Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
Подставляя (6) в уравнения (4) и (5) получаем шесть алгебраических уравнений:
x0 = x(C1, C2, C3, C4, C5, C6),
y0 = y(C1, C2, C3, C4, C5, C6),
z0 = z(C1, C2, C3, C4, C5, C6),
v |
0x = x(C , C , C , C , C , C ), |
(7) |
|||||
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
v0y = y(C1, C2, C3, C4, C5, C6),
v0z = z (C1, C2, C3, C4, C5, C6),
21
Решая систему (7) и подставляя найденные значения постоянных интегрирования C1, C2, C3, C4, C5, C6 в общее решение рассматриваемой задачи (4), найдем частное решение задачи, соответствующее заданным начальным условиям.
22
3.4. Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту
Материальная точка M массой m, брошена с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью v0
23
Начальные условия :
при t=0
x = x0 = 0, |
x =v0 x |
=v0 |
cos , |
|
y = y0 = 0, |
y =v0 y |
=v0 |
sin , |
|
(1) |
||||
z = z0 = 0, |
z =v0 z = 0. |
|
|
|
|
|
|||
24
Сила тяжести P = mg |
, направленная вертикально |
||
вниз: |
|
|
|
Px = 0, |
Py = – mg, |
Pz =0. |
(2) |
Дифференциальные уравнения движения точки:
mx = 0, |
|
|
|
my = −mg, |
(3) |
|
|
mz = 0.
Интегрируя, находим
x =vx =C1, y =−gt +C2, z =vy =C3 |
(4) |
25
Общее решение:
x = C1t +C4 , |
|
|
||
|
gt2 |
|
|
|
|
|
(5) |
||
y = − |
|
+ C2t +C5 , |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = C3t +C6. |
|
|
||
|
|
|
|
|
Подставляя начальные условия в уравнения (4) и (5), находим постоянные интегрирования
C1 = v0cos , C2 = v0sin , C3 = C4= C5 = C6 = 0. (6)
26
Подставив, (6) в общее решение (5), находим закон движения точки:
x =v0t cos , |
|
|
|
|
|
|
gt |
2 |
|
|
|
y =v0t sin − |
|
|
|
||
|
|
, |
(7) |
||
2 |
|||||
|
|
|
|||
z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Уравнение траектории точки.:
y = xtg − |
gx2 |
|
. |
(8) |
|
2v2 cos2 |
|
||||
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
28
3.5. Прямолинейное движение материальной точки.
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения
Дифференциальные |
уравнения |
свободной |
материальной точки: |
|
|
mx = Fx |
(x, y, z, x, y, z,t); |
|
|
|
|
my = Fy |
(x, y, z, x, y, z,t); |
(1) |
|
|
|
mz = Fz (x, y, z, x, y, z,t). |
|
|
29
Точка движется по прямой (Ох). Уравнения траектории:
y = 0, |
z = 0, |
(2) |
На основании (1): |
|
|
Fy = 0, |
Fz = 0. |
(3) |
Равнодействующая приложенных к точке сил должна иметь постоянное направление, совпадающее с прямой, вдоль которой движется точка.
30