = C1U;

1 2

∑Q(0+ ) = C1uC (0+ ) + C2uC (0+ ) = (C1 + C2 )uC(0+ ).

		1	2
На основании обобщенного закона коммутации имеем:
				C
(C1	+ C2 )uC			1
(C1	+ C2 )uC	(0+ ) = C1U uC(0+ ) = -------------------- U			= 40 В.
			C	+ C
			1	2

Искомое напряжение на параллельно соединенных конденсаторах

uC(t) = uC уст(t) + uC прех(t) = Aept.

Корень характеристического уравнения

= –6,67æ10

–1

Z(p) = R + ---------------------------- = 0

p = –-----------------------------

p(C + C )

R(C + C )

= 0,15æ10

–3

Постоянная времени переходного процесса τ =

При t = 0+ uС(0+) = А = 40 В, поэтому

–6,67æ103 t

uC(t)

= 40e

В.

Замечание. Рассмотрим энергетический характер процесса.

Энергия заряженного конденсатора перед коммутацией WC(0 ) = C U2/2.

– 1

После разряда (при t → ×) в теплоту в резисторе перешла энергия

	∞	2		u2	(0 )∞		2pt		u2	(0 )		C C U2
		2		C		+	2pt		C	+		1	1
WT =	∫ Ri	3	dt =	-----------------	R	∫ e		dt =	-----------------2pR		= --------------------	+ C	-------------2	.
					R				-----------------2pR		C	+ C	-------------2
	0					0					1		2
	0					0

321

Согласно закону сохранения энергии при t = 0

WT = WC(0+ ) =

(C1 + C2 )uC2 (0)

C1U2

----------------------------------------

= --------------------

+ C

-------------2

Разность энергий

(0 ) – W

(0 ) =

(0 ) > 0 .

W = W

= 1

–

--------------------

–

C1 +

–

C1 +

–

Эта разность W определяет энергию, которая «уходит» в момент коммутации от t = 0 до t = 0 и характеризует некорректность комму-

–+

тации, при которой имеют место мгновенные бесконечно большие импульсы токов и неизбежные дополнительные потери (на излучение, например).

Можно составить схему с корректной коммутацией, в которой вся

энергия заряженного конденсатора WC(0 ) переходит в теплоту в

–

самой схеме, но это будет уже схема второго порядка (рис. 2 к задаче

6.82(р)). При R = 0 получаем схему с «некорректной» коммутацией.

	i1		i3		1		К1
					1				u
		i2				2			u	C1 C
		i2				2	R	1		C1 C			1
								1					1
uC1 C1		C2	uC2	R	К	2			uC
	R					2	R2		uC		2	C2
		0									2
		0

Рис. 2 к задаче 6.82(p) Рис. к задаче 6.83*

6.83*. На рис. к задаче 6.83* приведена эквивалентная схема высоковольтного конденсатора с двухслойной несовершенной изоляцией. Параметры цепи: R = 1 МОм, R = 2 МОм, С = 10 мкФ, С = 20 мкФ.

Конденсатор был подключен к постоянному напряжению U = 30 кВ и заряжен до установившегося значения. Для разряда конденсатор был закорочен переключением ключа К в положение 2 (при этом ключ К

замкнут), а через время t ключ К размыкается.

Найти минимальное значение t , по истечении которого напряжение

uС на конденсаторе после размыкания ключа К будет не выше 12 В.

6.84*. Дано: Е = 100 В, R	= R = 10 Ом, L	= 0,2 Гн, L	= 0,05 Гн.
1	2	1	2

Коэффициент связи катушек k = 1 (рис. к задаче 6.84*). Рубильник в цепи замыкается практически мгновенно.

Определить закон изменения токов i (t) и i (t) после замыкания ключа.

1 2

322

R1 i1(t)	M	R2		R	L
	M
E				uC1	uC2 C2
L1	L2	i2(t)	C1	uC1	uC2 C2

Рис. к задаче 6.84*			Рис. к задаче 6.85*
		L
	M	i2		M	i2
	L1	i2			i2
	i		L1	L2	R2
R3	R1	R2	L1	L2	R2
R3		R2
			i1
			i1
	E1
			Рис. к задаче 6.87*
Рис. к задаче 6.86*
6.85*. Дано: С = 500 мкФ, С			= 125 мкФ, R = 20 Ом, L = 0,01 Гн
	1		2

(рис. к задаче 6.85*). Рубильник в цепи замыкается практически мгновенно. Определить закон изменения напряжения uC (t) , если в момент

замыкания ключа uC (0– ) = 0, uC (0– ) = 200 В.

Методическое указание. Для нахождения напряжения в установившемся режиме использовать закон сохранения заряда

Q1(0–) + Q2(0–) = Q1(×) + Q2(×) = uC уст(С1 + С2), так как uC уст = uC уст = uC уст.

6.86*. Дано: Е = 60 В, R = 5 Ом, R = R = 10 Ом, L = 2М = 0,1 Гн,

1 1 2 3 1

L = 0,2 Гн (рис. к задаче 6.86*).

В цепи происходит практически мгновенное отключение ветви с

резистором R .

Найти ток i для двух случаев:

а) при указанной разметке зажимов; б) при измененной разметке зажимов одной из катушек.

6.87*. Дано: L = 0,24 мГн, R = 0,1 Ом, М = 0,12 мГн (рис.

к задаче 6.87*).

В цепи ток i (t) внезапно прерывается быстродействующим

выключателем. До коммутации ток i = 0,4 А (постоянный).

Найти ток i (t) после коммутации.

323

6.7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ.

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

6.88(р). Дано: L = 5 мГн, R = 5 Ом, С = 5æ10–6 Ф (рис. 1 к задаче

t E ----------

T ⁄ 2

6.88(р)). Воздействующая функция — меандр u(t) = Um(–1) ,

		R			2π
		R			T = ------ , E(•) — функция антье, T — период,
					ω
					ω
u(t)					ω = 1000 рад/с, Um = 100 В.
			L		ω = 1000 рад/с, Um = 100 В.
				C	Определить ток iL(t) и напряжение uC(t)
				C


					при заданном периодическом воздействии:
					I. С использованием формул Дюамеля.
Рис. 1 к задаче 6.88(р)					II. С использованием разложения перио-
					II. С использованием разложения перио-
					дической функции в ряд Фурье.
	III. Методом переменных состояния.
	Провести сравнение полученных решений.
	Решение.

Часть I

1. Рассчитать переходную функцию напряжения и переходную

проводимость. Переходная проводимость	g(t) = iL(t)			,
				u(t) = 1(t)

переходная функция по напряжению h(t) = uC	(t)		. Решение
имеет вид:		u(t) = 1(t)
имеет вид:

g(t) = 0,2 – 0,2054e–1026t + 0,0054e–38974t А, h(t) = 1,05e–1026t – 1,05e–38974t В.

2. Применим формулу Дюамеля для первого, второго и третьего интервалов непрерывности.

Входное воздействие
u				T
u	1	(t) = 100,	0	≤ t ≤ --,
	1			2

			T
u(t) = u	2	(t) = –100, --		≤ t ≤ T,
			2

				3T
u				3T
u	3	(t) = 100,	T	≤ t ≤ ------.
	3			2

324

Для первого интервала непрерывности 0 ≤ t ≤ --2

iL(t) = u(0)g(t) = 100(0,2 – 0,2054e–1026t + 0,0054e–38974t) = = 20 – 20,54e–1026t + 0,54e–38974t А,

uC(t) = u(0)h(t) = 100(1,05–1026t – 1,05e–38974t) =

= 105e–1026t – 105e–38974t В.

Для второго интервала непрерывности --2 ≤ t ≤ T

– u

(t) = u(0)g(t) +

g t – --

=100(0,2 – 0,2054e–1026t + 0,0054e–38974t) + [–100 – 100](0,2 –

–0,2054e–1026(t – 0,00314) + 0,0054e–38974(t – 0,00314)) = –20 – 20,54e–1026t +

+0,54e–38974t + 41,08e–1026(t – 0,00314) – 1,08e–38974(t – 0,00314)) А,

u (t) = u(0)h(t) +

– u

h t – --

=100(1,05e–1026t – 1,05e–38974t) + [–100 – 100](1,05e–1026(t – 0,00314) –

–1,05e–38974(t – 0,00314)) = 105e–1026t – 105e–38974t –

–210e–1026(t – 0,00314) + 210e–38974(t – 0,00314) В.

Для третьего интервала непрерывности T ≤ t ≤ ------

(t) = u(0)g(t) +

– u

g t – --

+ [u (T) – u

(T)]g(t – T) =

=100(0,2 – 0,2054e–1026t + 0,0054e–38974t) + [–100 – 100](0,2 –

–0,2054e–1026(t – 0,00314) + 0,0054e–38974(t – 0,00314)) + [100 + 100](0,2 –

–0,2054e–1026(t – 0,00628) + 0,0054e–38974(t – 0,00628)) = 20 – 20,54e–1026t +

+0,54e–38974t + 41,08e–1026(t – 0,00314) – 1,08e–38974(t – 0,00314)) –

–41,08e–1026(t – 0,00628) + 1,08e–38974(t – 0,00628)) А,

325

	u	T			T		T
		T			T		T
u (t) = u(0)h(t)+		--	– u		--	h t – --		+ [u	(T) – u (T)]h(t – T) =
C	2	2		1	2		2	3	2

=100(1,05e–1026t – 1,05e–38974t) + [–100 – 100](1,05e–1026(t – 0,00314) –

–1,05e–38974(t – 0,00314)) + [100 + 100](1,05e–1026(t – 0,00628) –

–1,05e–38974(t – 0,00628)) = 105e–1026t – 105e–38974t – 210e–1026(t – 0,00314) +

+210e–38974(t – 0,00314) + 210e–1026(t – 0,00628) – 210e–38974(t – 0,00628) В.

Часть II

1. Представление входного воздействия (меандра) в виде суммы гармоник (разложение в ряд Фурье):

4Um
4Um	1			1		1
u(t) = -----------		sin ωt + --	sin 3	ωt + --	sin 5	ωt + … + -- sin kωt + …	.
π		3		5		k
π		3		5		k

Для Um = 100 В

u (t) = 127,324 sinωt В, u (t) = 42,441 sin3ωt В, u (t) = 25,465 sin5ωt В,

1 3 5

u (t) = 18,189 sin7ωt В, u (t) = 14,147 sin9ωt В, u

(t) = 11,575 sin11ωt В …

2. Расчетная

схема для определения

установившейся составляющей решения

k-й гармоники

приведена

на

рис. 2 к

(k)

задаче 6.88(р):

X (k)

(k)

для k = 1

(1)

= 5 Ом,

(1)

= 200 Ом;

для k = 3, 5, 7, 9, 11

XL(k) = kXL(1) =

Рис. 2 к задаче 6.88(р)

(k)

XC(1)

200

= kæ5 Ом, XC

---------

--------

Ом.

Для каждой гармоники решение переходного процесса находим как сумму установившейся и преходящей составляющих:

для k = 1

i(L1)(t) = 18,2328 sin(1000t – 45,7) + 13,0772e–1026t + 0,0172e–38974t А,

u(C1)(t) = 91,164 sin(1000t + 44,3) – 67,17e–1026t + 3,441e–38974t В;

для k = 3

i(L3)(t) = 2,7394 sin(3000t – 75,5) + 2,6695e–1026t – 0,0175e–38974t А,

326

u(C3)(t) = 41,091 sin(3000t + 47,3°) – 13,711e–1026t + 3,423e–38974t В;

для k = 5

i(L5)(t) = 1,0157 sin(5000t – 85,7°) + 1,0303e–1026t – 0,0174e–38974t А,

u(C5)(t) = 25,401 sin(5000t + 4,3°) – 5,294e–1026t + 3,389e–38974t В;

для k = 7

i(L7)(t) = 0,519 sin(7000t – 91,8°) + 0,536e–1026t – 0,017e–38974t А,

u(C7)(t) = 18,1797 sin(5000t – 1,8°) – 2,765e–1026t + 3,336e–38974t В;

для k = 9

i(L9)(t) = 0,3124 sin(5000t – 96,5°) + 0,3272e–1026t – 0,0168e–38974t А,

u(C9)(t) = 14,057 sin(9000t – 6,5°) – 1,678e–1026t + 3,269e–38974t В;

для k = 11

u(C11)(t) = 11,382 sin(11 000t – 10,4°) – 1,1345e–1026t + 3,1895e–38974t В.

Приближенное решение переходного процесса определим по методу наложения:

ток в индуктивном элементе

(1) (3) (5) (7) (9)

iL(t) = iL (t) + iL (t) + iL (t) + iL (t) + iL (t) ; напряжения на емкостном элементе

(1) (3) (5) (7) (9)

uC(t) = uC (t) + uC (t) + uC (t) + uC (t) + uC (t)

(с учетом пяти членов ряда Фурье) и

(1) (3) (5) (7) (9) (11)

uC(t) = uC (t) + uC (t) + uC (t) + uC (t) + uC (t) + uC (t)

(с учетом шести членов ряда Фурье).

3. Решение переходного процесса (графическое представление) показано на рис. 3 и 4 к задаче 6.88(р).

327

Интеграл Дюамеля

iL(t), А

16
12
8
4
0					10–3t, c
1,57	3,14	4,71	6,28	7,85	10–3t, c

–4

–8

–12

–16

–20 Ряд Фурье (1, 3, 5, 7, 9-я гармоники)

Рис. 3 к задаче 6.88(р)

uC(t), В

Интеграл

Дюамеля

160

120

Ряд Фурье

(1, 3, 5, 7, 9, 11-я гармоники)

0					10–3t, c
1,57	3,14	4,71	6,28	7,85	10–3t, c

–40

Ряд Фурье

(1, 3, 5, 7, 9-я гармоники)

–80

–120

–160

–200

Рис. 4 к задаче 6.88(р)

328

Часть III

1. Составим систему дифференциальных уравнений (уравнения состояния):

diL

-------

= Ax + Bu(t) , x =

duC

---------

Расчетная схема после коммутации пред-

ставлена на рис. 5 к задаче 6.88(р).

iR R

Уравнения Кирхгофа:

u(t)

iС

iR = iC + iL, u(t) = uR + uC, uC = uL.

duC

uL =

diL

С учетом iC = C--------- ,

L------- :

diL

duC

Рис. 5 к задаче 6.88(р)

-------

= --u

, ---------

– ---i

– -------u

+ -------u(t) .

dt L

Уравнение состояния в матричном виде:

–--

200

A =

–2æ10

æ10

–---

–-------

–4

Bu(t) =

4æ10

-------u(t)

u(t)

2. Проекторы и собственные числа матрицы А:

α = –1026 c–1, α = –38974 c–1,

A – α æ1

1,027

5,271æ10

–3

-------------------------

– α

–5,271

–0,027

A – α æ1

–0,027

–5,271æ10

–3

------------------------- =

α – α

5,271

1,027

329

Операторное изображение по Лапласу для функции со сдвигом аргумента на разных интервалах непрерывности имеет вид

–1

– ----------------------------

, t

0; --

(pT) ⁄ 2

1 + e

U(p; t) =

p(t – T ⁄ 2)

–1

–p

1 – ----------------------------

, t

--;

(pT) ⁄

1 + e

Для данного воздействия T/2 = 3,14 мС = 0,00314 с, Um = 100 В. В первом интервале непрерывности t [0; T/2]

							0
	BU(p; t) =							pt		,
	BU(p; t) =	40æ10		3			2e			,
				3	æ100		2e
					æ100	1	– -----------------------------------------
									–3
							1 + epæ3,14æ10
для p	= α = –1026 с–1
1	1
							0
							0
	BU(p ; t) =								,
	1		– 3898,636 + 7498,172e–1026t
			– 3898,636 + 7498,172e–1026t

для p = α = –38974 с–1

BU(p ; t) =

– 102,6436 + 205,286e–38974t

Установившаяся составляющая решения для t [0; T/2]:

iL уст

= – P BU(p

; t) – P BU(p

; t) =

uC уст

–1,027 –5,271æ10

–3

5,271

0,027

– 3898,636 + 7498,172e–1026t

5,271æ10

–3

0,027

–5,271

–1,027

– 102,6436 + 205,286e–38974t

20,01 – 39,52e–1026t + 1,082e–38974t

0,151 + 202,45e–1026t – 210,83e–38974t

330

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 6033 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб231Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб42Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб820Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб100Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc