Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1262 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I
Предмет:
Теоретические основы электротехники
Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf
Скачиваний:
799
Добавлен:
09.12.2021
Размер:
4.92 Mб
Скачать
☆

Электрические фильтры — частотно-избирательные устройства, имеющие полосу частот пропускания (в пределах граничных частот)

иполосу задерживания (непропускания) для электрических сигналов (напряжения, тока) в диапазоне частот.

По назначению различают: низкочастотные фильтры (ФНЧ), высокочастотные фильтры (ФВЧ), полосно-пропускающие фильтры (ППФ) и полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ). В области электро-

ирадиотехники для минимизации тепловых потерь применяют фильтры преимущественно на реактивных четырехполюсниках. В области цифровой техники широко используются RC-фильтры.

Фильтры типа k — это Т- и П-образные (или Х-образные (мостовые)) реактивные четырехполюсники, для которых выполняется

условие Z1Z2 = k2, где Z1 — продольное и Z2 — поперечное реактивные

сопротивления разного характера, а k — вещественная постоянная. Граничные частоты f1 и f2 полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ опре-

деляются из условия

 

Z1

 

–1

≤ –-------- ≤ 0 .

(1)

 

4Z2

 

Постоянная передачи Г = А + jВ, в полосе пропускания

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

1

 

A = 0; B = arcсos

 

1

– -------- .

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Z2

 

В полосе задерживания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = arch

 

– 1

+ --------

; B = ±π.

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Z2

 

 

В табл. 5.5 приведены схемы замещения фильтров типа k и их основные параметры.

Таблица 5.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полоса пропускания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема и название

 

 

 

 

Вторичные параметры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и параметры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Низкочастотный

0 = f ≤ f ≤ f

 

1

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

L/2

L/2

 

 

= --------------;

Z

= k 1 – f

 

 

⁄ f

 

;

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

Т

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

A

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

k

 

 

Z

= -------------------------

; ch---

=

---

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = -------;

 

 

 

П

2

 

 

 

2

 

2

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πf

 

 

 

 

 

⁄ f

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

1

 

L

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C = ----------, где k =

---

 

2f

 

 

 

B

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πf k

 

 

cosB = 1 – ------- ;

 

sin --- = ---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

2

 

 

2

f

 

 

 

 

 

C/2

 

 

 

C/2

2

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончание табл. 5.5

 

 

 

 

 

 

Полоса пропускания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема и название

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторичные параметры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и параметры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высокочастотный

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≤ f ≤ f

= ∞;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C

2C

 

------------------

= f

 

 

 

Z

= k

1 –

f

 

 

 

⁄ f

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

Т

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

f

 

 

 

L

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

=

 

 

 

 

 

 

 

; ch

 

=

 

;

 

 

 

L =

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

f

 

 

 

 

 

 

4πf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – f

 

 

⁄

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

C = -------------

 

 

 

, где k =

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

2L

 

4πf k

 

 

 

C

 

 

cosB = 1 – -------

 

 

 

1 ; sin B--- = ---

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полосовой (полосный)

f ≤ f ≤ f

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f ⁄ f

 

– f

⁄ f)

2

 

 

2C1 2C1

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = k 1 –

--------------------------------

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

;

 

 

 

 

 

f

= f ( n

2

+ 1 + n) ;

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

L1/2

L1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4n

 

 

 

 

 

1,2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =

f f =

---------

--------------

 

;

 

 

Z = ----------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

0

 

1 2

 

2π

L C

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

(f ⁄ f – f

 

 

⁄ f)

 

 

 

L1

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – --------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

C

 

 

 

2

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

=

C------

=

n

 

; L

=

π(----------------------f – f

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2/2

 

L

 

 

 

 

 

 

1

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L2

 

2L2

1

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

C2/2

 

 

(f2 – f1)

 

k(f2 – f1)

 

 

(f ⁄ f0

– f0

⁄ f)

 

 

 

 

 

 

 

C

=

 

chA =

--------------------------------

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

– 1 ;

 

 

 

 

 

------------------

 

 

 

 

; L =

---------------------

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4πf f k

2

4πf

f

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

(f ⁄ f

 

– f

⁄ f)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

C

=

π(-------------------------f

 

 

)k

, где k =

 

------2 .

cosB = 1 – --------------------------------

 

 

 

 

 

 

2n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

– f

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заграждающий

 

 

0 ≤ f ≤ f

, f ≤ f ≤ ∞ ;

 

 

 

Z = k 1 – 1

 

 

1

 

 

 

 

L

/2

 

 

 

 

L

/2

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

(--------------------------------f ⁄

 

;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

4 n2

f – f ⁄ f)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

0

(

16n

2

+ 1 + 1) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C1

 

1,2

4n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C1

 

 

 

 

L

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Z = ------------------------------------------------------- ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

f = f f

=

 

---------

 

--------------

 

 

;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 2

 

2π

 

L C

 

 

 

 

1 –

 

--------

2 --------------------------------

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

4 n

(f ⁄ f

 

– f

⁄ f)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

C

 

 

2

 

 

 

(f

– f

)k

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

=

------

= n

 

 

; L

=

---------------------

 

 

;

chA =

 

 

 

 

 

 

 

 

– 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

C

 

 

 

 

 

 

1

πf f

 

 

--------

 

--------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L2

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

2n

2

(f ⁄

f

– f

 

⁄ f)

2

 

 

 

C

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

C

/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

=

----------------------------

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

(f

– f

 

)4πk

 

 

 

 

cosB = 1 –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

f – f

 

 

 

 

 

2 n 2 (f ⁄ f – f ⁄ f)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

=

(-------------------------f

 

k

 

)4π

; C

=

--------------2

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

– f

 

 

2

πkf

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где k =

------

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

232

Недостаток фильтров типа k — существенная зависимость характеристического сопротивления Zc от частоты (резистивного в полосе пропускания и реактивного в полосе задерживания), что затрудняет их применение в режиме, близком к согласованию, при работе на постоянную нагрузку фильтра.

Фильтры Баттеворта, Чебышева, Бесселя и др. имеют требуемые амплитудно-частотные (АЧХ) или фазочастотные (ФЧХ) характеристики передаточной функции Н(ω) при работе источника напряжения Uг с внутренним сопротивлением Rв на входе фильтра при постоянном сопротивлении нагрузки Rн (рис. 5.8).

Проектирование фильтров включает в себя этапы синтеза, аппроксимации и реализации.

Синтез включает в себя определение:

1)числа элементов фильтра n;

2)значений реактивных элементов по заданному модулю передаточной функции |Н(ω)| в полосе задерживания на заданной относи-

тельной частоте ν2 = ωh/ωгр.

Аппроксимация — аналитическое приближение к заданному значению модуля передаточной функции |Н(ω)| при частоте ν2 = ωh/ωгр.

На рис. 5.9 приведены кривые аппроксимации передаточной функции |Н(ω)| фильтра Баттеворта и фильтра Чебышева (n — число звеньев фильтра, α — неравномерность в полосе пропускания). Граничная частота для фильтра Баттеворта определена по уровню |Н(ω)| = 0,707, а для фильтра Чебышева — по уровню |Н(ω)| ≤ 1,0. С увеличением числа звеньев фильтра n крутизна модуля |Н(ω)| В полосе задерживания увеличивается (n1 < n2 < n3). Фильтры Чебышева при одинаковом числе звеньев имеют большую крутизну АЧХ, чем фильтры Баттеворта, однако в полосе пропускания их АЧХ неравномерна.

Реализация — выбор Т-, П- или мостовых схем замещения фильтра с физически реализуемыми элементами.

 

 

Rв

 

 

1

 

 

 

2

 

 

Rн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

г

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.8

233

H( )

H( )

1

 

 

0,707

 

 

 

n3 n2 n1

 

 

 

 

n3 n2 n1

 

0

1 h

 

0

1 h

 

 

гр

гр

 

 

гр

гр

Рис. 5.9

В табл. 5.6. приведены схемы замещения низкочастотных фильтра Баттеворта с максимально плоской характеристикой и фильтра Чебышева с равноволновой характеристикой в полосе пропускания и описание их параметров.

Таблица 5.6

g1

g3

gn–2

gn

 

G0

 

 

 

 

U

g2

 

gn–1

Gn+1

Генератор

 

 

 

Нагрузка

Здесь g — нормированные элементы T-образной схемы замещения, n — коли- k

чество элементов фильтра.

 

g2

 

gn–1

 

 

R0

 

 

 

 

 

U

g1

g3

gn–2

gn

Rn+1

Генератор

 

 

 

 

Нагрузка

Здесь g — нормированные элементы П-образной схемы замещения. k

234

Окончание табл. 5.6

Параметр фильтра-протопита нижних частот

Фильтр Баттеворта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фильтр Чебышева

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

 

АЧХ |Н(ω)|, дБ

 

–10 lg

 

1 + --------

 

–10 lg

 

1 +

 

2 ω

 

, δ

= 10

10

– 1

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

δTn

--------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

1 ⁄

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1010

– 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1010

– 1

 

 

 

 

ω

 

 

 

n — число звеньев

 

lg-------------------

 

 

 

ahrc

 

-------------------

 

 

⁄ arch

--------

 

 

 

2

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

lg--------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гр

 

 

 

 

 

 

 

 

10

10

– 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ak – 1ak

при k = 2, 3, 4, …, n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk – 1gk – 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2k – 1)π

 

 

 

 

= θ

2

 

 

2

kπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

= sin ----------------------

, b

 

 

 

+ sin

 

----- ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2k – 1)π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

2 sin

 

----------------------

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

θ = sh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

= 1 ,

g = -------- ,

 

----- ,

 

 

Значения элементов g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

k

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

θ

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

k = 1, 2, 3, …, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β = ln[cth(α ⁄ 17,37)] ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 при нечетном n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

n + 1

=

 

2β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cth

--

при четном n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. T (ω/ω ) — полином Чебышева первого рода порядка n,

nгр

cos[næarccos(ω ⁄ ωгр)], 0 ≤ ω ⁄ ωгр ≤ 1;

Tn(ω/ωгр) =

 

 

ch[næarch(ω ⁄ ω )], ω ⁄ ω

≥ 1.

 

гр

гр

 

При n нецелом его округляют к большему целому; α — значение неравномерности АЧХ в

полосе пропускания, дБ; h = 20 lg|Н(ω)| — вносимое ослабление на частоте ω /ω

в полосе

h

гр

задерживания, дБ.

 

Переход от фильтра-прототипа нижних частот (ФНЧ) к фильтру высоких частот (ФВЧ) и полосно-пропускающему фильтру (ППФ) или полосно-заграждающему фильтру (ПЗФ) проводится с помощью частотных преобразований, приведенных в табл. 5.7 (ωн и ωв —

нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания ППФ, ω1 — нормированная частота ФНЧ).

Частотное преобразование от ФНЧ к ФВЧ переводит емкостные элементы в индуктивные, а индуктивные в емкостные. Частотное преобразование от ФНЧ к ППФ переводит реактивные элементы в последовательные и параллельные резонансные контуры (ωн и ωв —

нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания ППФ, ω0 — центральная частота его полосы пропускания).

235

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФНЧ

 

 

ФВЧ

ППФ, ПЗФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν = 1

 

ω /ω

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

гр

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν

= 0

 

ω = ×

ω =

 

 

ω ω

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

н

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν

 

= –1

 

 

 

 

—

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ω

–

ω

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

------------------

 

------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωв –

ωн

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в– н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грL

 

 

 

 

 

в– н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

1

 

С

 

 

 

 

 

 

 

в– н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в– н

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1. ПАССИВНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

5.1(р). Найти коэффициенты матрицы А четырехполюсника (рис. к задаче 5.1(р)) при ωL = 20 Ом и 1/ωС = 10 Ом: 1) из системы уравнений матрицы А; 2) из режимов холостого хода и короткого замыкания; 3) через входные сопротивления четырехполюсника.

1

I1 C

I2

2

U1

 

L

U2

1

 

 

2

Рис. к задаче 5.1(р)

Решение. 1. Система двух уравнений типа А связывает входные и выходные напряжения и токи четырехполюсника:

U1 = A11U2 + A12I 2 ,

I 1 = A21U2 + A22I 2 .

236

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для левого и правого контуров:

U1 = I 1(–j10) + (I 1 – I 2 )j20 ,

U2 = (I 1 – I 2)j20 .

U2 + I 2j20

Из второго уравнения следует, что I 1 = ---------------------------- .

j20

Подставим I1 в первое уравнение:

U1 = 0,5U2 – j10I 2 ,

I 1 = –j0,05U2 + I 2 .

Следовательно, A11 = 0,5; A12 = –j10 Ом; A21 = –j0,05 См; A22 = 1.

2. Для цепи в режиме холостого хода (I2 = 0) имеем U1х = A11U2х ,

I 1х = A21U2х или

U1х = I 1х(– j10 + j20) = j10I 1х ,

I 1х = U2х ⁄ j20 , U2х = j20I 1х .

Следовательно, A11 = U1х ⁄ U2х = 0,5; A12 = I 1х ⁄ U2х = 1/j20 = = –j0,05 См.

Для цепи в режиме короткого замыкания (U2 = 0) имеем

U1к = A12I 2к ; I 1к = A22I 2к или U1к = –j10I 1к ; I 1к = I 2к .

Следовательно, A12 = –j10 Ом; A22 = 1.

3. Входные сопротивления четырехполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания:

для входа 1—1′

Z1x = (–j10 + j20) = j10 Ом, Z1к = –j10 Ом;

для входа 2—2′

Z2x = j20 Ом, Z2к = (–j10)(j20)/(–j10 + j20) = –j20 Ом.

Коэффициенты матрицы А:

 

Z1х

 

j10

= ±0,5 .

A11

= -----------------------

=

-----------------------

 

Z2х – Z2к

 

j20 + j20

 

237

Замечание. Коэффициент А11 неоднозначен по знаку (+, –), что связано с выбором направления выходного напряжения U2. При этом знак «+» соответствует случаю U2 = U( 2—2′ ) , а знак «–» U2 = U( 2′ —2) .

A12 = Z2кA11 = (–20j)0,5 = –j10 Ом;

A11 0,5

A = -------- = ------- = –j0,05 Cм;

21 Z1х j10

A11Z2х 0,5æj20

A = ---------------- = -------------------- = 1.

22 Z1х j10

5.2.Найти коэффициенты матрицы А для четырехполюсника (рис.

кзадаче 5.2), реактивные сопротивления которого ωL = 50 Ом, 1/ωC = 20 Ом.

 

 

1 I1

 

 

 

L

 

I2 2

1 I1

R1

M

R2

I2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

1

 

 

 

 

 

1/ C

 

 

 

1/ C

 

U

2

 

 

U

1

 

L1

L2

 

U

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. к задаче 5.2

 

 

 

 

Рис. к задаче 5.3(р)

 

 

 

 

5.3(р). Найти коэффициенты матриц А, Z, Y для четырехполюсника (рис. к задаче 5.3(р)) при R1 = R2 = 0, ωL1 = 40 Ом, ωL2 = 60 Ом

и ωМ = 30 Ом.

Решение. При выбранном направлении тока включение обмоток катушек встречное.

1. Коэффициенты матрицы А определяются в режимах холостого хода и короткого замыкания:

 

U

1х

 

 

 

 

 

 

U1х(jωM)

3

 

4

 

A

= ---------

 

 

, U

 

 

= I

 

(jωM) = ---------------------------

 

= U

--

, A =

--

= 1,33;

11

U

2х

 

 

2х

 

1х

 

jωL

1

1х 4

11

3

 

 

 

 

A

=

---------

I 1х

=

-------------------------I 1х

= –j-----1 = –3,3æ10–2 Cм ;

 

 

 

 

 

 

21

 

 

U2х

 

I 1х(jωM)

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A12

= ---------

 

, U1к

= I 1к(jωL1 ) – I 2к(jωM) , I 2к(jωL2) – I 1к(jωM) = 0,

 

I 2к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

238

откуда

I 1к = I 2к(jωL2) ⁄ (jωM) = I 2кæ2 ,

U1к = I 2к[(2æjωL1 ) – (jωM)] = I 2к(j50) ,

A12 = j50 Ом; A22 = I 1к ⁄ I 2к = 2 .

2. Коэффициенты матрицы сопротивлений Z определяются из системы уравнений, связывающих напряжения на входах четырехполюсника с токами. Направление тока I2 в соответствии с обозначени-

ями (см. Введение) для матрицы Z определяет включение катушек как согласное:

U1 = Z11I 1 + Z21I 2 ,

U2 = Z21I 1 + Z22I 2 .

Коэффициенты матрицы сопротивлений Z определяются из режимов холостого хода. Для случая I2 = 0

 

U1х

 

 

U1х

 

 

 

Z11 =

---------

=

--------------------------------

 

 

= jωL

1

= j40 Ом,

 

I 1х

 

U1х ⁄ (jωL1)

 

 

 

U2х

I

1х

(jωM)

 

 

 

Z21

= ---------

 

= -------------------------

 

 

= jωM = j30 Ом.

 

I 1х

 

 

I 1х

 

 

 

Для случая I1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

U1х

I

2х

(jωM)

 

 

 

Z12

= ---------

 

= -------------------------

 

 

= jωM = j30 Ом,

 

I 2х

 

 

I 2х

 

 

 

 

U2х

 

 

U2х

 

 

 

Z22 =

---------

=

--------------------------------

 

 

= jωL

2

= j60 Ом.

 

I 2х

 

U2х ⁄ (jωL2)

 

 

3. Коэффициенты матрицы проводимостей Y определяются из системы уравнений, связывающих токи на входах четырехполюсника с напряжениями. Направление тока I2 в соответствии с обозначени-

ями (см. Введение) для матрицы Y определяет включение катушек как согласное:

I

 

= Y

U

 

+ Y

U

 

,

 

1

–11

 

1

–21

 

2

 

I

 

= Y

U

 

+ Y

U

 

.

 

2

–21

 

1

–22

 

2

 

239

Коэффициенты матрицы Y определяются из режимов короткого замыкания. Для случая U2 = 0

 

 

 

 

Y

= I

 

⁄ U

 

,

Y

 

= I

 

⁄ U

 

,

 

 

 

 

–11

 

1к

 

 

1к

 

–21

 

 

2к

 

 

1к

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1к = I 1к(jωL1) + I 2к(jωM) ,

 

 

 

 

 

I 2к(jωL2) + I 1к(jωM) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(jωM)

2

 

 

 

 

 

 

U

1к

= I

1к

jωL

1

–

-------------------

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jωL2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

= ------------------------------

1

= –j4,0æ10–2 См, Y

 

= –0,5-------------------I 1к = j2,0æ10–2 См.

–11

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

–21

 

 

 

U1к

 

 

 

j40 – (j30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для случая U1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

= I

 

⁄ U

 

,

Y

 

= I

 

⁄ U

 

,

 

 

 

 

–12

 

1к

 

 

2к

 

–22

 

 

2к

 

 

2к

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U2к = j60I 2к + j30I 1к ,

 

 

 

 

 

 

 

I 1к(j40 + I 2к(j30)) = 0,

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

= -------

1

 

= j2,0æ10–2 См,

 

 

 

 

 

 

–12

j

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

= --------------------------------------------------------

 

I 2к

 

 

 

 

 

=

------------

1 = –j2,67æ10–2 См.

 

 

–22

(j60 + j30(–3 ⁄

4))I 2к

 

 

j37,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4(р). Составить матрицу А для четырехполюсника (совершенного трансформатора) при условии что коэффициент связи обмоток трансформатора kсв = 1, а индуктивности обмоток весьма велики при

L1 ≠ L2. Число витков первичной и вторичной обмоток w1 и w2.

Решение. Коэффициент kсв = XM ⁄ XL XL

= 1 , поэтому сопро-

1

2

тивление взаимоиндукции ХМ также велико. По второму закону Кирхгофа для левого и правого контуров четырехполюсника

U1

= I 1(jXL ) – I 2(jXM) ,

(1)

 

1

 

U2

= I 1(jXM) – I 2(jXL ) .

(2)

 

2

 

240

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности