Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1
.pdf
i(t) |
2 |
|
3 |
Imax |
|
t
Рис. к задаче 3.8
u |
|
|
Umax |
|
|
|
2 |
t |
–Umax |
|
|
а) |
|
|
u |
|
|
Umax |
|
|
|
2 |
t |
–Umax |
|
|
б) |
|
|
Рис. к задаче 3.9
Методическое замечание. Воспользоваться формулой
∞ |
|
|
2 |
1 |
π |
||
∑ |
---- = |
----- . |
|
|
2 |
6 |
|
k = 1 k |
|
|
|
3.10. Найти коэффициенты формы, амплитуды и искажения кривой напряжения
u(t) = U1m sinωt – U3m sin3ωt, U1m = 100 В, U3m = 30 В.
3.2. ПОКАЗАНИЯ ПРИБОРОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
3.11(р). Напряжение, выражаемое прямоугольной кривой, подведено к цепи, содержащей только индуктивный элемент (рис. 1 к задаче 3.11(р)).
141
u |
|
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|||||
Umax |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u(t) |
|
L |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
–Umax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1 к задаче 3.11(p)
Дано: Umax = 100 В, L = 4,76 мГн, частота основной гармоники f = 50 Гц.
Найти мгновенное значение кривой тока в цепи. Построить график тока, составленный из основной и третьей гармоник. То же с учетом пятой гармоники.
Решение. Для заданного напряжения
Umax = 100 В, 0 ≤ ωt ≤ π;
u(t) =
–Umax = –100 В, π ≤ ωt ≤ 2π
запишем ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
4Umax |
sin ωt + |
1 |
sin 3ωt + |
1 |
sin 5 |
|
|
u(t) = --------------- |
|
3-- |
5-- |
ωt + … . |
|||
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Применим метод наложения, т.е. рассчитаем ток в цепи i(k)(t) при
|
|
|
|
|
(k) |
4Umax |
|
действии k-й гармоники напряжения u |
(t) = |
--------------- |
sin kωt . В комп- |
||||
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
(k) |
|
4Umax |
|
|
|
|
лексном виде |
Um |
= |
--------------- 0 |
; реактивное сопротивление катушки |
|||
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
на частоте ωk = kω, где ω = 2πf = 314 рад/с — частота первой (основ-
(k)
ной) гармоники, XL = ωkL = kωL . Комплексный ток
(k) |
|
Um(k) |
4Umax 0 |
|
4Umax |
|
85 |
|
I m |
= |
------------ = |
k-------------------------------πkωL 90 |
° |
= ----------------- |
–90° = |
----- |
–90° . |
|
|
jkωL |
2 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k πωL |
|
k |
|
Для k = 1, 3, 5 … ток
142
|
sin (ωt – 90 |
1 |
|
|
1 |
|
|
i(t)=85 |
°) + -- sin (3ωt |
– 90°) + ----- sin (5ωt – 90°) + … |
= |
||||
|
|
9 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
cos 5ωt + … . |
|
|
|
= –85 cos ωt + -- |
cos 3 |
ωt + ----- |
|
|
||
|
|
9 |
|
25 |
|
|
|
График тока, составленный из основной и третьей гармоник, представлен на рис. 2 к задаче 3.11(р).
i(t) 100
50
0 |
|
2 |
3 |
t |
|
–50
–100
Рис. 2 к задаче 3.11(p)
i(t) 100
50
0 |
|
2 |
3 |
t |
|
–50
–100
Рис. 3 к задаче 3.11(p)
График тока, составленный из основной, третьей и пятой гармоник, представлен на рис. 3 к задаче 3.11(р).
3.12(р). Напряжение, выражаемое прямоугольной кривой, подведено к цепи, содержащей только емкостный элемент (рис. 1 к задаче 3.12(р)).
Дано: Umax = 100 В, С = 53 мкФ, частота основной гармоники f = 50 Гц.
143
u |
|
|
|
|
|
i(t) |
||||
|
|
|
||||||||
Umax |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
–Umax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1 к задаче 3.12(p)
Найти мгновенное значение кривой тока в цепи. Построить график тока, составленный из основной и третьей гармоник. То же с учетом пятой гармоники.
Решение.
Для заданного напряжения
Umax = 100 В, 0 ≤ ωt ≤ π;
u(t) =
–Umax = –100 В, π ≤ ωt ≤ 2π
запишем ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
4Umax |
sin ωt + |
1 |
sin 3ωt + |
1 |
sin 5 |
|
|
u(t) = --------------- |
|
3-- |
5-- |
ωt + … . |
|||
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Применим метод наложения, т.е. рассчитаем ток в цепи i(k)(t) при
|
|
|
|
|
(k) |
4Umax |
|
действии k-й гармоники напряжения u |
(t) = |
--------------- |
sin kωt . В комп- |
||||
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
(k) |
|
4Umax |
|
|
|
|
лексном виде |
Um |
= |
--------------- 0 |
; реактивное сопротивление конден- |
|||
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
сатора на частоте ωk = kω, где ω = 2πf = 314 рад/с — частота первой
(основной) гармоники, XC(k) |
= ----------1 |
= |
-----------1 . |
|||
|
|
|
|
ωkC kωC |
||
Комплексный ток |
|
|
|
|
||
(k) |
Um(k) |
4Umax 0 |
|
4UmaxωC |
||
I m |
= ---------------- |
= ----------------------------------- |
|
|
= |
------------------------ 90° = 2,12 90° . |
|
–j-----------1 |
kπ |
-----------1 |
–90° |
|
π |
|
kωC |
|
kωC |
|
|
|
Для k = 1, 3, 5 … мгновенное значение тока
i(t) = 2,12(sin(ωt + 90°) + sin(3ωt + 90°) + sin(5ωt + 90°) + … ) = = 2,12(cosωt + cos3ωt + cos5ωt + …) А.
144
График тока, составленный из первой и третьей гармоник, представлен на рис. 2 к задаче 3.12(р).
i(t) 4
2
0
t
–2
–4
Рис. 2 к задаче 3.12(p)
i(t)
5
0
t
–5
Рис. 3 к задаче 3.12(p)
График тока, составленный из первой, третьей и пятой гармоник, представлен на рис. 3 к задаче 3.12(р).
3.13.К цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора
ссопротивление R = 3 Ом и катушки индуктивностью L = 12,7 мГн подведено напряжение u(t) = 30 + 60 sinωt B. Частота f = 50 Гц.
Найти мгновенное значение тока и напряжения на индуктивном элементе. Определить действующее значение тока и мощность, расходуемую в цепи.
3.14.Цепь, состоящая из последовательно соединенных резистора
ссопротивлением R = 5 Ом и конденсатора емкостью С = 1060 мкФ, находится под напряжением u(t) = 100 + 200 sinωt + 30 sin(3ωt – π/2) В. Частота основной гармоники f = 50 Гц.
145
Найти мгновенное значение тока и напряжения на конденсаторе uС(t). Определить действующее значение тока и мощность, расходуе-
мую в цепи.
3.15.Цепь, составленная из последовательно соединенных резистора
ссопротивлением R = 10 Ом, конденсатора емкостью С = 200 мкФ и катушки индуктивностью L = 100 мГн, находится под напряжением u(t) = 20 + 20 sinωt + 10 sin3ωt В. Частота основной гармоники f = 50 Гц.
Найти мгновенные значения тока i(t) и напряжений uС(t), uL(t).
Определить действующее значение приложенного напряжения и тока в цепи.
|
i(t) |
|
i |
(t) |
i |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
R2 |
|
u(t) |
|
|
R1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
L2 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
L1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. к задаче 3.16
3.16. К цепи приложено напряжение u(t) = 60 + 100 sint + 50 sin3ωt. Параметры элементов: R1 = 6 Ом, R2 = 8 Ом,
L1 = 47,8 мГн, L2 = 31,8 мГн, С2 = 159 мкФ (рис. к задаче 3.16). Частота основной гармоники f = 50 Гц.
Найти токи ветвей и активную мощность, расходуемую в цепи.
3.17(р). На вход цепи с параметрами элементов: R = 30 Ом, R1 = 18 Ом, L = 60 мГн приложено напряжение u(t) = 120 + 200 sinωt +
+ 50 sin(3ωt + 30°) В (рис. 1 к задаче 3.17(р)). Частота основной гармоники f = 50 Гц.
|
|
|
R |
a |
|
|
|
|
A1 |
A2 |
|
|
|
|
|
i(t) |
|
u(t) |
V1 |
V2 |
V3 |
L |
uab(t) |
|
R1
A3 |
b |
|
Рис. 1 к задаче 3.17(p)
Определить мгновенные значения тока i(t) и напряжения uab(t), показания приборов А1 и V1 (магнитоэлектрической системы), А2 и V2 (индукционной системы), А3 и V3 (электродинамической системы).
Решение. Приборы А1 и V1 показывают среднее значение тока и напряжения на входе, А2 и V2 — действующее значение переменной составляющей тока и напряжения на входе, А3 и V3 — действующее значение всего тока и напряжения на входе.
146
Показания вольтметров: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V1 |
—U0 = 120 В, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
200 |
2 |
|
|
50 |
|
2 |
|
|
|
|
|
V |
|
—U′ = |
|
+ |
|
|
= 146 В, |
||||||||
|
|
-------- |
|
------ |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
200 |
|
2 |
|
|
50 |
|
2 |
|
V |
|
—U = (120) |
+ |
|
|
|
+ |
|
= 189 В. |
||||||
|
|
-------- |
|
|
|
------ |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определим ток i(t) и напряжение uab(t), применив метод наложения:
постоянные составляющие тока и напряжения, рассчитываются по схеме, представленной на рис. 2 к задаче 3.17(р),
I0 R
U0
a |
I (1) |
R |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uab0 Um(1)
R1
b |
a
j L
Umab(1)
R1
b |
Рис. 2 к задаче 3.17(p) Рис. 3 к задаче 3.17(p)
U0 = 120 B, I0 |
U0 |
= I0R1 = 45 В. |
= ---------------- = 2,5 А,Uab0 |
||
|
R + R1 |
|
Показание амперметра A1 — I0 = 2,5 А.
Расчет комплексных токов и напряжений первой гармоники проводим по схеме, представленной на рис. 3 к задаче 3.17(р):
(1)
Um = 200 0 , ω = 2πf, ωL = 18,84 Ом,
Z(1) = (R + R1) + jωL = 51,54 21,4° Ом,
|
|
|
|
|
|
(1) |
Um(1) |
|
|
|
|
|
|
I m |
= ---------- = 3,88 –21,4° А, |
|
|
|
|
|
|
|
Z(1) |
U |
(1) |
= I |
(1) |
(R |
1 |
+ jωL) = 3,88 –21,4°æ26,057 46,3° = 101,1 24,9° В. |
|
|
mab |
|
m |
|
|
|
|
147
Мгновенные значения тока и напряжения первой гармоники:
i(1)(t) = 3,88 sin (ωt – 21,4°) А,
(1)
uab (t) = 101,1 sin (ωt + 24,9°) В.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет комплексных токов и напряже- |
||
|
|
|
|
|
I (3) |
|
|
R |
|
|
|
|
ний третьей гармоники проводят по схеме, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представленной на рис. 4 к задаче 3.17(р) |
||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j3 L |
U(3) |
= 50 30° , 3ωL = 56,5 Ом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
Z(3) = (R + R |
) + j3ωL = 74,14 49,7° Ом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
Um(3) |
|
|
|
|
Рис. 4 к задаче 3.17(p) |
I m |
= ---------- = 0,674 –19,7° А, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z(3) |
|
|
U |
(3) |
= I |
(3) |
(R |
1 |
+ j3ωL) = 0,674 –19,7°æ59,3 72,3° = 39,97 52,6° В. |
||||||||
|
|
|
mab |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мгновенные значения тока и напряжения третьей гармоники:
i(3)(t) = 0,674 sin (3ωt – 19,7°) А,
(3)
uab (t) = 39,97 sin (3ωt + 52,6°) В. Показания амперметров:
|
|
|
|
3,88 |
2 |
|
|
0,674 |
2 |
|
||||
A |
|
— I′= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 2,78 А, |
|||
2 |
|
--------- |
2- |
|
|
----- |
------2-- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3,88 |
2 |
|
0,674 |
2 |
||
A |
|
— I = 2,5 |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
= 3,75 А. |
||||
3 |
|
|
--------- |
- |
|
|
-----------2-- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
Мгновенные значения:
i(t) = 2,5 + 3,88 sin(ωt – 21,4°) + 0,674 sin(3ωt – 19,7°) А, uab(t) = 45 + 101,1 sin(ωt + 24,9°) + 39,97 sin(3ωt + 52,6°) В.
3.18. Для питания нагрузки с сопротивлением Rн = 3000 Ом от
источника выпрямленного синусоидального напряжения применен фильтр, параметры которого R1 = 100 Ом, ωL = 3000 Ом, 1/ωC = 20 Ом
(рис. к задаче 3.18).
Определить отношение постоянной составляющей тока к действующему значению тока в нагрузке. Сравнить с отношением тех же величин при непосредственном подключении нагрузки к источнику однофазного двухполупериодного выпрямленного напряжения.
148
u |
|
R |
|
L |
i(t) |
|
|
|
|||
Umax |
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
C |
Rн |
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
Рис. к задаче 3.18 |
|
|
|
i1(t) |
R1 |
M |
R2 |
i2(t) |
|
|
|
|
|
|
**
u(t) |
L1 |
L2 |
Рис. к задаче 3.19(p)
3.19(р). Напряжение u(t) = 100 + 70,7 sinωt В. Сопротивления элементов первичной обмотки трансформатора для основной частоты R1 = 40 Ом, ωL1 = 30 Ом, вторичной обмотки R2 = 60 Ом, ωL2 = 60 Ом,
сопротивление взаимоиндукции ωМ = 20 Ом (рис. к задаче 3.19(р)). Найти мгновенные значения токов обмоток трансформатора. Решение. Постоянная составляющая тока первичной обмотки
не наводит во вторичной обмотке ЭДС взаимоиндукции. Следовательно,
I10 = U0 / R1 = 100 / 40 = 2,5 А, I20 = 0.
Составляем уравнения Кирхгофа с учетом напряжения взаимоиндукции для первой гармоники:
(1) (1) (1)
U1 = I 1 (R1 + jωL1 ) + jωMI 2 ,
(1) (1)
0 = I 2 (R2 + jωL2 ) + jωMI 1 .
Решаем уравнения:
(1)
I 1 = 0,984 –31,5° А,
(1)
I 2 = 0,232 –166,5° А. Мгновенные значения токов обмоток трансформатора:
i1(t) = 2,5 + 0,984
2 sin(ωt – 31,5°) А,
i2(t) = 0,232
2 sin(ωt – 166,5°) А.
149
3.20*. Определить действующее значение тока в диагонали моста, если напряжение u(t) = 30 + 60 sinωt + 15 sin3ωt В. Сопротивления элементов цепи для основной частоты: R1 = 30 Ом, ωL1 = 50 Ом,
R2 = 30 Ом, ωL2 = 30 Ом, R3 = 40 Ом, ωL3 = 10 Ом, R4 = 30 Ом, R5 = 60 Ом (рис. к задаче 3.20*).
L1 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
A |
L2 |
R |
1 |
L |
1 |
L |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
R3 |
R |
5 |
u(t) |
|
|
|
C3 |
|
Cн |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
Рис. к задаче 3.21* |
|
|||||
Рис. к задаче 3.20* |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.21*. Напряжение |
на входе четырехполюсника u(t) = |
120 + |
|||||||
+ 20 sinωt + 10 sin3ωt В. Сопротивления элементов четырехполюсника для основной частоты: R1 = 5 Ом, ωL1 = 10 Ом, ωL2 = 10 Ом, 1/ωС3 = 15 Ом,
сопротивление нагрузки 1/ωСн = 24 Ом (рис. к задаче 3.21*).
Вычислить отношение действующего значения напряжения на нагрузке Uн к действующему значению напряжения на входе U.
3.3.РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ВЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.22(р). Подобрать емкости С1 и С2 так, чтобы цепь была настро-
ена на резонанс напряжений для первой гармоники и не пропускала токи третьей гармоники (схема цепи представлена на рис. к задаче 3.22(р). Угловая частота тока основной гармоники ω = 5000 рад/с. Параметры цепи: R1 = 50 Ом, L = 2 мГн.
Найти мгновенные значения всех токов и напряжения uab(t), если
u(t) = 20 sinωt + 10 sin3ωt В. Определить действующие значения токов, напряжения Uab и мощность, расходуемую в цепи.
Решение. Чтобы цепь не пропускала третью гармонику, она должна находиться в режиме резонанса токов на этой гармонике: 3ωL = 1/3ωС2, С2 = 1/(3ω)2L = 1/(15 000)22æ10–3 = 2,22 мкФ.