Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

799

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 607 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛ. 1

1.1. I = 2 А, I = 8 А.

1.2.R = UV1/IA2.

1.3.R ≈ 3589 Ом.

1.4.1) 1,96 В; 2) 2,04 В.

1.5.I = 2 А.

	3
1.6.	I	= –0,4 А;	I = –6,4 А; Р			= 123,2 Вт; Р			= 123,2 Вт.
	1		2		ист			нагр
1.7.	1) 4,4 Ом; 2) 10 Ом.
1.8.	I	= –0,05 А; I = 0,015 А; I = 0,06 А.
	1		2		3
1.9.	Е = 4 В; I = 2 А.
		1
1.10. I		= 21 А; I	= 13 А; I		= 16 А; I = I		= 8 А; I = 8 А.
	1	2		3		4	6	5
1.11. I		= 3 А; I = 1 А; I		= 3 А; I		= 1,5 А; I		= –1,5 А.
	1	3	4		5			6
1.12. E		= 6 В; E	= 12 В; I	= 6 А; I		= 3 А; I		= 8 А; I	= 1 А; R	= 3 Ом;
	4	5		1		3	6		8	2
	R	= 2 Ом.
	7
1.13. I		= 0,2 А; I	= 0,7 А; I		= –0,5 А; I		= 0,1 А; I		= 0,1 А.
	1		2		3	4		5

1.14. R = 2 Ом; R = 1 Ом.

1.15.Ra = 40 Ом; Rb = 20 Ом; Rс = 40 Ом.

1.16.Р = 50 Вт.

1.17.UV = 40 В.

1.18. I

= –0,4 А; I

= –6,4 А; Р

= 132,2 Вт; Р

= 132,2 Вт.

ист

нагр

1.19. I

= –0,05 А; I = 0,015 А; I

= 0,06 А.

ϕc

– ϕ0

ϕb

– ϕc

1.20. ϕb =

---2

;

ϕc =

---4

;

I4 = ------------------

8------R

;

= ------------------

4------R

;

ϕa – ϕb

ϕa

– ϕ0

ϕd

– ϕ0

-------------------

2------R

;

Ia = -------------------

2------R

;

= -------------------

4------R

;

ϕc – ϕ0

------------------

8------R

;

I1 = I2

+ Ia =

R---

1.21. I

= 0,2 А; I

= 0,2 А; I = 0,1 А.

1.22. I

= 5 А; I

= 1 А; I

= 6 А; I

= 2 А; I

= 4 А.

1.23. I

= 1 А; I

= 2 А; I

= 1 А; I

= 4 А.

1.24. I

= 2 А; I

= 1 А; I

= 2 А; I

= 1 А; I = –I

= –1 А.

1.25. 47,5 В.

1.26. I

= 0; I

= I

= 1,25 А; I = –1,25 А; I

= –1,25 А.

1.27.3 А.

1.28.U (I ) = 13,33 – 8,33I .

1.29. I	=	8 А; I	= 8 А; I	= 2 А; I	= 6 А; I	= 4 А; I = 2 А.
1		2	3	4	5	6
1.30. I	(I	) = 1,25 –1,5 I .
1	4		4
1.31. См.		решение.
1.32. I	=	22 А; I	= –8 А.

1.33.1а) 3 Ом; 1б) 19 Ом; 2а) 3 Ом; 2б) 19 Ом.

1.34. I	= – 0,1379 А; I			= 1,8621 А; I		= 1,1724 А; I			= 0,6897 А;
1			2		3				4
I	= 0,8276 А.
5
1.35. I	= 1 А; I = 3 А; I = 2 А; I				= 3 А; I	= 5 А; 1) P		= P		= 230 Вт;
1		2	3	4	5		ист		нагр
2) P		= P	= 118 Вт.
	ист	нагр
1.36. I	= –6 А; I		= 8 А; I	= –6,4 А; I = 0,4 А; I			= –1,6 А.
1		2		3	4		5
1.37. I	= 0,8 А; I		= 2,2 А; I = –0,2 А; I = 1 А; I					= 2 А; I		= 0,6 А;
1			2	3		4	5			6
I	= 1,6 А; I		= 1,4 А.

1.38. I	= 7,5 А; I	= 7,5 А; I		= 2,5 А; I		= 2,5 А; I		= 0; I = 10 А.
1	2		3		4		5
1.39. Rвх = 3,25 Ом; PJ = 468 Вт.
1.40. I	= 1 А; I = 0,5 А; I		= 0,5 А; I = –1,5 А; I = 1,5 А; I = 0; I ′= 3 А;
1	2	3		4		5		6
I ″ = 3 А; I ′′′ = 0; P			= 90 Вт; P			= 90 Вт.
		ист			нагр
1.41. I	= 2 А; I = 1 А; I = 0,25 А; I				= 0,75 А; I		= 0,25 А; I		= 1,75 А;
1	2	3		4		5		6
I	= 1 А.
7
1.42. I	= 1,6 А; I	= 3,4 А; I = 1,8 А; I			= 0,76 А; I		= 2,64 А; I		= –1,04 А.
1	2		3	4		5		6
1.43. I	= 0,3 А; I	= 0,15 А; I		= 0,25 А; I		= 0,5 А; I		= 0,4 А; I	= 0,25 А;
1	2		3		4		5	6
I	= 0,25 А; I = –0,5 А.

1.44.UV = 40 В.

(R + R )(R R – R R )

			5	6	2	8	3	7
1.45. R	н	= ----------------------------------------------------------------------				R (R + R			.
	н	R (R + R ) –				R (R + R			)
		3	5	7		2	6		8
1.46. I	= –0,4 А; I			= –6,4 А; при J′ = 8 А I ′ = 0,8 А.
1				2				3	1
1.47. I	= –0,05 А = –50 мА; I						= 0,015 А = 15 мА; I = 0,06 А = 60 мА;
1						2			3
при E ′ = –12,5 В I ′						= 0.

1.48.I = 2 А.

5
1.49. I	= 0,5 А при E ′ = 80 В.
4		1
1.50. I	= 0; G = 0,035 См; G			= 0,01 См; K		= –0,7; K	= 0,3;
1	11		51		12		52
при E ′ = –75 В ток I ′ = 0; I ′				= –4,375 А.
	1	5	1
1.51. I	= 14,5 А; I = 15,2 А; I		= 18 А; I		= 2,8 А; I	= 11,7 А; I	= 3,5 А.
1	2	3		4	5	6
1.52. I	= 1,876 А; I	= 0,366 А.

1.53. I = 1,7 А; I = 2,5 А.

1.54. R = 10 Ом; R = 100 Ом.

1.55.I = –6,4 А.

1.56. I	= 2 А; I	= 5 А; I	= 15 А; Р	= 874 Вт; Р	= 874 Вт.
1	2	3	ист		нагр
1.57. I	= –0,138 А.
1
1.58. I	= 0,5 А.
4
1.59. I	= 0,06 А.
3

1.60. I = 2 А при E = –6 В.

1.61. I = 2,5 А; I = 0.

1.62.I = 8 А.

2
1.63. I	= –2 А.
2
1.64. I	= 2 А.
2
1.65. R	= 4 Ом; P = 72,25 Вт.

3max

1.66. Е = U = 40 В; R = R			= 10/3 Ом.
э	х	э вх
1.67. Е = U = 350 В; R = R			= 15 Ом.
э	х	э	вх

1.68.1,6 А.

1.69.1,6 А.

1.70. I = 0; I = –1,25 А.

Глава вторая

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

ССИНУСОИДАЛЬНЫМИ ТОКАМИ

ИНАПРЯЖЕНИЯМИ

ВВЕДЕНИЕ

Синусоидальные токи, напряжения, ЭДС. При описании процессов в линейных электрических цепях, все токи, напряжения и ЭДС которых изменяются по синусоидальному закону, т.е. имеют вид i(t) = = Im sin(ωt + ψi), u(t) = Um sin(ωt + ψu), e(t) = Em sin(ωt + ψe), используются следующие понятия:

i = i(t), u = u(t), e = e(t) — мгновенные токи, напряжения и ЭДС; Im, Um, Em — амплитуды (максимальное значение) величин i(t),

u(t) и e(t);

(ωt + ψi), (ωt + ψu), (ωt + ψe) — аргументы синусоидальных функций (фазы синусоидального тока, напряжения и ЭДС);

ψi, ψu, ψe — начальные значения аргументов (начальные фазы) тока, напряжения и ЭДС;

ω = 2πf — скорость изменения фаз (угловая частота), а f — частота тока, напряжения, ЭДС. За период T = 1/f колебаний этих величин их фазы увеличиваются на 2π, т.е. ωT = 2π. При стандартной частоте f = 50 Гц период T = 0,02 с, угловая частота ω = 2πf = 100π ≈ 314 рад/с.

Наряду с амплитудами Im, Um, Em тока, напряжения, ЭДС часто используют их среднеквадратичные значения:

I = Im ⁄ 2 , U = Um ⁄ 2 , E = Em ⁄ 2 — называемые действующими значениями тока, напряжения, ЭДС.

Если две синусоидальные величины одной и той же частоты отличаются начальными фазами, то говорят, что они сдвинуты по фазе. При этом под сдвигом фаз понимают разность начальных фаз. Так, под сдвигом фаз напряжения u(t) = Um sin(ωt + ψu) и тока i(t) = Im sin(ωt + ψi) понимается угол ϕ = ψu – ψi. Этот угол определяет связь колебаний

напряжения и тока, т.е. взаимное расположение их временных′ графиков (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Сдвиг фаз	Связь колебаний напряжения и тока

ϕ = 0	Напряжение и ток совпадают по фазе

ϕ = ±π/2	Напряжение и ток находятся в квадратуре

ϕ > 0	Напряжение опережает ток по фазе

ϕ < 0	Напряжение отстает от тока по фазе

Комплексные ток, напряжение, ЭДС. Синусоидальные ток, напряжение, ЭДС можно представить в виде

jψi

jωt

i = Im sin (ωt + ψi) = Im

Ime

jψ

u = Um sin (ωt + ψu) = Im

Ume

u ejωt

jψ

e = Em sin (ωt + ψe) = Im

Eme

e ejωt

где Im[æ]

— мнимая часть

комплекса

[æ]. Комплексные числа

jψ

I m = Ime

i , Um = Ume u , Em = Eme

называют комплексными

амплитудами соответственно тока, напряжения и ЭДС, а комплекс-

ные числа I = I m ⁄ 2 , U = Um ⁄ 2 , E = Em ⁄ 2 — комплексными

действующими значениями тока, напряжения и ЭДС. Поскольку все токи, напряжения, ЭДС имеют одинаковую угловую частоту ω, то комплексы I m, Um, Em( I , U, E ) однозначно описывают перемен-

ные i, u, e цепи.

Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока. Введение вместо синусоидальных функций времени i = i(t), u = u(t), e = e(t) комплексов I m, Um, Em или I , U, E позволяет

алгебраизировать компонентные уравнения элементов цепи и схемные изображения последних представить в символическом (комплексном) виде (табл. 2.2).

Заметим, что компонентные уравнения как резистивного, так и емкостного и индуктивного элементов в комплексной области описываются алгебраическим уравнением

U = Z I ,

(2.1)

							Таблица 2.2
		Временная область			Комплексная область
Элемент	Условное		Компонентное		Условное		Компонентное
	Условное		Компонентное		Условное		Компонентное
	изображение			уравнение	изображение		уравнение
	R	i			R	I
Резистивный	u			u = Ri	U		U_ = RI_
	u				U
	C	i			–jXC	I	U_ = –jXCI ,
		i	1	t	–jXC	I	U_ = –jXCI ,
			1
Емкостный	u		u = ---∫ i(t)dt + uC(0)		U		1
	u		C		U		X = -------
				0			C
							ωC
	L	i		di	jXL	I	U_ = jX I ,
				di			L
Индуктивный	u			u = L----	U
	u			dt			XL = ωL
				dt			XL = ωL
	e = Em sin( t+ e)				E	I
Источник			i			I
Источник			i
				u = e			U_ = E
ЭДС
	u				U
	J = Jm sin( t+ J)				J	I
Источник			i			I
Источник			i
				i = J			I = J
тока					U
	u				U

где Z = R для резистивного элемента, Z = –jXC для емкостного эле-

мента, Z = jXL для индуктивного элемента. Комплексные модули

XC = 1/(ωC) и XL = ωL называют емкостным и индуктивным сопротивлением, они определяют соотношение модулей комплексов (векторов) напряжения и тока соответственно на емкостном и индуктивном элементах. Уравнение (2.1) представляет собой запись закона Ома в комплексной форме для резистивного, емкостного и индуктивного элементов. Пользуясь табл. 2.2, составляют комплексную схему замещения цепи и математическое описание всех ее элементов в комплексной области. Используя уравнения Кирхгофа в комплексной

форме ∑I j = 0 и ∑Uj = 0 , можно получить полное математиче-

ское описание цепи в комплексной форме. Цепь в этой области описывается чисто алгебраическими уравнениями. Решив эти уравнения, т.е. определив комплексные значения всех токов и напряжений цепи, переходят к мгновенным значениям (соответствующим синусоидальным функциям токов и напряжений).

Комплексные сопротивление и проводимость. Пассивный двухполюсник с комплексным напряжением U и током I можно охаракте-

ризовать комплексным сопротивлением Z и проводимостью Y– :

Z = U ⁄ I ; Y = Z–1	= I ⁄ U .	(2.2)
–

При этом действительную и мнимую части Z называют активным

R = Re[Z] и реактивным X = Jm[Z] сопротивлением двухполюсника,

модуль Z =			Z	— его полным сопротивлением. Таким образом,
	U		jϕ	U		2		2	2	; R = Z cosϕ; X = Z sinϕ.
Z = ---- = Ze				= R + jX ; Z = ---	; Z		= R		+ X	; R = Z cosϕ; X = Z sinϕ.
	I			I
	Комплексную проводимость представляют в виде
	I	–jϕ		= G – jB ; Y = I/U; Y2 = G2 + B2; G = Y cosϕ; B = Y sinϕ.
Y	= ---- = Ye	–jϕ		= G – jB ; Y = I/U; Y2 = G2 + B2; G = Y cosϕ; B = Y sinϕ.
–	U
	U

где Y, G и B — соответственно полная, активная и реактивная проводимость двухполюсника.

Мощность в цепи синусоидального тока. Для двухполюсника с напряжением u(t) = Um sin(ωt + ψu) и током i(t) = Im sin(ωt + ψi), ϕ = ψu – ψi

мгновенной мощностью называется произведение мгновенных значений напряжения и тока p = p(t) = u(t)æi(t), а полной мощностью —

произведение действующего напряжения и тока S = UI, U = Um ⁄ 2 ,

I = Im ⁄ 2 . Активной мощностью двухполюсника называют среднее значение мгновенной мощности за период

	1 T
P =	--	∫ p(t) dt = UI cos ϕ .	(2.3)
	T
		0

Реактивной мощностью называют величину Q = UI sinϕ. Единицей мгновенной и активной мощности является ватт [1 Вт], единицу полной мощности обозначают 1ВæА, а реактивной 1 вар. При расчете цепей в комплексной области используют также понятие комп-

лексной мощности S = U I* , где I* — сопряженный комплекс тока

( I* = Ie–jψi ). Таким образом, S = Sejϕ = P + jQ , S2 = P2 + Q2. Сумма

комплексных мощностей всех элементов цепи равна нулю: ∑Sj = 0

(баланс мощности).

Показания приборов. В задачах данной главы не оговорен тип прибора, под показанием амперметра и вольтметра (рис. 2.1) понимается действующее значение I и U — модули действующих комплек-

jψ	jψ
сов тока I = Ie i и напряжения U = Ue	u . Под показанием ват-

тметра (рис. 2.1) понимается произведение P = UI cosϕ при указанном положении «звездочек» на приборе. «Звездочки» («точки») определяют положительные направления токов и напряжений (от «звездочки» через прибор), изменение их положения меняет угол сдвига между напряжением и током ϕ = ψu – ψi. Так, на рис. 2.1

для положения «звездочки» в скобках P = UI cos(ψu + π – ψi).

Векторная диаграмма. Представление синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами позволяет изображать их на комплексной плоскости в виде векторов, отображая действия, производимые над этими числами в процессе расчета цепей, в виде построений соответствующих векторных диаграмм. Так, для последовательного участка цепи с током I определение комплексного напряжения

U = UR + UL + UC , где UR = RI , UL = jXLI , UC = –jXCI		можно
изобразить в виде векторной диаграммы (рис. 2.2).
Здесь	U = (R + jXL – jXC)I = [R + j(XL – XC)]I ,	Z = R +
+j(XL – XC)	= R + jX , U = UR + jUX (рассматриваем случай, когда

X = XL – XC > 0). Комплекс UR называют также активной составляю-

* W

(*)

Рис. 2.1

jXL

–jXC I

X =

R =

Рис. 2.2

a p a p

щей напряжения и обозначают Ua	, а UX — реактивной составляю-
щей напряжения и обозначают U	(см. ниже).
p

Треугольники сопротивлений, проводимостей, мощностей, напряжений и токов. Полные сопротивления, проводимости, мощности двухполюсника и их составляющие удовлетворяют соотношениям

Z2 = R2 + X2, Y2 = G2 + B2, S2 = P2 + Q2 и поэтому могут быть представлены в виде треугольников (рис. 2.3).

Комплексные напряжение и ток двухполюсника можно предста-

вить в	виде	двух ортогональных составляющих		U = U + jU	и
				a	p
I = I	+ jI	. При этом фаза напряжения U	совпадает с фазой тока
a	p	a
I , а фаза напряжения U отличается от фазы тока I				на ±π/2. Анало-
		p
гично фаза I		совпадает с фазой U , а фаза I	отличается от послед-
		a	p

ней на ±π/2. Так как U2 = U2 + U2 , I2 = I2 + I2 , то действующие

напряжение и токи и их активные и реактивные составляющие также можно изобразить в виде треугольников (рис. 2.4).

Резонанс. В случае, когда ток и напряжение некоторого RLC-двух- полюсника совпадают по фазе, т.е. двухполюсник обладает чисто активным сопротивлением Z = R и его реактивная мощность равна нулю (S = P ), говорят, что имеет место резонанс. Резонанса можно достигнуть, изменяя параметры цепи R, L и C или угловую частоту ω приложенного внешнего напряжения (тока). Ток в последовательном

RLC-контуре будет наблюдаться при частоте
				1
		ω	0	= ----------- ,				(2.4)
			0
				LC
				G
Z	X						S	Q
	X				B			Q
				Y	B
				Y
R								P
			Рис. 2.3
	U	Uр				I	Iр
		Uр					Iр

	Uа						Iа

Рис. 2.4

называемой резонансной частотой. Добротность контура характеризует резонансные свойства контура и определяется по формуле

	ω L		1		L ⁄ C .
Q =	----------0	=	1	=	L ⁄ C .	(2.5)
	R		ω CR		R
			0

Зависимость тока этого контура от частоты ω приложенного внешнего напряжения при неизменности его действующего значения U = const имеет вид

			0
I(ω) = ---------------------------------------------------						.	(2.6)
	2		ω		ω	2
	2		ω		0
1 + Q			------	–	------
		ω0			ω
Зависимость (2.6) называют резонансной кривой, I							= U/R — зна-
							0

чение тока при резонансе, т.е. когда ω = ω . Полоса пропускания кон-

		ω		ω		1
		2		1		1
тура (ω – ω ) определяется из соотношения		------	–	------	=	---	, где ω
1	2	ω0		ω0		Q	1
		ω0		ω0		Q

и ω — частоты, при которых действующее значение тока в 2 раз

меньше резонансного тока I = U/R.

Расчет цепей с взаимными индуктивностями. При наличии в цепях индуктивно связанных элементов, т.е. взаимной индукции M, необходимо учитывать напряжение взаимоиндукции uM. В комплексных схемах замещения удобно учитывать это напряжение как источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Так, при согласованных направлениях токов ветвей (1—1′) и (2—2′) от «звездочки» в ветвь напряжения самоиндукции и взаимоиндукции складываются, и схема цепи в комплексной области имеет вид, представленный на рис. 2.5.

	L1		i				jXL1				E		1M = jXMI2	I
	L1		i	1			jXL1						1M = jXMI2	I		1
1	*			1	1	1		U								1	1
1	*				1	1				1							1
M	u	1
	u
									E			2M = jXMI1

	L2		i				jXL2							I
	L2		i	2			jXL2							I	2
2	*			2	2	2		U							2		2
2	*				2	2				2							2
	u	2
	u

Рис. 2.5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 607 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб215Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб41Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб799Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб90Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc