Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

2.51.С = 296 пФ; tgδ = 0,113.

2.52.С = 55 мкФ.

2.53.Q = 0,91 Мвар; С = 24 мкФ.

2.54.U = 100 В.

р

2.72.R = L ⁄ C .

2.73.С = 0,1 мкФ.

2.74.1) при параллельном резонансе 3,33 мФ, 3,33мА, 20 мА, 20 мА; при последовательном резонансе 13,3 мА, 6,67 мА, 20 мА, 40 мА; 2) при параллельном резонансе 10 мА, 10 мА, 20 мА, 20 мА; при последовательном резонансе 40 мА, 20 мА, 20 мА, 40 мА.

= 3,02 раза.

131

2.80.1) а и d (b и c); 2) а и c (b и d).

2.81.См. решение.

2.82.UV = 170 В.

2.83. UV = 6,37 В; UV = 7,78 В.

13

2.84.М = 6,8 мГн.

I= 1,2 – j1,6 = 2 –53° А; ϕb = 0; ϕa = 164 + j48 В; ϕc = –36 + j48 В.3

12

2.91.UV = 97,28 В; IА = 1,08 А.

2.92.UV = 59,4 В; PW = 191,1 Вт.

2.93. UV = 100 В; UV = 0.

12

132

Глава третья

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

ВВЕДЕНИЕ

Разложение периодических токов, напряжений, ЭДС в гармонические ряды. Ток i = i(t), удовлетворяющий условиям Дирихле, может быть представлен в виде ряда Фурье:

где I0 — постоянная составляющая (нулевая гармоника); I1msin(ωt + ψ1) — первая гармоника, а Ikm sin(kωt + ψk) при k > 1 — высшие гармоники

(вторая, третья и т.д.); ω = 2π/Т — основная угловая частота, т.е. угловая частота первой гармоники тока, имеющего период Т. Амплитуды и начальные фазы гармоник определяются по табл. 3.1 и соотношениям

Аналогичным образом могут быть представлены в виде рядов периодические напряжения и ЭДС цепи.

133

Расчет установившихся режимов в линейных цепях с использованием комплексного метода. Представив все ЭДС и токи источников в виде рядов Фурье, можно провести расчет цепи отдельно по каждой из гармоник — по нулевой гармонике (постоянному току), когда ЭДС

итоки источников тока учитываются только их постоянными составляющими; по первой гармонике, когда источники считаются синусоидальными с частотой ω и т.д. В результате определяются постоянная

игармонические составляющие токов и напряжений цепи, которые затем в соответствии с принципом суперпозиции суммируются. Так, для некоторого тока имеем

i = I0 + i1 + i2 + … + iN + … ≈ I0 + i1 + i2 + … + iN,

где I0 — постоянная, а ij, j > 1, — гармонические составляющие тока

ik = Ikm sin(kωt + ψk), k = 1, 2, …, N — номер гармоники тока, обеспечивающий требуемую точность его вычисления. Расчет первой и высших гармоник удобно проводить комплексным методом, при этом обязательно переводя его результат в вещественную (временную)′ область, так как суммировать гармоники можно только в этой области. При использовании комплексного метода необходимо пересчитывать комплексные сопротивления индуктивного Z = jXL, XL = kωL,

и емкостного Z = –jXС, XC = 1/(kωC), элементов для каждой гармо-

ники k = 1, 2, …, N. В цепях с полигармоническим воздействием, когда ЭДС и токи источников имеют вид

N N

e = ∑ Ekm sin (ωkt + ψk) и J = ∑ Ikm sin (ωkt + ψk) ,

где угловая частота ωk имеет не обязательно целочисленные значения,

комплексным методом рассчитываются режимы для каждой частоты ωk, а затем результаты расчетов суммируются в вещественной области.

При этом исключаются операции разложения e(t) и J(t) в ряд Фурье.

Действующие значения тока, напряжения, ЭДС. Для периодических процессов действующие значения переменных могут быть рассчитаны как

134

где I0, U0, E0 — постоянные составляющие тока, напряжения, ЭДС;

ники тока, напряжения, ЭДС, k = 1, 2, …, N.

Мощности в цепях с периодическими токами и напряжениями. Активную и полную мощности некоторого двухполюсника с током i = i(t) и напряжением u = u(t) можно выразить через параметры их гармоник:

Отношение λ = P/S называют коэффициентом мощности.

Интегральные оценки качества несинусоидальных процессов. Периодические процессы принято характеризовать четырьмя величинами: максимальным значением тока (напряжения) Imax(Umax) за

период, его действующим значением I(U), действующим значением его первой гармоники I1(U1), а также средним по модулю значением:

Показания приборов. В зависимости от исполнения прибора (вольтметр или амперметр) и устройства его входного преобразователя он может показывать действующее значение измеряемой величины, ее среднее по модулю значение, усредненное за период положительное (отрицательное) значение и т.д. Магнитоэлектрические приборы показывают постоянную составляющую измеряемой величины; электромагнитные, электродинамические, электростатические

135

и тепловые — ее действующее значение. Показания электронных приборов в зависимости от устройства входного преобразователя могут определяться действующим, средним по модулю, максимальным или минимальным значением измеряемой величины. Прибор индукционной системы и электронный прибор с конденсатором на входе определяет действующее значение переменной составляющей измеряемой величины.

3.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

3.1(р). Разложить в тригонометрический ряд периодическую функцию напряжения, выражаемую кривыми, представленными на рис. к задаче 3.1(р).

Решение. Для кривой на рис. а ωt1 = π/2, на рис. б ωt1 = 0, на рис. в

ωt1 = π.

Запишем уравнения кривой (а, в) для различных интервалов периода

u2(t) = Umax, ωt1 ≤ ωt ≤ π.

По условию симметрии функция, описывающая кривую, нечетная и в разложении содержатся только синусоиды. Для определения

136

а) при ωt1 = π/2

137

3.2(р). Вычислить коэффициенты формы, амплитуды и искажения кривой напряжения (рис. к задаче 3.2(р)), уравнение которой

Рис. к задаче 3.2(р)

u(t) = U1m sinωt + U2m sin2ωt, U1m = 100 В, U2m = 30 В.

Решение. Действующее значение напряжения

Найдем максимальное значение напряжения u(t):

du

-------------- = U cos ωt + 2U cos 2ωt = 0. d(ωt) 1m 2m

Учитывая, что cos2ωt = 2cos2ωt – 1, получаем квадратное уравнение 120 cos2ωt + 100 cosωt – 2 = 0, следовательно,

cosωt = 0,0196, ωt = 88,9° и Umax = 101,2 В.

138

3.3. Разложить в тригонометрический ряд функцию тока, график которой выражает телеграфные сигналы в случае периодической передачи точек (рис. к задаче 3.3).

3.4.Разложить в тригонометрический ряд функцию напряжения, выражаемую пилообразной кривой (рис. к задаче 3.4). По найденному выражению построить кривую, составленную из суммы постоянной составляющей и первой гармоники разложения функции, сравнить графически полученную кривую с исходной пилообразной. То же в случае добавления второй и третьей гармоники.

3.5.Разложить в тригонометрический ряд периодические функции напряжения, выражаемые кривыми прямоугольной (рис. к задаче 3.5, а)

итреугольной (рис. к задаче 3.5, б) формы.

По найденному выражению для кривой на рис. а построить сумму первой и третьей гармоник разложения, и сравнить с исходной кривой. То же в случае добавления пятой гармоники.

3.6. Напряжение имеет вид периодически ломаной кривой (рис. к задаче 3.6). Построить сумму первых трех составляющих ряда Фурье и сравнить с исходной кривой. Из общего выражения тригонометрического ряда получить частные случаи:

а) ωt1 = 2π, б) ωt1 = π, в) ωt1 = 3π/2.

139