Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
Подставляя (4) в (1) получим:
N |
m v 2 |
N |
mk (vC |
+vk(r ) )2 |
|
T = |
k k |
= |
|
|
= |
2 |
|
2 |
|||
k =1 |
k =1 |
|
|
||
|
|
|
|
(5) |
|
|
1 |
N |
N |
|
1 |
N |
|
= |
mkvC2 + mkvC |
vk(r ) + |
mk (vk(r ) )2 |
||||
|
|
||||||
|
2 k =1 |
k =1 |
|
2 k =1 |
|||
191
Учтем, что:
N
mkvC v k =1
N
=vC mk k =1
|
N |
|
|
|
|
k(r ) =vC mkvk(r ) |
|||||
|
k =1 |
|
|
||
d |
|
d |
N |
||
k |
=vC |
|
|
|
|
dt |
dt |
||||
|
k =1 |
||||
=
0
mk k = 0
N
mk = M — масса системы
k =1
192
Следовательно:
|
1 |
2 |
1 |
N |
(r ) |
|
2 |
|
T = |
|
MvC |
+ mk (vk |
) |
||||
|
(6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 k =1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Кинетическая энергия механической системы в ее абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить массу всей системы, и кинетической энергии системы в ее движении
относительно центра масс.
193
3.34. Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
Поступательное движение.
vk = vC - скорость точки.
T = |
N |
mkvk2 |
= |
vC2 |
N |
mk = |
1 |
MvC2 |
(1) |
|
2 |
|
|
2 |
|||||
|
2 |
|
|
|
|||||
|
k =1 |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
194
Вращательное движение. |
|
vk = z hk - скорость точки. |
(2) |
hk - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения
N |
|
J z = mk hk2 |
— момент инерции тела относительно |
k =1 |
оси вращения. |
N |
m v2 |
|
2 |
N |
1 |
|
|
|
||
T = |
k k |
= |
|
mk hk2 = |
|
|
Jz |
2 |
(3) |
|
2 |
2 |
2 |
||||||||
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|||||
195
Плоскопараллельное движение.
(Поступательное движение тела вместе с центром масс С и вращение вокруг подвижной оси Сz, движущейся поступательно вместе с центром масс.)
T = |
1 |
MvC2 |
+ |
1 |
JCz 2 |
(4) |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс
и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной
плоскости движения. |
196 |
|
3.35.Теорема
окинетической энергии материальной точки
Дифференциальное уравнение движения точки:
|
|
|
d 2r |
= F |
|
|
|
m dt2 |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dmv |
|
|||
или |
|
= F |
(2) |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
dt |
|
|||
Умножим равенство (2) скалярно на скорость точки
v dmdtv = F v
(3)
197
Внесем v под знак производной:
d mv 2 |
|
= F v |
(4) |
||
|
|
|
|
||
dt |
2 |
|
|
||
|
|
||||
Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности всех действующих на точку сил.
198
Умножая (4) на dt ( vdt = dr), получаем
mv 2 |
|
= F dr |
|
|
d |
|
|
(5) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Дифференциал от кинетической энергии точки равен элементарной работе всех действующих на точку сил.
199
В конечной форме:
mv2 |
mv2 |
M |
|
|
= F dr |
|
|||
|
− |
0 |
(6) |
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
M0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Изменение кинетической энергии точки на некотором перемещении равно полной работе всех действующих на точку сил на том же перемещении.