9.Решение уравнений однородной линии. Установившийся режим.
Предположим I, u изменяются по синусоидальному закону. Применим комплексный метод расчёта, тогда -i/x=G*u+C*u/t, -u/x=Ri+L*i/t<телеграфные ур-я> будут выглядеть следующим образом:
-(du\.\)/dx=RI\.\+jLI\.\ , -(dI\.\)/dx=GU\.\+jCU\.\ - телеграфные ур-ния в комплексном виде.
NB! Т.к. комплексы тока и напряжения являются ф-циями только от координаты х, в этих ур-ниях вместо частных полные производные.
Дифференцируем по х: -(d²U\.\)/dx²=R(dI\.\)/dx+jL*(dI\.\)/dx. Подставим в него 2-е телегр ур-е в компл виде: - (d²U\.\)/dx²=(R+jL)(G+jC)U\.\=²U\.\. - коэффициент распространения. =j, где - коэффициент затухания(показывает вел-ну затухания волны), - коэффициент фазы (показывает изменение фазы передаваемого сигнала из-за действия C, L).
Ищем решение в виде: U\.\=A/1/*e^(-x)+A/2/*e^(x). Из первого телеграфн ур-я в компл виде(подставляя полученное ур-е) получаем выражение для тока: I\.\=(A/1/*e^(x) – A/2/*e^(x))*1/z).
z=[(R+jL)/(G+jC)] – волновое или характеристическое ур-е линии.
U\.\=A/1/*e^(-x)+A/2/*e^(x); I\.\*z=A/1/*e^(-x)-A/2/*e^(x). Найдём A/1,2/ рассмотрев случай x=0. <{Напряжение в начале U/1/, в конце – U/2/}>. (x=l), тогда {U\.\/1/=A/1/+A/2/; {I\.\/1/*z=A/1/-A/2/. {A/1/=U/1/-A/2/; {I/1/*z=U/1/-2A/2/. {A/2/=(U/1/-I/1/*z)/2; {A/1/=U/1/ - (U/1/ - I/1/*z)/2. {A/1/=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z); {A/2/=½(U\.\/1/ - I\.\/1/*z).. . . .
{U\.\=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z)*e^(-x) + ½(U\.\/1/ - I\.\/1/*z)*e^(x);
{z*I\.\=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z)*e^(-x) – ½(U\.\/1/ - I\.\/1/*z)*e^(x). – основная система ур-ний линии. Эту систему можно записать и как правило используют в тригонометрическом виде: U\.\=U\.\/1/*chx – I\.\/1/*z*shx;
I\.\=I\.\/1/*chx – (U\.\/1/)/z*shx.
U/2/ и I/2/ в конце линии: U\.\/2/=U\.\/1/*chl - I\.\/1/*z*shl; I\.\/2/=I\.\/1/*chl – (U/1/)/z*shl.
Выразим U/1/ и I/1/ через U/2/ и I/2/: U\.\/1/=[U\.\/2/+I\.\/1/*z*shl]/chl. => U\.\/1/=U\.\/2/*chl +I\.\/2/*z*shl; I\.\/1/=I\.\/2/*chl +(U\.\/2/)/z*shl.
Данная система совпадает с ур-нием четырёхполюсника.
Где chl=A , z*shl=B, shl/z=C, chl=D. A=D , AD-BC=1=ch²l-sh²l=1. Если необходимо знать напряжение и ток только в начале или в конце линии(при конкретной частоте), линию можно эквивалентировать 4-х полюсником используя Т или П-образную схему.
Если необходимо знать распределение U и I вдоль линии необходимо линию представить рядом последовательно соединённых чет-ков(т.е. цепной схемой). Причём чем больше звеньев, тем расчёт точнее.(На практике 20 хватает). С увеличением числа звеньев трудоёмкость расчётов растёт.
10.Бегущие волны.
Рассмотрим систему
{U\.\=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z)*e^(-x) + ½(U\.\/1/ - I\.\/1/*z)*e^(x);
{z*I\.\=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z)*e^(-x) – ½(U\.\/1/ - I\.\/1/*z)*e^(x).
U\.\//=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z)*e^(-x)=<представим в показательной форме>=U\.\//=U\.\//1//*e^(-x)=U//1//*e^(j)*e^(-x) = U//1//*e^(j)*e^[-(+j)x]=U//1//*e^(j)*e^(-x)*e^(-jx) = U//1//*e^[j(-x)]*e^(-x).
По аналогии расписываем выражение: U\.\//=½*(U\.\/1/-I\.\/1/*z)*e^(x) = U\.\//1//*e^(x) = U//1//*e^(j)*e^(x) = U//1//*e^(j)*e^(x)*e^(jx) = U//1//*e^[j*(+x)]*e^(x).
Запишем полученные выражения для оригинала(для мгновенных значений). u=2*U//1//*sin(t+-x)+2U//1//*sin(t++x). (*)
Напряжение в любой точке линии равно сумме двух составляющих.
Объясним физически u// и u//. Если взять фиксированную точку (x=const) напряжение u// будет изменяться по sin-су в зависимости от времени. Теперь возьмём t=const. В этом случае u// будет изменяться по закону sin-са по координате х.
Рассмотрим поведение u// при t/2/ (t/2/>t/1/)…… => с течением времени волна u// движется от начала линии к её концу. Причём длина волны будет равняться =2/, скорость =/, -коэффициент распространения.
По аналогии u// представляет собой волну напряжения которая движется с той же скоростью , но в обратном направлении.
u// - наз-ся прямой волной, а u// - обратной.
Скорость также называют фазовой скоростью, т.к. при движении волны по координате х изменяется фаза волны. - наз-ся коэффициент фазы.
При выводе (*) мы пренебрегли экспонентой e^(-x), т.е. предположили, что волна по линии распространяется без затухания (=0). В реальном случае >0 и выражение (*) будет выглядеть следующим образом:
u=e^(-x)*2*U//1//*sin(t+-x) + e^(-x)2*U//1//*sin(t++x), тогда картинка выглядит след образом
По аналогии можно построить эпюру и для отражений волны (обратной).
Если мы рассмотрим второе ур-е системы первой системы z*I\.\=½(U\.\/1/+I\.\/1/*z)*e^(-x) – ½(U\.\/1/ - I\.\/1/*z)*e^(x)., мы получим похожую картину.
Ток i фиксированной точки линии будет равен сумме i=i//+i//, причём эти волны будут затухать по мере их движения.
Отношение (U\.\//)/(I\.\//) – прямых волн напряжения и тока будут равны волновому сопротивлению (U\.\//)/(I\.\//)=z, (U\.\//)/(I\.\//)= - z. (1)
Физика возникновения обратных волн такова: прямая линия распространяется по линии и отражается от её конца. Поэтому прямые линии наз-ся также падающими, а обратные отражёнными. Различные линии по разному отражают волны. Для их хар-ки вводят понятие коэффициентов отражения (q/n/). Например коэффициент отражения напряжения от конца линии: q/n/=(U\.\//2//)/(U\.\//2//).
q/i/=(I\.\//2//)/(I\.\//2//). q<1 – всегда.
Рассмотрим двухпроводную линию которая замкнута на приёмник
{U\.\/2/=U\.\//1//+U\.\//2//; {I\.\/2/=I\.\//2//+I\.\//2//=(U\.\//2//)/z – (U\.\//2//)/z.
Из данной системы выражаем напряжение падающей волны и отражённой: q/n/=(U\.\//2//)/(U\.\//2//)=(zпр – z)/(zпр + z).
Разделим ур-ния системы (1) и учтём выражения для z: (q/i/)/(q/n/)= - 1, тогда q/i/=(z – zпр)/(z + zпр).
Частные случаи: 1) zпр=, q/n/=1, q/i/= - 1. В этом случае волна напряжения отражается без изменения. (U\.\//2//)=(U\.\//2//). В этом случае напряжение на конце линии удваивается. В этом случае волна тока отражается с переменой знака: I\.\//2//= - I\.\//2//, => суммарный ток в конце = 0.
2)zпр=0, q/n/= - 1, q/i/=1. Ток удваивается в конце линии, U/2/=0.
3)z/пр/=z/линии/, q/n/=q/i/=0. В этом случае отражённых волн не возникает.
11.Характеристики однородной линии. Условия для неискажающей линии.
Из выражений для z, , , =f() видно что они зависят от частоты волны, т.е. они принимают различные значения для гармоник различных частот. Это приводит к искажению волны напряжения и тока. Чтобы избежать искажения параметры линии подбирают таком образом, чтобы выполнялось соотношение R/L=G/C в этом случае z, , , f().
NB! Относительно можно потребовать только пропорционального изменения от частоты.
Докажем условие неискажения: z=[(R+jL)/(G+jC)]=[L(R/L+j)/C(G/C+j)]=[L/C] , <{R/L=G/C - условие}>. =[(R+jL)(G+jC)]= [L(R/L+j)*C(G/C+j)]=LC*(R/L+j)=RG+LC*j. =RG, =LC*.
Для неискажающей линии коэффициент затухания, коэфф фазы принимают минимальное значение, а фазовая скорость U=/=1/LC принимает максимальное значение. Она равняется скорости распространения волн в диэлектрике.
Для неискажения сигнала приёмником необходимо, чтобы z=zпр.
Для неискажения при zzпр используют согласующий тр-р.