Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

Uх(0)

Euд = uab(0)

Рис. 2 к задаче 8.10(p)

8.10(р). Дано: Е = 1,5 В, Е = 0,1 В, R = 100 Ом, L = 0,05 Гн (рис. 1 к задаче 8.10(р)).

Определить i(t) после коммутации.

Вольт-амперная характеристики диода задана таблицей:

Решение. 1. Определение рабочего участка. По методу эквива-

лентного генератора (рис. 2 к задаче 8.10(р)) определим значения u и

д

i в моменты времени:

д

при t = 0, iL(0) = 0 (нулевые начальные условия)

U (0) = Е – Е = 1,4 В,

х

I (0) = (Е – Е)/R = 14 мА;

к

421

при t → × (рис. 3 к задаче 8.10(р))

R 41,3 t 40,0

II

30,6

30,0

Значения тока и напряжения на диоде меняются в пределах:

Графическое решение приведено на рис. 4 к задаче 8.10(р).

2. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Выбираем два участка линейности на вольт-амперной характеристике диода:

дiд (21,5 – 8,1)10–3

EI = 0,358 В.

д

Схема замещения нелинейного элемента на участке I при 0 ≤ t ≤ tа приведена на рис. 5 к задаче 8.10(р).

Классическим методом определим переходный ток i = i (98,1 ≤

д

≤ i ≤ 21,5 мА):

д

422

Рис. 5 к задаче 8.10(p)

Рис. 6 к задаче 8.10(p)

дiд (41,3 – 21,5)10–3

EII = 0,566 В.

д

Схема замещения на участке II (рис. 6 к задаче 8.10(р)), т.е. при 0 ≤ t′ ≤ × или t > tа:

A = –19,8 мА, p = –336,11 1/с.

II

423

Решение на участке II: iII(t′) = 41,3 – 19,8e–336,11t′ мА. Ответ:

t ≈ ta + 5τ = 16,4 мс.

пер.пр II

3. Метод аналитической аппроксимации. Выберем аналитиче-

скую аппроксимацию: i (u ) = аu + bu 2, коэффициенты аппрокси-

мации выберем по крайним точкам рабочего участка:

424

u (0) = 0,6 В.

д

Время переходного процесса, считая его окончанием время, когда

д

0,6

Замечание. При дальнейшем аналитическом решении использу-

8.11. В момент t = 0 ключ размыкается (рис. к задаче 8.11, а). Источник тока J = 0,2 А, C = 200 пФ. Нелинейный резистор имеет вольт-амперную характеристику, заданную графически (рис. к задаче 8.11, б); Е = 0,5 В, R = k tgα = 12 Ом).

Найти u(t) при включении нелинейного резистора в проводящем

направлении при u ≥ 0.

н.р

8.12. Катушка со стальным сердечником включается на постоянное напряжение U = 120 В. Сопротивление обмотки R = 4 Ом. Рассчитать i(t) методом кусочной линеаризации, заменяя вебер-амперную характеристику двумя прямыми Ψ = 0,072i и Ψ = 0,001566i + 0,293, где i в амперах, Ψ в веберах.

425

8.13. Катушка со стальным сердечником, вебер-амперная характе-

ристика которой задана выражением i = kΨ4(k = 675 А/Вб4), где i в амперах, Ψ в веберах, подключается к источнику постоянного напряжения U = 100 В. Сопротивление катушки R = 200 Ом.

Методом аналитической аппроксимации найти i(t) и Ψ(t) после коммутации.

8.14. Обмотка катушки со стальным сердечником замыкается накоротко (рис. к задаче 8.14, а). Сопротивление обмотки R = 20 Ом, число витков w = 300. До замыкания напряжение на обмотке U = 60 В. Зависимость Φ(i) задана графически (рис. к задаче 8.14, б).

Рис. к задаче 8.14

Рассчитать i(t) методом кусочно-линейной аппроксимации.

8.2. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

8.15(р). Вольт-амперная характеристика газоразрядного нелинейного элемента имеет S-образную форму (см. Введение). Рабочий участок на спадающей части этой характеристики, соответствующей разряду, аппроксимирован зависимостью u = k + k /i, где k = 20 В,

k = 25 ВæА.

2

Нелинейный элемент включен в цепь последовательно с резистором и источником ЭДС. Сопротивление резистора R = 8 Ом, постоянная ЭДС источника Е = 50 В.

Найти состояния равновесия и определить условия их устойчивости. На плоскости параметров Е, R построить область устойчивого разряда.

Решение. Найдем ток, определяющий состояния равновесия, аналитически. Запишем уравнение цепи

426

т.е. на рассматриваемом рабочем участке возможны два состояния равновесия: i = 2,5 А и i = 1,25 А.

Для исследования их устойчивости в исходную цепь (рис. 1 к задаче 8.15(р)) последовательно с нелинейным элементом, имеющим S-образную характеристику, необходимо включить индуктивность L (значение ее может быть очень малым) (рис. 2 к задаче 8.15(р)).

При этом процессы в цепи будут описываться дифференциальным уравнением

Рассмотрим малые отклонения ξ относительно равновесий i n (n = 1; 2).

0

Записав ток в виде i = i n + ξ, подставим его в дифференциальное

0

уравнение (2) и получим:

Последнее слагаемое в левой части равенства представим в виде ряда Тейлора, ограничиваясь слагаемым с линейной зависимостью, т.е.

При этом, учитывая, что в соответствии с (1) k

получаем линейное дифференциальное уравнение для отклонений

427

Состояния равновесия будут устойчивыми, если коэффициенты этого уравнения будут положительными (корень характеристиче-

k

2

ского уравнения — отрицательным), т.е. если R – ------ > 0 .

2

i0n

Для состояния равновесия i = 2,5 А находим (8 – 25/2,52) = 4 > 0,

01

т.е. оно устойчиво, а при i = 1,25 А получим (8 – 25/1,252) < 0, т.е.

02

это состояние неустойчиво.

Для определения области устойчивого разряда на плоскости пара- k

На рис. 3 к задаче 8.15(р) построена кривая Е(R), разделяющая первый квадрант на две области: верхнюю (заштрихованную) и нижнюю. Точка Е = 50 В и R = 8 Ом (заданные значения) находится в верхней области. Поэтому приходим к выводу, что эта область соответ-

ствует устойчивому разряду при токе i . Эта же область параметров

01

соответствует возможному появлению и неустойчивых состояний,

так как при токе i состояние равновесия неустойчивое.

02

В нижней области при заданной аппроксимации вольт-амперной характеристики состояния равновесия существовать не могут. В действительности, если учесть нарастающий участок вольт-ампер- ной характеристики нелинейного элемента, эта область будет соответствовать устойчивым режимам при отсутствии разряда.

E, В 80

60

E(R)

40

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 R, Ом

Рис. 3 к задаче 8.15(p)

428

8.16. Для амплитуды колебаний a(τ) в автогенераторе известно

ный параметр цепи; τ — безразмерное время.

Определить состояния равновесия a n и условия их устойчивости.

0

8.17. Вольт-амперная характеристика

2

-----------------------

k – 1 ⁄ R

1

8.18. При аппроксимации вольт-амперной характеристики туннельного диода отрезками прямых (рис. к задаче 8.18), определить условие устойчивости состояния равновесия. В плоскости параметров Е, R построить область, для которой возможны неустойчивые состояния равновесия.

Рис. к задаче 8.18

429

8.3. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

8.19(р). 1. Рассчитать аналитически и построить графически фазовую траекторию процесса (рис. 1 к задаче 8.19(р)), вызванного замыканием рубильника в цепи для случаев:

1) UC0 = 0; 2) UC0 = 0,5U; 3) UC0 = –0,5U, где UC0 = uC(0). Траек-

di duC тории построить на плоскости i; ---- и uC; --------- .

dt dt

Решение. Фазовая траектория тока определяется по уравнению

Фазовая траектория проходит через начало координат, так как в установившемся режиме ток i = 0. Для построения фазовой траектории

430