1.Задача синтеза электрических цепей.

Синтезом линейной электрической цепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих её элементов R, L, C по известным операторным или временным характеристикам этой цепи при воздействии на вход напряжения определённой формы. Одному и тому же операторному выражению, принятому в качестве исходного при синтезе, может соответствовать несколько различных схем разной структуры. Поэтому, после того как получено несколько решений, выбирают из них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончательном выборе схемы являются стоимость, габариты и масса устройства.

Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотехнике, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сглаживающих устройств.

Синтез развивался главным образом по двум направлениям: 1)известным операторным функциям (по Z(p) для двухполюсников и передаточной функции для четырёхполюсников); 2)временным характеристикам, т.е. по известному временному отклику системы при воздействии единичного напряжения.

2.Свойства входных функций пассивных электрических цепей.

Св-ва ф-ции F(p) для возможности её реализации:

1)Ф-ции z(p) и y(p) вещественны при вещественных значениях p <{p=}>. Полиномам числителя и знаменателя ф-ций y(p) и z(p) будут соответствовать вещественные полиномы т.к. они образуются суммами, разностями, произведениями и т.д. при этом параметры цепи явл-ся линейными дискретными. Полюсы и нули ф-ции z(p) и y(p) располагаются только в левой плоскости оператора p. p=+j. /k/<=0.

a/n/*p^n+a/n-1/*p^(n-1)+…+a/o/=a/n/*(p-p/n/)*(p-p/n-1/)*…(p-p/1/), p/k/=p\*\/k-1/, (p-p/k/)(p-p/k+1/)=(p-/k/-j/k/).

-(p-/k/+j/k/)=(p-/k/)²+/k/², p/i/

p-p/i/=p-/i/. Если /k/<=0, то множители на которые разл полином будут положительными.

Вещественная часть ф-ций z(p) и y(p) должны быть отрицательными. Re[z(p)]>=0. =0, p=j, z(p)=z(j), z(j)>0.

Для любой сложной цепи состоящей только из реактивных эл-тов может быть построена цепь содержащая активные элементы, причём последовательно с катушкой L добавляется сопротивление R имеющее вид L, и параллельно каждому конденсатору С добавляется проводимость G. При этом операторное входное сопротивление z(p) будет по форме аналогично комплексному сопротивлению z(j).

Ф-ция которая обладает этими (3-мя?)св-вами наз-ся положительной вещественной.

F(p)=[a/n/*p^n+a/n-1/*p^\n-1\+…+a/o/]/[b/m/*p^m+b/m-1/*p^\m-1\+…+b/o/]=G(p)/Q(p). Должны выполняться след условия:

1)все коэффициенты a и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны; 2)наивысшая(наименьшая) степень полинома числителя(n) не может отличаться от наивысшей(наименьшей) степени полинома знаменателя (m) более чем на единицу; 3)если условиться значения р, при которых F(p)=0, называть нулями функции F(p), а значения р, при которых F(p)= - полюсами F(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р; 4)нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные; 5)если вместо р в выражение F(p) подставить j, то при любом значении  должно быть ReF(j)>=0.

3.Метод Форстера.

Ф-цию F(p)=[a/n/*p^n+a/n-1/*p^\n-1\+…+a/o/]/[b/m/*p^m+b/m-1/*p^\m-1\+…+b/o/]=G(p)/Q(p) можно представить в виде суммы: F(p)=G(p)/Q(p)=A//*p+Ao+(A/1/)/(p-p/1/)+…+Am/(p-p/m/). p/m/-Q(p)=0, A//=0, Ao,A//=0.

n=m+1, A//=|F(p)/p|/p/=(a/n/)/(b/m/) – коэффициент при высшей степени полиномы.

Ak=|F(p)/(p/(p-p/k/))|/p/.

Рассмотрим случай когда корни полиномы Q(p)=0 мнимые и вещественные. Предположим, что p/k/=j/k/, тогда p/k+1/=-j/k/, при этом коэффициенты A/k/=A’/k/+jA”/k/. A/k+1/=A^\*\/k/=A’/k/-jA”/k/. Ak/(p-p/k/)+(A/k+1/)/(p-p/k+1/)=[(A/k/-A^*/k/)*p+(A/k/-A^*/k/)j/k/]/[p²+²/k/] = (2A’/k/*p)/(p²+²/k/)-(2A”/k/*/k/)/(p²+²/k/).

Если реальная часть дробей Re[F(p)]>=0, при >=0, тогда А”/k/=0. При этом при р=0; -2A”/k/*/k/>=0 => необходимо, чтобы коэффициент A”/k/<=0; Если же р=j; >/k/, то в этом случае р²+²/k/=-²+/k/<0.

Re[F(p)]>=0, -(2A”/k/*/k/)/(-²+²/k/)>=0, A”/k/>=0; A”/k/=0.

Ak/(p-p/k/)+(A/k+1/)/(p-p/k+1/)= (2A’/k/*p)/(p²+²/k/)= Bk*p/(p²+²/k/). Bk=2A’/k/ - должно быть реальное число. p/i/=/i/=-/i/, то Аi/(p-p/i/)=Ai/(p+/i/).

F(p)=G(p)/Q(p)=A//*p+Ao+(B/1/*p)/(p²+²/1/)+(B/3/*p)/(p²+²/3/)+…+(A/m-1/)/(p+/m-1/)+Am/(p+/m/).

4.Метод Кауэра.

В методе Кауэра необходимость в определении корней знаменателя отпадает. Суть этого метода состоит в постепенном выделении частей вида Ap и D/p.

Сначала из F(p), а затем из остатков после выделения предыдущей части. При этом Ap (D/p) представляют в виде индуктивности и ёмкости.

Предположим, что F(p)=z(p)*G(p)/Q(p)=<при этом предполагают, что степень верхнего мн-ва G(p) больше на единицу чем Q(p)> = Ap+z(p) => Ap+1/Y(p)=A/1/(p)+1/[A(?p?)/2/*A+1/(z/2/(p))].

5.Реализация входных функций двухполюсников, имеющих вещественные и мнимые корни знаменателя.

] F(p) в выражении F(p)=G(p)/Q(p)=A//*p+Ao+(B/1/*p)/(p²+²/1/)+(B/3/*p)/(p²+²/3/)+…+(A/m-1/)/(p+/m-1/)+Am/(p+/m/) представляет входное операторное сопротивление 2-х полюсника F(p)=Z(p). Предположим, что все коэффициенты в этом выражении вещественные и положительные. Слагаемое А//*p реализуется как катушка индуктивности( L//=A//), Ao=R, (B/k/*p)/(p²+²/k/)=(B/k/)/(p+(²/k/)/p) = 1/(p*1/(B/k/)+1/(p*(B/k/)/(²/k/)), <{p*1/(B/k/)=p*C}>,

т.о. реализация такой дроби имеет вид параллельно соединённых индуктивности и ёмкости (L/k/=(B/k/)/(²/k/), C/k/=1/(B/k/).

Ai/(p+/i/)=1/(p/(A/i/)+(/i/)/(A/i/)); p*1/(A/i/)+(/i/)/(A/i/)=Y/i/(p), jX/c/=1/(jc); jb/c/=j/c/. Т.о. параллельно соединённые C=1/(A/i/) и R=(A/i/)/(/i/).

Z(p)=A//*p+Ao++(B/1/*p)/(p²+²/1/)+(A/3/)/(p+/3/)

Если же Y(p)= A//*p+Ao++(B/k/*p)/(p²+²/k/)+…+(A/m/)/(p+/m/), то A//*pC=A//, A/o/G=A/o/; (B/k/*p)/(p²+²/k/)=1/[p*1/(B/k/)+1/(p*(²/k/)/(B/k/))]  Последовательно соедин инд и ёмк =>