Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

799

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 6023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

															Таблица 5.1

Тип уравнения		Вид уравнения								Матричная запись уравнения

	U	= A		U		+ A		I′
	U	= A		U		+ A		I′			U			U
	1		11		2		12		2		U			U
A											1		= A	2
	I	= A	U		+ A		I′					I			I
	1	21		2		22		2				I			I
	1	21		2		22		2			1			2
											1			2

	I	= Y		U		+ Y		U
	I	= Y		U		+ Y		U				I		U
	1	–11			1	–12			2			I		U
	1	–11			1	–12			2		1			1
Y											1		= Y	1
	I	= Y		U		+ Y		U					–
	I	= Y		U		+ Y		U				I		U
	2	–21			1	–22			2			I		U
	2	–21			1	–22			2		2			2

	U	= Z		I		+ Z		I
	U	= Z		I		+ Z		I				U			I
		1	11		1		12		2			U			I
Z											1		= Z	1
	U	= Z		I		+ Z		I				U			I
		2	21		1		22		2			U			I
		2	21		1		22		2		2			2
											2			2

	U	= H		I		+ H		U
	U	= H		I		+ H		U			U				I
	1		11		1	12			2		U				I
H											1		= H	1
	I	= H		I	+ H		U					I		U
	2	21		1		22			2			I		U
	2	21		1		22			2		2			2
											2			2

	I	= G		U		+ G		I
	I	= G		U		+ G		I				I		U
	1	11			1	12			2			I		U
G											1		= G	1
	U	= G		U		+ G		I			U				I
	2		21		1		22		2		U				I
	2		21		1		22		2		2			2
											2			2

Первичные параметры неавтономных четырехполюсников. Коэффициенты уравнений четырехполюсника (см. табл. 5.1) Aij, Yij, Zij,

Hij, Gij, где i, j = 1, 2, называются его первичными параметрами. Связь между различными типами первичных параметров определяется соотношениями, представленными в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Тип
	A	Y	Z	H	G
уравнения

						Y			1		Z													H			1		G
						–22			1			11				Z					H				11		1			22
					–	--------		–	--------		-------			-------					–	--------		–		--------		--------			--------
		A	A			Y			Y		Z			Z						H				H		G			G
A		11	12			–21			–21			21			21					21					21		21			21
A
		A	A						Y		1			Z						H					1	G
		21	22				Y		–11		1				22					22					1		11			H′
					–	--------		–	--------		-------			-------					–	--------		–		--------		--------			--------
						Y			Y		Z			Z						H				H		G			G
						–21			–21			21			21					21					21		21			21

	A			A						Z				Z						1			H					G	G
		22		A							22						12			1					12			G		12
	-------		–-------							-------				–-------					--------			–	--------			--------			--------
	A		A			Y		Y											H				H			G			G
Y		12	12			–11		–12				Z						Z		11					11		22			22
Y
		1	A			Y		Y			Z			Z					H								G			1
		1	11			–21		–22				21				11				21					H			21		1
	–-------		-------							–	-------			-------					--------			--------				–	--------		--------
		A	A										Z				Z		H			H					G		G
		12	12										Z				Z			11				11				22		22

221

Окончание табл. 5.2

Тип
	A	Y	Z	H	G
уравнения

	A								Y							Y																H					1				G
		11				A			–22								–12														H		12				1						12
	-------			-------					-------						–-------												--------					--------				--------				–	-------				-
	A			A								Y								Y		Z		Z			H					H				G					G
Z		21			21							Y								Y		11			12					22			22				11						11
Z
		1		A						Y						Y						Z		Z					H				1			G
		1			22					–21						–11						21			22						21		1				21						G
	-------			-------				–		-------						-------											–		-------		-	--------				--------				--------
	A			A									Y						Y										H			H				G				G
		21			21								Y						Y												22		22				11					11

	A									1						Y									Z											G						G
		12					A			1						–21							Z			12											22							21
	-------				-------				-------					–		-------						-------			-------											--------				–		-------				-
	A				A				Y							Y						Z			Z		H					H
H		22				22			–11							–11						22				22				11			12					G							G
H
		1			A				Y													Z			1		H					H				G					G
		1				21			–21									Y					21		1					21			22					21					11
	–-------				-------				-------						-------							–-------			-------											–-------			-		--------
		A			A				Y						Y							Z			Z
		22				22			–11						–11								22			22													G					G

	A															Y						1			Z		H					H
		21					A						Y			–12						1				12			22					12
	-------		–		-------					-------						-------						-------		–	-------		--------					–-------			-
	A				A					Y						Y						Z			Z											G				G
G		11				11				–22						–22						11				11				H					H			11				12
G
	1			A						Y							1					Z					H					H				G				G
	1				22						–21						1					21				Z				21			11					21				22
	-------			-------					–-------							-------						-------		-------			–-------				-	--------
	A			A						Y						Y						Z		Z
		11			11						–22					–22						11			11						H			H

Примечание.			Y		= Y			Y				– Y					Y			;	Z	= Z		Z			– Z	Z ;				А		= А		А			– А А							;
			Y					11	22						12				21		Z		11 22				12			21		А				11	22				12					21
= H H – H H ; = G G – G G .
H 11 22 12 21						G		11 22									12				21

В частных случаях связь существует и между параметрами одного типа. Так, поскольку для пассивных четырехполюсников выполняется принцип взаимности и число независимых коэффициентов в каждом из перечисленных типов уравнений сокращается до трех, то справедливы соотношения:

A = A11A22 – A12A21 = 1 ;

Y	= Y	; Z = Z		; H = H	; G = G .
–12	–21	12	21	12 21	12 21

Для симметричного четырехполюсника при взаимной замене первичных и вторичных выводов не меняется режим работы внешней цепи. Дополнительно имеют место соотношения:

A	= A	; Y		= Y	; Z = Z		;
11	22	–	11	–22	11	22

H = H11H22 – H12H21 = 1 ; G = G11G22 – G12G21 = 1 .

222

Входные сопротивления четырехполюсника. Входные сопротивления четырехполюсника со стороны первичных выводов при нагрузке Z2н (рис. 5.2, а)

+ A

I ′

Z1вх

= ------

= --------------------------------------11

12 2 .

+ A

I ′

Разделив дробь на

I ′

и учитывая, что

-------

, получим

2н

I ′

A11Z2н

+ A12

Z1вх =

A--------------------------------21Z2н

+ A22

В случае, когда Z2н = 0, входное сопротивление называют сопротивлением короткого замыкания четырехполюсника (рис. 5.2, б),

= A-------12 = -------1 =

-------Z = H

= G , = Z Z – Z Z ,

1к

G Z

12 21

–11

а в случае Z2н → ∞ (рис. 5.2, в) входное сопротивление называют

сопротивлением холостого хода четырехполюсника,

–22

, = Y Y

-------

-------Y

= Z =

--------

– Y Y

1х

A21

H22

G11

–11 –

–12 –21

Входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторич-

ных выводов при нагрузке Z1н (рис. 5.3, а)
									U				B		U		+ B I ′			B Z		+ B
				Z2вх		= ------					2	= 11--------------------------------------				1		12 1	= 11 1н--------------------------------			12 ,
									I				B U				+ B I ′			B Z		+ B
										2		21				1		22 1		21 1н		22
														–1
														–1
		B	B					A				A					1	A	A
где		11	12		=		11					12			=		------	22	12	.
																	------
		B21	B22					A21				A22					A	A21	A11
	1	I1							I2		2						1				2	1	2
	1	I1							I2		2						1				2	1	2

Z1вх U1	Четырех-	U2н	Z2н	Z1к	Четырех-		Z1х	Четырех-
Z1вх U1	полюсник	U2н	Z2н	Z1к	полюсник		Z1х	полюсник
1		2			1	2	1	2

а)

б)

в)

Рис. 5.2

223

	1		I			I		2		1		2			1		2
	1			1	Четырех-		2	2		1	Четырех-	2			1	Четырех-	2

Z1н		U	1				U	2	Z2вх				Z	2к			Z2х

					полюсник						полюсник					полюсник
					полюсник						полюсник					полюсник

	1							2		1		2			1		2
	1				а)			2		1	б)	2			1	в)	2
					а)						б)					в)

Рис. 5.3

В случае, когда Z1н = 0 (рис. 5.3, б), входное сопротивление — это сопротивление короткого замыкания

	B12		A12			Z		H11
Z	= -------	=	-------	= Y	=	-------	=	--------H	= G	,
2к	B22		A11	–22		Z11			22
	B22		A11			Z11

а в случае Z1н = × (рис. 5.3, в) входное сопротивление — это сопротивление холостого хода

–11

-------

-------Y

= Z =

--------

2х

B21

A21

H22

G11

Сопротивления холостого хода и короткого замыкания связаны соотношением

Z1к Z2к

-------- = -------- .

Z1х Z2х

Вторичные параметры четырехполюсника. Вторичными параметрами четырехполюсника называются его характеристические сопротивления Zс1 и Zс2 и постоянная передачи Г. Характеристиче-

скими называют входные сопротивления в режиме согласованной нагрузки, когда Z1вх = Z2н и Z2вх = Z1н, т.е. Zс1 = Z1вх = Z2н и Zс2 = = Z2вх = Z1н. Для симметричного четырехполюсника сопротивление

Zс1 = Zс2 называют просто характеристическим сопротивлением и обозначают Zс. Постоянной передачи Г называют безразмерную ком-

плексную величину, характеризующую изменение напряжений и/или токов четырехполюсника в режиме согласованной нагрузки (Z1вх = Z2н):

U	1		I 1		1		U1I 1
Г = A + jB = ln ------		= ln	-------	=	--	ln	---------------			.
U			I ′		2		U		I ′
	2		2					2	2

Здесь величину А называют постоянной ослабления, ее единицы: Нп — для натурального логарифма, дБ — для десятичного логарифма:

	1	U1I1		U1I1
A =	--	ln -------------		или A = 10 lg-------------		,
	2	U	I ′	U	I ′
		2	2	2	2

224

а величину В, определяемую разностью фаз входных ψu и ψi и

1 1

выходных ψu и ψi напряжений и токов:

1			1
B = --	(ψu	– ψu	) + --	(ψi	– ψi )
2	1	2	2	1	2

называют постоянной фазы.

Связь первичных и вторичных параметров четырехполюсника. Для симметричного четырехполюсника имеем:

A11 = A12 = chГ, A12 = Zc shГ, A21 = shГ/Zc ,

при этом Г = ln (A11 + A12A21) , Zc = A12 ⁄ A21 .

Связь вторичных параметров и входных сопротивлений четырехполюсника. Для симметричного четырехполюсника Zc = ZкZх ,

thГ = Zк ⁄ Zх , при этом Zк = Zc thГ, Zх = Zc cthГ, где Zк = Z1к = Z2к ,

Zх = Z1х = Z2х .

Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях. Уравнения симметричного четырехполюсника, выраженные через его вторичные параметры, имеют вид:

ZcshΓ

chΓ

shΓ

--------

chΓ

I ′

Соединения четырехполюсников. Основными типами соединений четырехполюсников являются каскадное (рис. 5.4, а), параллельное (рис. 5.4, б) и последовательное (рис. 5.4, в) соединения. При замене

	1				1
	1				1

	2	2
	2	2


а)	б)	в)

Рис. 5.4

225

каждого из этих соединений эквивалентным четырехполюсником его параметры могут быть определены как произведение А-параметров

(A = A	A ) при каскадном, как сумма Y-параметров (Y		= Y	+ Y	)
1	2	–	–1	–2

при параллельном и как сумма Z-параметров (Z = Z1 + Z2 ) при после-

довательном соединении. Здесь A , Y , Z , i = 1, 2, — матрицы соот-

i –i i

ветствующих параметров 1-го и 2-го четырехполюсников. Последовательность каскадных соединений называют цепной схе-

мой (рис. 5.5).

Эквивалентные А-параметры цепи на схеме рис. 5.5, рассматриваемой как один четырехполюсник с граничными узлами 1—1′ и 2—2′

определятся

как

Aц = A1A2…An .

Если при этом все четырех-

полюсники i

1, 2,

…,

n имеют одинаковые А-параметры, т.е.

A1 = A2 = … = An = A, то

Aц =

, а уравнение цепи в гиперболи-

ческих функциях примет вид

ZцshΓц

chΓц

, Γц = nΓ, Zц = Zc ,

shΓ

I ′

-----------

chΓ

Zц

где Г и Zc — постоянная передачи и характеристическое сопротивление каждого из n одинаковых четырехполюсников.

Первичные и вторичные параметры Т-, П- и Х-образных четырехполюсников. В табл. 5.3 представлены A-, Y-, Z-параметры симметричных Т-, П-образных четырехполюсников с общей точкой, симметричных Х-образных (мостовых) четырехполюсников, а также Г-образных четырехполюсников. Выбор двойных и половинных сопротивлений для обозначения параметров схем Т- и П-образных четырехполюсников обеспечивает для этих четырехполюсников равенство суммарного продольного Z1 и суммарного поперечного Z2 сопротивления.

Тогда как выбор параметров сопротивлений для Г-образного четырехполюсника объясняется тем, что он рассматривается как «половина» Т-образного четырехполюсника.

1			I2	2
U1	1	2	n	U2
1				2

Рис. 5.5

226

																																			Таблица 5.3

																										Коэффициент
				Схема
				Схема																		А								Y						Z
																						А								Y						Z

		Z1								Z	1											Z				Y = Y =							Z = Z =
		Z1									1											Z				Y = Y =							Z = Z =
	2								2									A	= 1 +			--------	1 = A			–11			–22					11		22
	2								2									11							22
1														2								2Z					2Z			+ 4Z				Z
1														2									2				2Z			+ 4Z				Z
								Z2																Z1		=			1		2		=	1	+ Z
																										=	-------------------------------		1		2		=	1	+ Z
																											Z1(Z1 + 4Z2)							2		2
1																	2	A	= Z			1 + --------											Z		= Z		= Z
																		12		1			4Z			Y		= Y =					Z		= Z		= Z
																		12		1
																								2										21		12		2
																										–21			–12
																				1								–4Z
																		A	=									–4Z
																		A	=	-----										2
																		21		Z						=	-------------------------------
																				2							Z (Z			+ 4Z )
																											1		1		2

						Z	1															Z				Y		= Y		=			Z		= Z		=
							1																1 = A			–11			–22					11		22
																		A = 1 +				--------				–11			–22					11		22
																		A = 1 +
1												2						11				2Z			22		1			1				Z (2Z + 4Z )
			2Z2										2Z2										2				1			1				Z (2Z + 4Z )
			2Z2										2Z2													=	2--------Z + ----Z-						=-----------------------------------2			1		2
																		A	= Z									2		1					Z + 4Z
1																	2	12		1															1			2
																								Z							1		Z		= Z		=


																				1						Y		= Y		=
																				1				1		Y		= Y		=	-----			21		12
																		A	=	Z-----		1 +		4--------Z		–21			–12		Z
																		21		Z-----				4--------Z							1					2
																				2				2											4Z
																																				2
																																	=Z--------------------		+ 4Z
																																		1			2

						Z1														Z + Z						Y = Y =							Z = Z =
1															2			A	=	2			1 = A			–11			–22					11		22
																		A	=	-----------------			1 = A			–11			–22
																		11		Z	–		Z		22		Z	+ Z						Z	+ Z
	Z2																	11							22

																				2			1
																										=	-----------------2			1			=	-----------------2		1
	Z																			2Z Z							2Z Z								2
		2																			1		2					1		2
							Z1											A	=	-----------------
																		A	=	-----------------
1																	2	12		Z	– Z					Y		= Y		=			Z		= Z		=
																				2			1			Y		= Y		=				21		12
																					2					–21			–12					Z	– Z
																					2						Z	– Z						Z	– Z
																		A	=								Z	– Z						2		1
																		A	=	----------------			-				2			1			=
																		21		Z	– Z					=							=	----------------		-
																				Z	– Z					=	----------------			-					2
																				2			1				2Z Z								2
																											2Z Z
																												1	2

						Z1																		Z1					Z1 + 4Z2				Z11 = 2Z2
						2												A	= 1, A				=	-----2		Y		=	--------------------2Z Z
1																2		11				12		-----2		–11			--------------------2Z Z
																		11				12				–11
																														1 2			Z		= Z		= 2Z
			2Z		2															1												2		21		12		2
																				1
																		A	=							Y		= Y		= –								Z
																		A	=	--------																		Z
																		21																				1
																				2Z						–21			–12				Z		= 2Z +			-----
1																	2			2Z						–21			–12		Z		Z		= 2Z +
1																	2				2										Z			22		2		2
																						Z							2			1
																						Z
																		A	= 1 +			--------	1			Y		=
																		22				4Z				–22			Z
																		22								–22

Втабл. 5.4 приведены формулы связи вторичных параметров, представленных в табл. 5.3, четырехполюсников с параметрами их схем. В формулах для Г-образного четырехполюсника через Zcп обоз-

начено характеристическое сопротивление со стороны первичных зажимов, а через Zcт — характеристическое сопротивление со сто-

роны вторичных зажимов.

227

Таблица 5.4

Четырехполюсник

Т-образный

П-образный

Х-образный

Г-образный

			Z2			4Z Z2			Zc = Z1Z2						4Z Z2
Zc = Z1Z2 + ----1-				Zc =		--------------------	1 2			Z	+ Z	Zcп =		--------------------		1 2
			4			Z + 4Z				Z	+ Z			Z		+ 4Z
						1		2			1	2			1	2
			Z				Z		chΓ	-----------------= Z	– Z
			1				Z				2	1			2
chΓ	= 1 +						1							Z
chΓ	= 1 +		--------	chΓ	= 1 +									Z	1
			2Z	chΓ	= 1 +		--------								1
			2Z				2Z				Z	Z =		-----		+ Z Z
			2				2Z		Γ			Z =		-----		+ Z Z
			2				2		Γ				cт			1 2
							2				1		cт	4		1 2
											1
									sh	=	-----
									sh	=	-----
Γ		Z				Z			2		Z
Γ		Z	1	Γ							2
			1	Γ			1				2					Z
sh--	=	--------		sh	=		1									Z
2				sh	=	--------						thΓ =				1
2		4Z		2		4Z						thΓ =		--------------------
			2	2		4Z								Z		+ 4Z
							2							Z		+ 4Z
															1	2

Активные четырехполюсники. Представленные в табл. 5.1 уравнения могут использоваться и для описания активных неавтономных четырехполюсников. При этом в общем случае все четыре первичных параметра таких четырехполюсников будут различны. Для описания активных автономных четырехполюсников оказывается удобным их представление в виде соединения пассивного четырехполюсника и источников ЭДС и тока (рис. 5.6, а, б), где J1к и J2к равны токам I1 и

I2 при одновременном коротком замыкании первичных выводов (т.е. узлов 2 и 2′), а Е1х и Е2х равны напряжениям U1 и U2 при одновременно разомкнутых первичных и вторичных выводах. Тогда описание четырехполюсников (см. рис. 5.6, а, б) можно получить на основе описания пассивного четырехполюсника. Например, Y-урав- нения активного четырехполюсника на рис. 5.6, а будут иметь вид:

= Y

+ Y

+ J

;

–11

–12

1к

= Y

+ Y

+ J

–21

–22

2к

I1–

1к

I2–J2к I2 2

1 I1

1х

2х

I2 2

J1к

2к

1–

1х

2–E2х

а)

б)

Рис. 5.6

228

где Y11, Y12, Y21, Y22 — Y-параметры пассивного четырехполюсника

П, а Z-уравнения активного четырехполюсника на рис. 5.6, б будут иметь вид:

U1 = Z11I 1 + Z12I 2 + E1х;

U2 = Z21I 1 + Z22I 2 + E2х,

где Z11, Z12, Z21, Z22 — Z-параметры пассивного четырехполюсника П.

Диагностика электрических цепей. Под диагностикой в теории электрических цепей понимается задача определения параметров цепей известной топологической структуры по известным реакциям на заданные (известные) воздействия. При решении задачи диагностики используются законы Ома и Кирхгофа, но известными величинами в уравнениях на основе этих законов являются некоторые из токов и напряжения цепи, а неизвестными — ее параметры: сопротивления и проводимости резисторов, емкости конденсаторов и т.д. Поэтому формальная запись уравнений этих законов иная, чем при их использовании для анализа цепей. Так, если в анализе цепей запись второго закона Кирхгофа имеет вид

		I
	Z1	I	1
B	Z2	I	2	= E,
	…	…
	Zn	I n

где В — матрица контуров; E — вектор-столбец контурных ЭДС; Zj и Ij, j = 1, 2, …, n, — соответственно сопротивления и токи ветвей

цепи, то в диагностике используется так называемая взаимная форма записи этого уравнения:


	I 1	Z1
B	I 2	Z2	= E.
	…	…
	I n	Zn

Для решения задачи диагностики необходимо составить систему подобных уравнений, используя данные измерений токов и напряжений в различных режимах. В простейшем случае для определения сопротивления Z некоторого элемента с известными током I и напря-

229

1	U j		жением	U	достаточно		воспользо-
1	U j		ваться законом Ома Z = U/I. В более
	i		ваться законом Ома Z = U/I. В более
j		V	сложных	случаях,		когда	токи или
j		V
			напряжения некоторых ветвей зара-
			нее неизвестны, требуется опреде-
	J		ленным	образом		скомбинировать
			ленным	образом		скомбинировать
m			уравнения с		известными		токами и
			напряжениями, для чего существует
			ряд формальных методов. Наиболее
Рис. 5.7			известным из них является метод
			известным из них является метод
			узловых	сопротивлений,			в котором
для диагностики m-полюсника (рис. 5.7) проводится m измерений
узловых напряжений Uij, i = 1, 2, …, m, в каждом из m диагностиче-
ских экспериментов (j = 1, 2, …, m). По данным этих экспериментов
составляется уравнение

… Um

… Y

–11

–1m

… Y

… U

–m1

–mm

решение которого имеет вид

–1

… Y

… Um

–

–1m

...

= J

...

… Y

… U

–m1

–mm

Если J = 1 А, то узловые напряжения Ui численно равны так называемым узловым сопротивлениям Zji и последнему выражению можно придать более компактный вид

Y = (Zу)–1,

где Y и Zу — матрицы соответственно узловых проводимостей и сопротивлений. Определив матрицу Y, можно определить и проводимости всех ветвей многополюсника. Так, проводимость ветви, соединяющей узлы i и j многополюсника, равна Yji, если i, j ≠ 0. Проводи-

мость ветви, соединяющей узел j и базисный узел i = 0, равна сумме элементов j-й строки или j-го столбца матрицы Y.

230

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 6023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб215Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб41Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб799Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб90Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc