Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
Подставим значения координат, в выражение момента
инерции JOz. |
N |
|
JOz = mk [(x1k +xC )2 + ( y1k + yC )2 ] = |
|
k =1 |
N |
N |
0 |
|
||
= mk (x12k + y12k ) + 2xC mk x1k + |
||
k =1 |
k =1 |
|
N |
N |
+2 yC mk y1k0 |
+(xC2 + yC2 ) mk = |
k =1 |
k =1 |
N |
|
|
|
|
|
m (x2 |
+ y2 |
) + d 2 M . |
101 |
k 1k |
1k |
|
|
k =1
JOz |
= JCz + Md 2 |
(3) |
|
1 |
|
Момент инерции механической системы относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы всей системы на квадрат расстояния между осями.
JOz JCz1
102
Лекция 4 3.15. Количество движения точки и механической
системы. Элементарный и полный импульс силы
Количество движения материальной точки:
q = mv (1)
Проекции вектора количества движения:
qx = mvx, qy = mvy, qz = mvz . (2) |
103 |
|
Главный вектор количеств движения точек системы или количество движения механической системы:
N |
|
Q = mkvk |
(3) |
k =1
Проекции вектора Q:
|
N |
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
Q = |
|
m v |
; Q = |
|
m v ; |
Q = |
|
m v |
kz |
(4) |
x |
|
k kx |
y |
|
k ky |
z |
|
k |
|
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
104
Вывод формулы для вычисления величины |
: Q |
Из определения центра масс: |
|
N |
|
mkrk = MrC |
(5) |
k =1 |
|
Дифференцируя, получим
N |
drk |
|
drC |
|
N |
mk |
= M |
или |
mkvk = MvC (6) |
||
k =1 |
dt |
|
dt |
k =1 |
|
|
|
vC |
– скорость центра масс системы. |
105 |
Сравнивая (3) и (6) получим: |
|
Q = M vC |
(7) |
Количество движения механической |
системы равно |
произведению массы всей системы на вектор скорости ее центра масс.
Вектор количества движения характеризует только поступательное движение механической системы (твердого тела), а при сложном движении – поступательную часть движения вместе с центром масс.
Размерность количества движения в системе СИ
106
кг м с или Н с.
Элементарный импульс силы: |
|
|
dS = Fdt |
(8) |
|
Проекции элементарного импульса: |
|
|
dSx = Fx dt; dSy = Fy dt; |
dSz = Fz dt. |
(9) |
Полный импульс силы |
за время t: |
|
|
F |
|
t
S = Fdt. |
(10) |
|
|
0 |
|
107
Импульс силы характеризует эффект действия силы в зависимости от величины силы и времени действия. Проекции полного импульса:
t |
t |
t |
|
Sx = Fxdt |
S y = Fy dt |
Sz = Fz dt |
(11) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
Размерность импульса силы в системе СИ – кг м/c или Н с.
108
3.16. Теорема о количестве движения точки
Дифференциальное уравнение движения точки:
m |
d 2r |
= F |
или m |
dv |
= F |
(1) |
dt2 |
|
|||||
dt |
dmv |
= F |
(2) |
dt |
||
|
|
F - равнодействующая сил 109
Производная по времени от количества движения точки равна равнодействующей всех действующих на точку сил.
В проекциях:
d(mvx ) |
= Fx , |
d(mvy ) |
= Fy , |
d(mvz ) |
= Fz . (3) |
|
dt |
dt |
dt |
||||
|
|
|
Умножив обе части равенства (2) на dt, получим
dmv = F dt |
(4) |
Дифференциал количества движения точки равен элементарному импульсу всех действующих на точку сил
(дифференциальная форма). |
110 |
|