Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

При несогласованных направлениях токов схема имеет вид, представленный на рис. 2.6.

Рис. 2.6

При этом напряжение ветвей (1—1′) и (2—2′) описывается уравнениями (см. рис. 2.5):

катушек и сопротивление взаимной индукции.

2.1. РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ

2.1(р). На рис. к задаче 2.1(р) показаны кривые мгновенных значений синусоидальных токов и напряжений. Записать аналитические выражения этих токов и напряжений при амплитудах

Im = 52 А; Um = 2202 В.

Решение: для рис. 2.1(р), а i = 7,07 sinωt А; u = 311 sin(ωt + 90°) В; для рис. 2.1(р), б i = 7,07 sin(ωt + 45°) А; u = 311 sin(ωt + 135°) В; для рис. 2.1(р), в i = 7,07 sin(ωt – 45°) А; u = 311 sin(ωt + 45°) В.

71

2.2(р). Синусоидальное напряжение u(t) с амплитудой 100 В и периодом Т изображено на рис. к задаче 2.2(р) при начале отсчета времени t ≥ 0.

Записать напряжение при других началах отсчета времени в точках: 1) О ; 2) О ; 3) О ; 4) О ; 5) О ;

Решение: 1) u = 100 sin(ωt + 45°) В; 2) u = 100 sin(ωt + 90°) В; 3) u = 100 sin(ωt + 135°) В; 4) u = 100 sin(ωt ± 180°); 5) u = 100 sin(ωt +

+270°) = 100 sin(ωt – 90°) В.

2.3.При t = 0 мгновенное значение синусоидального напряжения

(рис. к задаче 2.3) u(0) = –100 ⁄ 2 В, а при Т/8 = 1/200 с напряжение u(Т/8) = –Um = –100 В.

Записать мгновенное значение напряжения u(t).

2.4. Найти модуль и аргумент следующих комплексов:

1)60 + j80; 2) 80 – j60; 3) –300 – j100; 4) –20 + j70; 5) 9 – j0,5;

6)–0,003 + j0,0002.

72

2.5.Разложить на действительную и мнимую составляющие следующие комплексные числа:

1) 5 30°; 2) 10 70°; 3) 0,2 100°; 4) 0,035 170°; 5) 250 195°;

6)30 –112°; 7) 2 275°; 8) 380 –30°; 9) 0,017 269°; 10) 1000 –178°;

11)–15 40°.

2.6.Записать в полярной и алгебраической форме комплексные амплитуды напряжений и токов, которые имеют мгновенные значения:

1)u = 220 sin(ωt + 20°) В; 2) i = 15 cos(ωt – 50°) А; 3) u = –380 sin(ωt + + 100°) В; 4) i = 100 sin(ωt – 120°) А.

2.7(р). В неидеальной катушке, индуктивность которой равна 12 мГн и сопротивление 9 Ом, ток i(t) = 2 sin1000t А.

Чему равно мгновенное значение приложенного напряжения? Решение. Решение проводим комплексным методом. Перейдем к

комплексной схеме неидеальной катушки на частоте ω = 1000 рад/с (рис. к задаче 2.7(р)).

Рис. к задаче 2.7(р)

Комплексное сопротивление катушки

R + jωL = 9 + j103æ12æ10–3 = 9 + j12 = 15 53,13° Ом, комплексные амплитуды тока и напряжения:

I m = 2 А, Um = I m(R + jωL) = 30 53,13 ° В, мгновенное значение приложенного напряжения u = 30 sin(1000t +

+53,13°) В.

2.8.Резистор с сопротивлением 100 Ом и конденсатор емкостью 2 мкФ соединены последовательно. Напряжение на зажимах конденсатора u(t) = 10 sin5000t В.

Определить мгновенные значения тока, напряжения на резисторе, общего напряжения, подводимой мощности и потребляемой активной мощности.

2.9(р). Неидеальная катушка подключается сначала к источнику постоянного напряжения 100 В, а затем к источнику синусоидального напряжения частотой 50 Гц с действующим значением 100 В.

Впервом случае ток равен 5 А, во втором 4 А.

Определить индуктивное сопротивление и индуктивность катушки. Активное сопротивление катушки считать равным ее сопротивлению постоянному току.

73

Решение. Схема с источником постоянного напряжения имеет

Схема с источником синусоидального напряжения u = 1002 sin ωt , ω = 2πf = 314 рад/с, в комплексной области имеет вид, представленный на рис. 2 к задаче 2.9(р).

Комплексные напряжения, тока и сопротивления:

U = 100 В, Z = R + jXL, I = 4 ϕ, следовательно, Z = R2 + X2L =

=U ⁄ I = 100 ⁄ 4 = 25 Ом, XL = 15 = ωL, L = XL/ω = 47,8 мГн.

2.10.В цепи, состоящей из последовательно соединенных конден-

сатора емкостью С = 50 мкФ и катушки с индуктивностью L = 10 мГн и сопротивлением R = 10 Ом, ток i(t) = 0,2 sin1000t А (рис. к задаче 2.10).

Найти мгновенные значения напряжений на конденсаторе, катушке и всей цепи. Построить топографическую диаграмму.

2.11. В цепи, состоящей из двух последовательно соединенных индуктивных катушек, напряжение на входе u(t) = 120 sinωt B.

Параметры катушек R = 50 Ом, R = 10 Ом,

74

Решение. Комплексная расчетная схема представлена на рис. 2 к задаче 2.12(р).

Комплексное сопротивление катушки на заданной частоте XL = = ωL = 2πfL = 173 Ом.

+ 1 60° = 1 + 0,5 + j0,866 = 1,73 30° А.

Показание ваттметра P = UabI cos(60° – 30°) = 299,6 ≈ 300 Вт.

2.13. На рис. к задаче 2.13 показаны схемы фильтров напряжения обратной последовательности (применяются в релейной защите), где

UAB = UBC = U .

Для выбранной схемы (а или б) построить топографические диаграммы для двух случаев:

1)напряжение UAB опережает по фазе напряжение UBC на 120°;

2)напряжение UAB отстает по фазе от напряжения UBC на 120°.

По топографическим диаграммам определить для каждого случая напряжение Umn, выразив его через напряжение U.

75

2.2. ДВУХПОЛЮСНИК В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Решение. U = 100 + j70 = 122 35° В, I = 1 + j1 = 1,41 45° А. На рис. 2 к задаче 2.14(р) построены векторные диаграммы и найдены активные и реактивные составляющие комплексных напряжения и тока.

Рис. 2 к задаче 2.14(p)

Из треугольника напряжений и треугольника токов находим U = 122 cos10° = 120 В, I = 1,44 cos10° = 1,42 А,

(рис. 1 к задаче 2.15(р)).

Определить комплексное действующее значение тока.

Решение. Векторная диаграмма представлена на рис. 2 к задаче 2.15(р).

Возможны два варианта ответа данной задачи:

1) активно-емкостный характер двухполюсника (см. диаграмму):

I= (50 – 20) + j(50 + 20) =30 + j70 А,

1

76

2) активно-индуктивный характер двухполюсника (см. диаграмму):

I= (50 +20) + j(50 – 20) = 70 + j30 А.

2

2.16. Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника: u = 100 sin(314t + 20°) В, i = 10 sin(314t – 10°) А.

1.Построить качественно векторную диаграмму, показав векторы напряжения, тока и их активные и реактивные составляющие.

2.Найти мгновенные значения активных и реактивных составляющих напряжения и тока.

3.Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника: с последовательным соединением R и X и с параллельным соединением G и B.

4.Определить активную, реактивную и полную мощности на входе двухполюсника.

2.17.Для двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R = 100 Ом и конденсатора

емкостью С = 10–5 Ф, найти параметры R, XC параллельной эквивалентной схемы замещения.

Вычисления провести для двух случаев:

1)ω = 103 рад/с,

2)ω = 2æ103 рад/с.

2.18. Известны показания приборов: при замкнутом ключе I = 115 А, U = 6,4 кВ, Р = 665 кВт;

при разомкнутом ключе

I = 166 А, U = 6,2 кВ, Р = 623 кВт (рис. к задаче 2.18).

Определить активное и реактивное сопротивления нагрузки, представленной в виде последовательно включенных элементов с параметрами R и X.

То же в виде параллельно включенных элементов с параметрами R и X.

77

2.21 . Электродвигатель ЭД с номинальными параметрами U =

Найти сопротивление резистора R, при котором двигатель будет работать в номинальном режиме, и параметры X и R последовательной схемы замещения двигателя, а также полную, активную и реактивную мощности всей установки.

Решение. При последовательной схеме замещения двигателя с

следовательно, I = 19,7 A, ϕ = 36,87°.

ном

Пусть I = 19,7 0 A, тогда

ном

U= 127 36,87° В,

ном

2.3.РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.22.На схеме цепи (рис. к задаче 2.22) активные и комплексные сопро-

тивления даны в омах, входное напряжение u(t) = 1002 sinωt — в вольтах. Определить токи ветвей. Построить векторную диаграмму токов и

топографическую диаграмму напряжений (приняв потенциал узла 5

ϕ равным нулю).

5

79