П = AMM0 |
M0 |
|
= dU =U(M0 ) −U(M) |
(1) |
|
|
M
Потенциальная энергия в какой-либо точке поля с точностью до постоянной C0 равна силовой функции в той же точке, взятой со знаком минус.
3.41. Примеры вычисления силовых функций
Однородное поле силы тяжести.
P = mg
Рx= 0, |
Рy= 0 , |
Рz= −mg. |
(1) |
d’A = Р dx+Р dy +Р dz = −mgdz = d(−mgz). (2) |
x |
y |
z |
253 |
|
|
|
Интегрируя равенство (2), находим:
U = −mgz+ С1; |
(3) |
= mgz +C2; |
(4) |
А = −mg(z2− z1), |
(5) |
А = −mgH, |
(6) |
где H = z2− z1 − высота подъема точки.
Поверхности уровня однородного поля силы тяжести - плоскости, перпендикулярные оси Оz, силовые линии – прямые, параллельные оси Оz.
Поле линейной силы упругости.
Линейная сила упругости:
(7)
F = −cr
Fx= − cx , Fy= − cy , Fz= − cz . |
(8) |
d’A= Fx dx+Fy dy +Fz dz = |
|
|
|
|
|
|
= − c(x dx+y dy+z dz)= – cr dr =d |
, |
(9) |
|
cr |
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
так как
r2 = x2+ y2 + z2 ; |
r dr = x dx+y dy+z dz. |
Интегрируя равенство (9), находим:
U = − |
cr |
2 |
+C1 |
П = |
cr |
2 |
+ С2 |
(10) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
|
− |
cr |
2 |
= − |
c |
2 |
2 |
) |
|
A = |
d |
|
|
|
|
(r2 |
− r1 |
(11) |
M1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа силы упругости не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка.
Если точка перемещается из положения равновесия, то работа силы упругости будет отрицательной:
Поверхности уровня линейной силы упругости - концентрические окружности с центром в начале координат, силовые линии – прямые, проходящие через начало координат.
3.43. Закон сохранения полной механической энергии
Пусть все силы (как внешние, так и внутренние), действующие на точки системы потенциальны
Fkx = |
U |
Fky = |
U |
Fkz = |
U |
|
xk |
yk |
zk |
(1) |
|
|
|
|
Теорема о кинетической энергии :
0 |
|
N |
k |
k |
N |
|
|
|
k |
|
T −T |
= |
|
( A(e) + A(i ) ) = |
A |
(2) |
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
Система движется в потенциальном силовом поле:
k =1
Т – Т0 = 0 – , или Т+ = Т0 + 0 = const. |
(4) |
Е = Т+ = const. |
(5) |
При движении системы в потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия постоянна.
Лекция 10 3.43. Закон сохранения полной механической
энергии
Пусть все силы (как внешние, так и внутренние), действующие на точки системы потенциальны
Fkx |
= |
U |
|
Fky |
= |
U |
|
|
Fkz = |
|
U |
(1) |
xk |
yk |
|
|
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о кинетической энергии : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
T −T = |
|
( A(e) + A(i ) ) = |
|
A |
(2) |
|
|
0 |
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
