Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

.pdf

Скачиваний:

822

Добавлен:

09.12.2021

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6045 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Операция усреднения определяется интегрированием за период, например,

							1 2π		2		1
							------ ∫ sin		θ dθ	=	-- .
							2π				2
							0
	Приведенное		усреднение					условно			обозначим				чертой сверху:
		1
	2					3										4
	2					3										4
sin	θ =	-- . Так как		cos			θ sin θ	= 0 , cosθ sin θ = 0 ,						cos		θ	= 3 ⁄ 8 , то
		2
получим уравнения в виде
					da				dϕ		3	2
				-----			= –δa ;		------ =	–--Ka			.				(1)
					dt				dt		8

Для определения постоянных интегрирования вычислим предварительно значения а(0) и ϕ(0). Учитывая начальные условия и принимаемый вид решения, найдем, что

Ψ(0) = 0 = a(0) cos [ω æ0 – ϕ(0)] ;

dΨ			æ0 – ϕ(0)] ,
-------	= uL(0) = uC(0) = U0 = –a(0)ω0 sin [ω0		æ0 – ϕ(0)] ,
dt
т.е.	0
т.е.
	а(0) cosϕ(0) = 0;		(2)
	а(0) sinϕ(0) = U /ω .		(3)
	0	0

Так как а(0) ≠ 0, то из (2) ϕ(0) = ±π/2. Поскольку а(0) > 0, то из (3) имеем ϕ(0) = π/2 и а(0) = U /ω . Интегрируем уравнение установле-

ния амплитуды (1) dа/а = –δ dt и получаем:

1 a

–δt = ln a + ln ------ = ln ------ ,

C	C
1	1

т.е.

a(t) = C e–δt,

откуда, учитывая начальное значение а(0), определяем постоянную

С = U /ω . Следовательно, искомое решение

1 0 0

U	–δ t
0	–δ t
a(t) = ------e		.
ω
0

Подставив его в уравнение установления фазы, получим:

dϕ	3KU2		–2δ t
dϕ		0	–2δ t
------	= –--------------e
dt		2
	8	ω
		0

441

и после интегрирования находим

3KU2

–2δ t

ϕ(t) =

----------------e

C .

16ω2δ

3KU2

Так как ϕ(0) = π/2, то С =

– ----------------

и, следовательно,

16ω δ

3KU2

–2δ t

ϕ(t) = --

– ----------------(1

– e

) .

16ω δ

Полная фаза колебаний

3KU2

–2δ t

θ(t) = ω t

– ϕ(t) = ω t –

-- +

----------------(1 – e

) .

16ω δ

Частота свободных колебаний во время переходного процесса

dθ(t)

3KU2

–2δ t

ω(t) =

-------------

= ω

+ --------------e

8ω

Зависимость ω(t) приведена на рис. 2

3KU

(0)

к задаче 8.29(р), где ω(0) =

ω + -------------- .

8ω2

С течением времени при уменьшении

амплитуды

колебаний

а(t)

насыщение

магнитопровода

катушки

сказывается

все

меньше

меньше,

индуктивность

увеличивается и, как видно из графика,

Рис. 2 к задаче 8.29(p)

частота

уменьшается,

асимптотически

приближаясь к значению ω

= 1 ⁄ L C .

При ω = ω амплитуда колебаний мала и катушку можно считать

линейной с наибольшей индуктивностью L = L .

8.30. Начальный заряд на конденсаторе (рис. к задаче 8.30)

q(0) = Q . Кулон-вольтная характеристика аппроксимирована поли-

номом u(q) = k q + k q3.

При известных параметрах R и L рассчитать зависимость q(t) во время переходного процесса методом усреднения.

442

+	+		+	+	uC
		L	C –			L
–	u			–
	–

Рис. к задаче 8.30			Рис. к задаче 8.31
			R
	iR	i( )	i
u	R		u
			u
C	iC		C
Рис. к задаче 8.32			Рис. к задаче 8.33

8.31. Дано: L = 0,01 Гн; С = 20 пФ; uC(0) = 100 В. Вольт-амперная характеристика нелинейного резистора (рис. к задаче 8.31) аппрокси-

мирована зависимостью i = ku3, где k = 10–10 А/В3. Полагая, что после коммутации в цепи возникают затухающие колебания, найти время, за которое амплитуда колебаний uC напряжения уменьшится в 2 раза.

8.32. Дифференциальные уравнения цепи (рис. к задаче 8.32), подключенной к источнику синусоидального напряжения u = Um sinωt,

преобразованы относительно потокосцепления к уравнению Дуффинга:

d2x	δdx	3
--------	+ x = ξx – --------- – χx		+ P cos τ .
2	dτ
dτ

Вебер-амперная характеристика индуктивной катушки аппроксимирована полиномом i(Ψ) = k Ψ + k Ψ3. Здесь приняты обозначения:

х= Ψ/Ψ , где Ψ — заданное базисное значение потокосцепления;

бб

τ = ωt; δ = 1 ⁄ (ωRC) ; ξ = 1 – ω2 ⁄ ω2 ; ω2 = k ⁄ C ; χ = k Ψ /

0 0 1 3 б

/(ω2C) ; P = Um ⁄ (Ψбω) .

Требуется:

а) методом усреднения составить уравнения установления амплитуды а и фазы ϕ;

б) получить выражение амплитудной характеристики Р(а); в) получить выражение амплитудно-частотной характеристики ξ(а).

8.33. В последовательном контуре (рис. к задаче 8.33) частота напряже-

ния питания u = U	sinωt равна собственной частоте контура ω = 1/ LC
m	0

при малых амплитудах колебания потокосцепления катушки.

443

Считая, что потери в контуре отсутствуют (R = 0), найти при известной

емкости С и заданной характеристике катушки i(Ψ) = (1/L)(1 + kΨ2)Ψ амплитуду а установившихся колебаний методом усреднения.

8.5.АВТОКОЛЕБАНИЯ

8.34.Для схемы задачи 8.17 методом усреднения требуется: а) записать уравнение установления амплитуды автоколебаний напряжения на диоде во время переходного процесса в относительных единицах; б) найти частоту и амплитуду колебаний в установившемся режиме.

8.35.Определить в цепи (рис. к задаче

CL 8.35) частоту ω и амплитуду Im устано-

	i(u)		вившихся колебаний тока i методом гар-
	i(u)
J			монической линеаризации. Значение тока
J
		R	J источника выбрано таким, что характе-
			J источника выбрано таким, что характе-

			ристика нелинейного элемента относи-
			ристика нелинейного элемента относи-
			тельно рабочей точки для переменных
			составляющих может быть аппроксими-
			составляющих может быть аппроксими-

Рис. к задаче 8.35	рована полиномом i = –а u + а u3.
	1	3

Найти условие существования колебаний.

8.6. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧИСЛЕННЫМИ

МЕТОДАМИ

8.36(р). В цепи (см. задачу 8.1) принята аппроксимация характе-

ристики катушки i(Ψ) = 0,5Ψ2.

На основе явной формулы Эйлера при шаге h = 10–3 с вычислить

длительность переходного процесса t , считая, что переходный про-

цесс заканчивается, когда приращение потокосцепления на шаге получается менее 0,01%.

Решение. В соответствии с явной формулой решения задачи 8.1

получим расчетную формулу при h = 10–3 с:

Ψk = Ψk + 0,25 – 0,0625Ψ2k .

+ 1

Время установления переходного процесса t находим из выраже-

ния t	= t	= t		+ h при условии
п	k + 1		k
				Ψk + 1	– Ψk
				= -----------------------------		100 < 0,01 .

Ψk

444

Алгоритм вычислений можно представить в следующем виде

(см. таблицу): 1) вводим значения для k = 0: t	= 0, Ψ(0) = 0,4; Ψ = 0,4,
0	1
t1 = h; 2) вычисляем Ψk + 1, tk + 1, ; 3) если	≥ 0,01, повторяем п. 2;

4) выводим значения tп, Ψk . В таблице даны результаты вычисле-

+ 1

ний для t = 0; 2h; 4h и т.д.

		–3	Ψ, Вб	i, А		–3	Ψ, Вб	i, А
t	æ	10 , с	Ψ, Вб	i, А	t	æ	Ψ, Вб	i, А
t		10 , с			t	10 , с

		0,0	0,40000	0,08000		10,0	1,87635	1,76035

		2,0	0,88000	0,38720		12,0	1,93626	1,87456

		4,0	1,28320	0,82330		14,0	1,96762	1,93577

		6,0	1,57737	1,24405		16,0	1,98368	1,96749

		8,0	1,76636	1,56001		18,0	1,99180	1,98364

						…

Результаты вычислений: t = 27 мс; Ψ = 1,9998 Вб.

пп

8.37.Для задачи 8.10(р) рассчитать i(t) после коммутации, приме-

няя явный метод Эйлера.

8.38. Катушка со стальным сердечником включается на постоянное

напряжение U = 50 В. Вебер-амперная характеристика i(Ψ) = 3,27Ψ2 (ток i в амперах, потокосцепление Ψ в веберах). Сопротивление катушки R = 31,2 Ом.

Рассчитать ток в катушке i(t) после коммутации, применяя явный метод Эйлера.

8.39. Для задачи 8.14 рассчитать i(t) после коммутации, применяя явный метод Эйлера.

8.40(р). Для схемы задачи 8.32 заданы: напряжение u = Um sinωt, где Um = 100 В, f = 50 Гц и параметры элементов С = 7 мкФ, R = 2 кОм.

Вебер-амперная характеристика i(Ψ) = kΨ5, где k = 1,5 А/Вб5. Требуется:

1.Составить уравнения состояния для Ψ и uC.

2.Получить расчетные формулы, применяя явный метод Эйлера.

3.Принимая шаг h = Т/50, по формулам п. 2 вычислить uC(t) и i(t)

вустановившемся режиме при t > 10Т в течение периода для двух случаев: 1) Ψ(0) = 0, uC(0) = 0; 2) Ψ(0) = 0, uC(0) = 250 В.

Найти максимальные значения UC m и Im. Пояснить полученные

результаты.

Решение. 1. Запишем в общем виде уравнения состояния

dΨ			duC
-------dt	= f	1[i(Ψ), uC, t] ;	---------dt	= f	2[i(Ψ), uC, t] .
-------dt			---------dt

Значения производных для переменных Ψ и uC:

dΨ			duC		iC		i ( Ψ ) + iR
-------dt	= u – uC	;	---------dt	=	----C	=	-----------------------C	.
-------dt			---------dt		----C		-----------------------C

445

По второму закону Кирхгофа RiR + uC = u, откуда

iR	Um	uC	duC	k	5	Um	uC
iR	= ------- sin ωt – ------		; ---------	= ---	Ψ	+ ------- sin ωt – ------- .
	R	R	dt	C		RC	RC

2. Перейдя к конечным приращениям, получим явные расчетные

формулы:
	Ψk + 1 = Ψk + h(Um							sin 2	πftk – uCk ) ;
u		= u		+ h	k	Ψ	5	Um	sin 2πft		uCk
u	C( k + 1)	= u	Ck	+ h	---	Ψ	k	+ -------	sin 2πft	k	– -------- .
	C( k + 1)		Ck		C		k	RC		k	RC

3. Вычисления можно выполнить согласно следующему алгоритму:

1) вводим значения: t = 0, Ψ(0), uC(0), Um, f, С, R, k, h;

2) вычисляем Ψk + 1, uC(k + 1), tk + 1 = tk + h, ik + 1 = k Ψk + 1 ; 3) если t ≤ 10Т = 10/f = 0,2, повторяем выполнение п. 2); 4) выводим значения t, uC, i.

Результаты вычислений: 1. UCm = 23,042 В, Im = 7,251 мА; 2. UCm = 330,897 В; Im = 1,636 А.

Для указанных параметров феррорезонансной цепи при нулевых начальных условиях в случае 1 устанавливаются нерезонансные колебания. При заданных начальных условиях в случае 2 устанавливаются резонансные колебания с большими максимальными значениями. Феррорезонансная цепь в зависимости от начальных условий имеет одно из двух возможных устойчивых состояний равновесия; ее можно применить в устройствах, обеспечивающих функции памяти.

8.41.Параметры элементов (рис. 1 к задаче 8.41): Е = 40 В, R = 80 Ом,

С= 100 мкФ, вольт-амперная характеристика диода задана графически (рис. 2 к задаче 8.41).

Найти ток через резистор численным методом (явный метод

Эйлера), используя аппроксимацию i (u ) = au		+ bu2 .
д д	д	д

iд	iC
uд
E
R	C
iR
Рис. 1 к задаче 8.41

uд, В

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 iд, А

Рис. 2 к задаче 8.41

446

8.42(р). Параметры элементов (рис. 1 к задаче 8.42(р)): Е = 3 В, R = 10 Ом, С = 0,1 Ф. Вольт-амперная характеристика диода аппрокси-

мирована выражением i (u ) = 0,1u2

, начальные условия: u

(0) = 1 В.

iд(uд)

uд

Рис. 1 к задаче 8.42(p)

Рис. 2 к задаче 8.42(p)

Определить i(t) после замыкания ключа, применяя расчетные формулы явного и неявного метода Эйлера.

Решение. 1. Формирование уравнения состояния. Расчетная схема для t ≥ 0 дана на рис. 2 к задаче 8.42(р).

Применим метод наложения

(E)

(uC)

(iд )

duC

iC = iC

+ iC

---

–

------

– iд , iC =

C---------

следовательно,

duC

--------- = –-------u

–

---i + -------E ,

(1)

(E)

)

(i )

uд = u

+ uд

+ u

= 0E + 1uC + 0iд ,

(2)

(E)

(uC)

(iд )

+ i

---

– ------ +

(3)

= 0,1u2 .

(4)

После подстановки из (4) в (1):

duC		2
---------	=	3 – uC – uC	,	(5)
dt
i = (3 – uС)0,1.				(6)

447

2. Выбор шага интегрирования.

Определим рабочий участок (рис. 3 к задаче 8.42(р)): при t = 0

u (0) = uС(0) = 1 В, i (0) = 0,1 А; при t → × по методу эквивалент-

д д

ного генератора (рис. 4 к задаче 8.42(р)) составим расчетную схему: Uх× = Е = 3В,

Iк× = Е/R = 3/10 = 0,3 А, iд× = 0,17 А,

uд× = 1,3 В.

iд, А					Uх	iд
1,0						uд
0,9						uд
0,9					Rвх
0,8					Rвх
0,7
0,6					Рис. 4 к задаче 8.42(p)
0,5					Рис. 4 к задаче 8.42(p)
0,5
0,4
0,3						К
0,2	t				R	К
0,1	t					Rд
0,1	t = 0					Rд
0	1	2	3	uд, В	E	C
0	1	2	3	uд, В

Рис. 3 к задаче 8.42(p) Рис. 5 к задаче 8.42(p)

Рабочий участок: 0,1 ≤ i				≤ 0,17 А; 1 ≤ u			≤ 1,3 В.
				д		д
Линеаризуем рабочий участок:
		u	д =	1,3 – 1		0,3
R	д	= ---------	д =	1,3 – 1	=	0,3	= 4,29 Ом.
	д	i	0,17 – 0,1			0,07

При расчете переходного процесса методом условной линеаризации расчетная схема приведена на рис. 5 к задаче 8.42(р).

Определим
R R
д	= 0,1æ3 = 0,3 c.
τ = C ----------------	= 0,1æ3 = 0,3 c.
Rд + R
ср
Время переходного процесса t		≈ 3τ = 0,9 c.
	пер.пр	ср
Выберем шаг интегрирования h = τ		/6 = 0,05 с.
	ср

3. Явный метод Эйлера. Для k-го шага интегрирования:

duCk uC(k + 1) – uCk

------------ = ------------------------------------ , dt h

448

														duCk									2
			uC(k + 1)						=	uCk + h				------------		= uCk + 0,05(3 – uCk – uCk)								,
														dt
при k = 0 uСk = uС(0) = 1 В, для k-го шага ik = (3 – uС)0,1, tk = kh.
	Результаты вычисления сведены в таблицу:

k			1				2			3				4		5			6		7		8		9

t			0,05	0,10						0,15				0,20		0,25			0,30		0,35		0,40		0,45
k

u			1,05	1,0923						1,1280			1,2708			1,2765			1,2812		1,2851		1,2883		1,2909
Ck

i			0,195	0,1908						0,1872			0,1729			0,1723			0,1719		0,1715		0,1712		0,1709
k

																					Продолжение таблицы

k		10					11			12				13		14			15		16		17	18

t		0,50				0,55				0,60				0,65		0,70			0,75		0,80		0,85	0,90
k

u		1,2930			1,2948					1,2962			1,2974			1,2984			1,2992		1,2998	1,3000		1,3005
Ck

i		0,1707			0,1706					0,1704			0,1703			0,1702			0,1701		0,1700	0,1700		0,16995
k

	4. Неявный метод Эйлера:
										uC(k + 1)					– uCk			duC(k + 1)
										------------------------------------ =								------------------------ ,
														h					dt
					u					– u				=	h 3 – u					– u2		,
							C(k		+ 1)			Ck					C(k + 1)				C( k + 1)
					u					= u				+	0,1 3 – u					– u2			.
						C(k + 1)					Ck							C( k + 1)			C(k + 1)
	Получаем квадратное уравнение:
				uC2 (k + 1)						+ uC(k + 1) – 3 = – 10uC(k + 1) + 10uCk ,
							uC2 ( k + 1)				+ 11uC( k + 1)						– 3 – 10uCk = 0 .
	Решение уравнения должно удовлетворять условию uСk > 0.
	Для k = 1 uC2							1	+ 11uC1				– 13 = 0 , uС1						= 1,0765, i1 = (3 – 1,0765)0,1 =
= 0,1924.
	Для k = 2 uC2							2	+ 11uC2				– 13,765 = 0 , uС2							= 1,1344, i2			= 0,1866.
	Для k = 3 uC2							3	+ 11uC3				– 14,344 = 0 , uС3							= 1,1779, i3			= 0,1822.
	Для k = 4 uC2							4	+ 11uC4				– 14,779 = 0 , uС4							= 1,2104, i4			= 0,1790.
	Для k = 5 uC2							5	+ 11uC5				– 15,104 = 0 , uС5							= 1,2345, i5			= 0,1765.
	Для k = 6 uC2							6	+ 11uC6				– 15,345 = 0 , uС6							= 1,2524, i6			= 0,1748.

449

	Для k = 7 uC2				7 + 11uC7 – 15,524 = 0 , uС7				= 1,2656, i7 = 0,1734 и т.д.
	Результаты вычисления сведены в таблицу:

k			1		2	3	4	5		6	7	8

t			0,05	0,10		0,15	0,20	0,25		0,30	0,35	0,40
k

u			1,0765	1,1344		1,1779	1,2104	1,2345		1,2524	1,2656	1,2754
Ck

i			0,1924	0,1866		0,1822	0,1790	0,1765		0,1748	0,1734	0,1724
k

										Продолжение таблицы

k		9			10	11	12	13		14	15	16

t		0,45		0,50		0,55	0,60	0,65		0,70	0,75	0,80
k

u		1,2826		1,2879		1,2918	1,2947	1,2968		1,2984	1,2996	1,300
Ck

i		0,1717		0,1712		0,1708	0,1705	0,1703		0,1702	0,1700	0,1700
k

8.43. Для цепи задачи 8.1 на основе неявной формулы Эйлера для потокосцепления Ψ катушки рассчитать Ψ(t) и i(t) в интервале вре-

мени от t = 0 до tn = 18æ10–3 с. Характеристика катушки аппроксими-

2	, шаг h = 2æ10	–3
рована зависимостью i(Ψ) = 0,5Ψ	, шаг h = 2æ10		с.

8.44. В схеме на рис. к задаче 8.8 ЭДС, В, источника е = 12 sinωt при f = 50 Гц. Параметры элементов: С = 1 мкФ, R = 120 кОм, вольт-

амперная характеристика i(u) диода задана: i(u) = 3,5æ10–5 × ×[exp(41,8u) – 1].

По явной формуле Эйлера с шагом h = Т/100 вычислить постоян-

ную составляющую напряжения на конденсаторе в установившемся режиме. Считать, что режим устанавливается в течение времени, после которого среднее значение напряжения за период изменяется менее чем на 2 %.

8.45. Решить задачу 8.36, считая, что характеристика катушки i(Ψ) симметрична и определяется данными таблицы. Применить формулу линейной интерполяции

i, А	0	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0

Ψ, Вб	0	0,58	0,66	0,769	0,83	0,88	0,92

i, А	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2

Ψ, Вб	0,956	0,985	1,00	1,04	1,06	1,08

8.46. Для цепи задачи 8.4 вычислить по неявной формуле Эйлера время разрядки конденсатора до напряжения 0,2 В. Принять шаг h = 0,1 мс.

450

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6045 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
11.07.20208.85 Mб234Ekzamen_Toe.docx
#
11.07.20201.08 Mб42Obschiy_test_s_numeratsiey0.pdf
#
12.09.202025.09 Кб16TL_2017.doc
#
09.12.20214.92 Mб822Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1.pdf
#
10.06.20215.65 Mб100Ответы на экзамен лето 2 курс.docx
#
16.03.20211.61 Mб28ТОЭэкзам3sem.doc