|
N |
|
(4) |
Обозначим: |
Qi = Fk rk |
|
|
|
|
k =1 |
q |
|
|
i |
|
Равенство (1) примет вид: |
|
|
|
N |
n |
|
|
A(Fk ) = |
Qi qi = |
|
|
k =1 |
i =1 |
|
=Q1 q1 + Q2 q2 + … + Qi qi + … + Qn qn. |
(5) |
Обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту при вариации этой обобщенной координаты в выражении возможной работы всех
активных сил, действующих на механическую систему.
321
Способы вычисления обобщенных сил:
1. Аналитический (координатная форма формулы (4)) :
N |
xk |
|
yk |
|
zk |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
+ Fky q |
|
Qi = Fkx q |
+ Fkz q |
|
k =1 |
i |
|
i |
|
i |
|
2. Системе сообщается такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата ( qi 0, q1, q2, …, qi-1, qi+1, …, qn = 0.
N |
N |
|
= Qi qi . |
A(Fk ) = A(Fk ) |
k =1 |
k =1 |
i |
|
3. Для потенциальных сил:
F = U i + U j + U k |
(9) |
k |
xk |
yk |
zk |
|
|
|
U(xk, yk, zk ) - силовая функция
Подставляя проекции силы Fk в равенство (6), получаем
|
N |
|
U |
|
x |
|
U |
|
y |
U z |
k |
|
|
Qi = |
|
|
|
|
k |
+ |
|
|
k |
+ |
|
|
|
|
|
(10) |
|
x |
|
q |
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
k |
|
q |
|
|
k =1 |
|
k |
|
i |
|
k |
|
i |
|
|
|
i |
|
Qi = |
U |
Qi |
= − |
|
(i = 1, 2, …, n). (11) |
|
qi |
|
|
qi |
|
Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции по соответствующим обобщенным координатам.
Лекция 12 3.54. Принцип возможных перемещений
Для равновесия механической системы, на которую наложены голономные, стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, на любом возможном перемещении системы равнялась нулю.
F – равнодействующая всех активных сил;
r – вектор возможного перемещения этой точки, тогда
k =1
N |
|
(Fkx xk + Fky yk + Fkz zk ) = 0 |
(2) |
k =1
Система материальных точек находится в равновесии, если скорости всех ее точек в начальный момент равны нулю и равна нулю сумма сил, действующих на каждую точку.
Доказательство необходимости (система находится в равновесии):
|
Rk + Fk = 0 |
(k = 1, 2, …, N). |
(3) |
Rk |
- равнодействующая сил реакций |
|
Достаточность (доказательство от противного):
Равенство (1) выполняется - система за малый промежуток времени совершает действительное перемещение.
(Rk + Fk ) rk |
0 |
(k = 1, 2, …, N). (6) |
|
|
