Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

Существует взаимное соответствие между прямыми линиями на фазовой плоскости и экспоненциальными зависимостями от времени. Изменению переменной во времени по гармоническому закону соответствует движение изображающей точки по эллипсу или окружности на фазовой плоскости.

Зависимость искомой переменной от времени может быть получена с применением приближенных вычислений по интервалам. При этом фазовую траекторию y(x) на k-м интервале между точками xk и

xk + заменяют отрезком прямой y = a + bx (рис. 8.1, г) и находят

1

интервал времени, необходимый для движения изображающей точки на k-м интервале,

x

k

или, учитывая значения ординат на границах k-го интервала yk и yk +

1

(рис. 8.1, г) и значения b = (yk + – yk)/(xk + – xk),

1 1

и tk + 1 = tk + tk.

Автоколебания. Переходные процессы в нелинейных цепях могут переходить в автоколебания, т.е. незатухающие колебания, амплитуда и период которых не зависят от начальных условий и наличия в цепи внешних источников периодических токов и напряжений. Релаксационные или почти гармонические автоколебания могут возникнуть в цепях с обратной связью или в цепи с элементами, имеющими спадающий участок вольт-амперной характеристики.

Расчет релаксационных колебаний часто выполняется методом кусочно-линейной аппроксимации.

При расчете почти гармонических колебаний часто достаточно учесть основную гармонику. На первом этапе исследования таких колебаний полагают, что их амплитуды (относительно состояния равновесия) малы и цепь можно считать линейной. В линейном приближении находится условие возбуждения колебаний из условий устойчивости и определяется частота по мнимым составляющим корней характеристического уравнения.

При линейном приближении цепи нельзя определить амплитуду колебаний. Для определения амплитуды в установившемся режиме необходимо учесть нелинейности характеристик элементов, у которых нелинейность проявляется наиболее сильно.

411

Расчет амплитуды и частоты автоколебаний может быть выполнен методом усреднения или методом гармонической линеаризации. При расчете методом гармонической линеаризации учитывается только основная гармоника и возможно применение комплексного метода. При этом принимается во внимание зависимость эквивалентных параметров нелинейных элементов от амплитуд переменных величин, определяющих нелинейность характеристики.

Характеристическое уравнение [Z (p) = 0] для цепи с эквивалент-

вх

ными параметрами определяет частоту и амплитуду установившихся колебаний. При этом рассматривают два уравнения, полагая p = jω:

8.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

8.1(р). Ключ в цепи (рис. 1 к задаче 8.1(р)) размыкается. Заданы ЭДС Е = 250 В, сопротивления резисторов: R = 120 Ом; R = 5 Ом;

R = 0,2 Ом; характеристика Ψ(i) катушки (рис. 2 к задаче 8.1(р)).

3

Определить ток катушки во время переходного процесса методами:

1) аналитической аппроксимации вида i = kΨ2; 2) условной линеаризации; 3) кусочно-линейной аппроксимации Ψ(i) двумя отрезками прямых, проходящих через точку b с координатами 0,5 А, 1 Вб (рис. 2 к задаче 8.1(р)); 4) последовательных интервалов при аппроксимации

вида i = kΨ2, где k = 0,5 А/Вб2.

412

Решение. Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации

где R = R + R .

12

Определим рабочий участок характеристики Ψ(i). В момент коммутации (t = 0) ток в катушке не изменяется скачком, т.е.

i(0 ) = i(0 ) = i(0) = ЕR /ρ = 0,08 А,

+ R ) = 2 А.

2

Таким образом, начальная точка а на рабочем участке Ψ(i) имеет координаты: i(0) = 0,08 А, Ψ(0) = 0,4 Вб; конечная точка с имеет координаты i(×) = 2 А; Ψ(×) = 2 Вб. Во время переходного процесса значения тока и потокосцепления меняются в пределах

0,08 А ≤ i(t) ≤ 2 А и 0,4 Вб ≤ Ψ(t) ≤ 2 Вб.

1. Метод аналитической аппроксимации. Предварительно для принятой аппроксимации i(Ψ) = kΨ2 определим, рассматривая начальную точку а, коэффициент аппроксимации k = i(0)/Ψ2(0) =

= 0,08/0,42 = 0,5 А/Вб2.

Метод аналитической аппроксимации предполагает возможность интегрирования нелинейного дифференциального уравнения цепи

413

Полученное аналитическое решение позволяет анализировать в общем виде влияние отдельных параметров цепи на зависимости тока и потокосцепления от времени.

2. Метод условной линеаризации. В методе условной линеаризации нелинейная характеристика заменяется на рабочем участке прямой, т.е. рассчитывается переходный процесс в линейной цепи.

Заменим характеристику Ψ(i) на рабочем участке отрезком ас прямой (не проходящей через начало координат), уравнение которой

где L — эквивалентная индуктивность. Эквивалентную индуктив-

0

ность определим по приращениям:

и из (5) при i(×) = 2 А и Ψ(×) = 2 Вб вычислим Ψ = 0,33 Вб.

0

Подставив (5) в дифференциальное уравнение цепи (1), получим:

00

режима,

Ψ= L Е/R + Ψ = 1,98 Вб.

Корень характеристического уравнения р = –R/L = –150 с–1.

0

414

Таким образом, Ψ(t) = 1,98 + Ае–150t.

Из условия Ψ(0 ) = Ψ(0 ) = 0,4 находим постоянную интегрирования

+–

А= 0,4 – 1,98 = –1,58. Таким образом, Ψ(t) = 1,98 – 1,58е–150t Вб.

По кривой i(Ψ) ток i(t) может быть найден графически. При задан-

ной зависимости i = kΨ2, где k = 0,5, получим аналитическое решение

i(t) = 0,5(1,98 – 1,58е–150t)2 А.

3. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Для повышения точности расчета рабочий участок характеристики Ψ(i) заменим отрезками нескольких прямых, в рассматриваемой задаче по условию отрезками ab, bc. Расчет для каждого участка выполним так же, как для линейной цепи. Постоянные интегрирования найдем из условия непрерывности изменения рассматриваемой величины при переходе с одного участка на другой. Для каждого участка определим момент времени, соответствующий переходу на следующий участок.

Для расчета тока i(t) исходное дифференциальное уравнение (1) представим в виде

Рассмотрим решение на каждом участке.

а) первый участок ab (k = 1). На этом участке в интервале времени

0 ≤ t ≤ t значения тока и потокосцепления изменяются в пределах

1

0,08 ≤ i ≤ 0,5 А; 0,4 ≤ Ψ ≤ 1 Вб, т.е. эквивалентная индуктивность на первом участке

+ R )/L = –87,4 c–1.

21

415

Из условия i(0 ) = i(0 ) = 0,08 А находим постоянную А = –1,92.

+ – 1

Следовательно, ток на первом участке:

i(t) = 2 – 1,92е–87,4t А.

Время t , соответствующее моменту перехода на второй участок,

1

определим из условия i(t ) = 0,5 А, т.е.

б) второй участок bс (k = 2). На этом участке в интервале времени

t ≤ t ≤ × значения тока и потокосцепления изменяются в пределах

1

0,5 ≤ i ≤ 2 А; 1 ≤ Ψ ≤ 2 Вб, т.е. эквивалентная индуктивность на втором участке

ΔΨ

времени меньше, чем на первом.

4. Метод последовательных интервалов. При решении задачи этим методом интервал времени, в течение которого рассчитывается переходный процесс, делим на n интервалов — шагов t = h.

В фиксированный момент времени tk = kh на k-м интервале пото-

косцепление равно Ψk. Через интервал времени t, т.е. момент tk =

+ 1

= (k + 1)h, потокосцепление изменится на ΔΨk, т.е.

Ψ

k + 1

Ψk + 1 = Ψk + ΔΨ = Ψk + ∫ dΨ .

Ψ

k

416

Интеграл вычислим приближенно, полагая подынтегральную функцию на малом интервале времени постоянной при токе i(Ψ) = i(Ψk)

в начале интервала. В результате получим явную формулу Эйлера

На рисунках (рис. 3 и 4 к задаче 8.1(р)) приведены графики Ψ(t) и i(t) для решений: методом аналитической аппроксимации (кривая 1); условной линеаризации (кривая 2); кусочно-линейной аппроксимации (кривая 3); последовательных интервалов (кривая 4).

8.2. В цепи (см. рис. 1 к задаче 8.1(р)) после размыкания ключа наступил практически установившийся режим. В момент времени, который принят за t = 0, произошло короткое замыкание между точками 1 и 2. Параметры цепи и кривая намагничивания Ψ(i) приведены в условии задачи 8.1(р).

Применяя методы аналитической аппроксимации и кусочнолинейной аппроксимации, определить ток катушки i(t) во время переходного процесса и найти зависимость дифференциальной индуктивности катушки L от времени, учитывая связь L (Ψ).

417

Методическое указание. При расчете методом кусочно-линейной аппроксимации принять, что характеристика катушки Ψ(i) задается двумя отрезками прямых cb и b0 с координатами точки c 2 А, 2 Вб; точки b 0,5 А, 1 Вб (см. рис. 2 к задаче 8.1(р)).

8.3. Пренебрегая потерями в магнитопроводе и потоком рассея-

ния, определить во время переходного процесса напряжение u на

2

выходе трансформатора (рис. к задаче 8.3). Дано: Е = 6 В, R = 4 Ом,

1 1

w = 2w . Зависимость Ψ(i) для первичной обмотки трансформатора

21

аппроксимирована отрезками двух прямых Ψ = 0,8i при 0 ≤ i ≤ 0,5 А; и Ψ = 0,35 + 0,1i при 0,5 ≤ i ≤ 1,5 А, где Ψ в веберах, i в амперах.

Сопоставить полученный результат с зависимостью u (t) в случае,

2

если магнитопровод не будет насыщаться.

418

Рис. к задаче 8.3

i, мА

4

C 3 2 1

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 u, В

8.4. Конденсатор емкостью С = 12 мкФ заряжен до напряжения U = 1 В. С момента t = 0 конденсатор разряжается через диод, вольтамперная характеристика которого аппроксимирована зависимостью

i = ku2, где k = 10 мА/В2.

Определить методом аналитической аппроксимации время разрядки конденсатора до напряжения, равного 0,5 В. Найти это же время методом условной линеаризации.

8.5. Определить ток i(t) во время переходного процесса в цепи (рис. к задаче 8.5, а).

Дано: ток источника J = 10 мА, емкость конденсатора С = 5 мкФ и вольт-амперная характеристика диода (рис. к задаче 8.5, б) i(u).

Методом последовательных интервалов найти время, в течение которого напряжение на конденсаторе достигнет значения 0,8 В.

8.6. Определить время переходного процесса в цепи (рис. к задаче 8.6), считая, что переходный процесс заканчивается, когда ток диода

составит 0,9i , где i — ток в установившемся режиме. Дано: Е = 1 В,

уст уст

R = 2 кОм, С = 4 мкФ.

Характеристика диода приведена на рис. к задаче 8.5, б.

419

= k u + k u2 в крайних точках рабочего участка;

1 2

б) последовательных интервалов при шаге t = τ/4, где τ — постоянная времени цепи при линеаризации.

8.7. Заданы ЭДС Е = 1,5 В и параметры схемы (рис. к задаче 8.7, а): R = 10 Ом; С = 20 мкФ; вольт-амперная характеристика диода приведена на рис. к задаче 8.7, б.

420