Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdfПри t = 0 имеем x = x0.
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от x0 до x и от 0 до t, находим :
x = x0 +v0t + |
1 t |
(t)dt. |
(4) |
||
|
|
||||
m |
|||||
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
||
41
2. Сила зависит только от скорости.
Fx = F (v).
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения
m |
d2 x |
= F(v) или m |
dv |
= F(v). |
(5) |
||
dt |
2 |
dt |
|||||
|
|
|
|
||||
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от v0 до v и от 0 до t, получим:
|
v |
dv |
|
|
|
m |
|
= t. |
(6) |
||
F (v ) |
|||||
|
|
42 |
|||
|
v |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Интегрируя (6) находим:
|
dx |
= (t). |
|
v = dt |
(7) |
||
|
|
|
|
Откуда
|
t |
|
|
x = x0 + |
|
(t)dt. |
(8) |
|
|||
|
0 |
|
|
43
Если из уравнения (6) нельзя найти v как явную функцию времени воспользуемся преобразованием
dv |
= |
dv |
|
|
dx |
=v |
dv |
(9) |
|||
dt |
dx dt |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
m |
vdv |
|
|
|
|||||||
|
dx = F(v). |
(10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда:
x = x0 |
+ m |
v |
vdv |
. |
|
|
|
|
(11) |
||||
F (v ) |
||||||
|
|
|
|
|||
|
v |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
44
Пусть из уравнения (11) можно найти v как явную функцию x
v = |
dx |
= (x). |
(12) |
|
dt |
||||
|
|
|
Отсюда интегрируя вторично, получим:
dx |
= dt и |
x |
dx |
= t. |
|
|
|
|
|
(13) |
|||
(x) |
(x) |
|||||
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Последнее уравнение определяет x как функцию времени t.
45
3. Сила зависит только от координаты.
Fx = F (x).
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения
|
d2 x |
|
dv |
= F(x). |
|
||||
m dt2 = F(x) |
или m dt |
(14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Исключаем время t, c помощью (9). |
|
||||||||
|
|
||||||||
vdv |
или mvdv = F(x)dx. |
(15) |
|||||||
|
|
|
|
||||||
m dx = F(x) |
|||||||||
|
|||||||||
46
Интегрируя при t = 0 |
x = x0, а v = v0, получим: |
|
||||
|
mv2 |
mv |
2 |
x |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
= F(x)dx. |
|
|||
|
|
− |
|
(16) |
||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
x0 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Откуда:
Заменяя v интегрируя получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = v |
2 |
+ |
2 |
|
(x). |
(17) |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
на |
|
|
|
, разделяя переменные и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 до x и от |
|
||||||||||
в пределах |
от |
|
0 до t, |
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= t. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v02 + |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(x) |
|
||||||||||||||
|
|
|
m |
|
47 |
|||||||||||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.7. Падение тела в сопротивляющейся среде
Сила сопротивления:
R = −kv (1)
k – коэффициент, зависящий от плотности среды и формы тела.
48
Дифференциальное уравнение движения тела:
|
|
m |
dv |
= mg −kv |
|
||
|
(2) |
||||||
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
||||
Начальные условия |
|
||||||
x |
|
t=0 =0 и v |
|
t=0 =0. |
(3) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
49
Разделяя переменные и используя начальные
условия, получим:
v |
dv |
|
|
m |
|
|
|
|
v0 |
|
m |
= t или |
− |
ln |
|
mg − kv |
|
||||
|
|
|||||||||
mg − kv |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= t, (4)
|
|
mg |
− |
k |
t |
|
|
откуда |
v = |
|
). |
|
|||
k |
(1−e |
m |
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|||
50