Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
3.29. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Теорема о моменте количества движения |
|||
системы относительно оси вращения Oz: |
|||
|
dKz |
N |
|
|
= mz (Fk(e) ) |
||
|
dt |
||
где |
k =1 |
||
|
|||
Kz = Jz z .
механической
(1)
(2)
Подставим (2) в (1) и получим дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси :
|
d z |
N |
|
|
J z |
= mz (Fk(e) ) |
171(3) |
||
|
||||
|
dt k =1 |
|
||
|
|
2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
(e) |
|
|
|
(e) |
|
||
или |
Jz |
|
|
|
= mz (Fk |
) |
или |
Jz |
= Mz |
(4) |
dt |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
Сравним (4) с дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки
m |
d 2 x |
= Fx |
(5) |
||
dt |
2 |
||||
|
|
|
|||
m → Jz x →
Fx → Mz(e)
Момент инерции является мерой инертности тела при
172
вращательном движении.
3.30. Элементарная и полная работа силы. Мощность
Работа – это физическая величина, характеризующая механический эффект действия силы.
Частные случаи:
1.Точка приложения постоянной силы F движется по прямой, совпадающей с линией действия силы.
A = Fs. |
(1) |
Работа положительна, если направление силы совпадает с направлением движения точки, и отрицательна, если сила и направление движения точки противоположны.
Работа силы трения: |
|
А = − f Ps , |
(2) |
где f — коэффициент трения. |
173 |
|
2. Точка приложения постоянной силы движется по прямой, а линия действия силы направлена под углом к этой прямой:
A = F cos s = F s |
(3) |
3. Модуль силы величинаF переменная, ее направление совпадает с направлением перемещения ее точки приложения.
Элементарная работа - работа силы F, на бесконечно малом участке пути sk.
Ak = Fk sk . |
(4) |
174
Полная работа: |
N |
s |
|
|
|
||
A = Nlim→ Fk sk |
= Fds |
(5) |
|
|
|
|
|
|
sk →0 k =1 |
0 |
|
4. Работа переменной силы в случае криволинейной траектории движения точки:
Элементарная работа силы:
d ' A(F) = F cos ds (6)
где – угол между векторами |
||
и |
F |
v |
в точке М. |
175 |
|
|
|
|
Элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение:
d'A = F ds . |
(7) |
|
|
|
|
|
ds = |
dr |
|
Из (6) с учетом, что |
|
, |
имеем |
Элементарная работа силы равна скалярному произведению векторов силы и дифференциала радиусвектора точки ее приложения.
|
(8) |
d A = F dr cos |
или
|
|
d A = Fdr |
(9) |
|
176 |
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки ее приложения.
Из (9) с учетом, что |
dr = v dt |
имеем |
d ' A = Fvdt = (Fdt)v
Аналитическая формула:
d'A = Fx dx + Fy dy + Fz dz .
|
F |
Полная работа силы |
на конечном перемещении |
N
A = Nlim→ d Ak
k =1
(10)
(11)
(12)
где d'Ak |
— работа силы F на k-м элементарном |
|
перемещении. |
177 |
|
|
||
Сумма (12) является интегральной суммой и называется криволинейным интегралом:
M
A = d A
M0 Различные выражения полной работы:
(13)
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
F ds |
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
M 0 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
F dr |
|
|
(15) |
||
|
|
|
M 0 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
F dx + F dy + F dz |
(16) |
||
|
|
|
|
x |
y |
z |
178 |
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
Если сила является функцией времени:
t
A = F vdt |
(17) |
|
0
Единицей работы в системе СИ является джоуль. 1 Дж = 1Н м.
Следствия из определения элементарной и полной работы:
1.Работа равнодействующей системы сил на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении;
2.Работа силы на полном перемещении равна сумме работ
этой же силы на составляющих перемещениях. |
179 |
|
Мощность — это физическая величина, характеризующая быстроту выполнения работы силой, приложенной к точке:
|
|
|
|
N = |
d A |
= F v |
(18) |
dt |
Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения.
Мощность нельзя рассматривать как производную от работы по времени, так как в общем случае d'A не является полным дифференциалом некоторой функции координат.
Единицей мощности в системе СИ является ватт. 1
180
Вт = 1 Н м/c.