Суммируя уравнения (3) по всем точкам системы и внося
под знак производной получаем: |
|
|
|
|
|
|
vk |
|
|
|
|
|
d N |
m v2 |
N |
N |
|
|
|
|
|
|
k k |
= Fk(e) vk + Fk(i) vk |
(4) |
|
|
|
2 |
|
dt k =1 |
k =1 |
k =1 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
(e) |
(i ) |
|
|
|
|
|
|
|
= N (Fk |
) + N (Fk |
) |
(5) |
|
|
dt |
|
|
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех действующих на
систему внешних и внутренних сил. |
202 |
|
|
|
|
vkdt =drk |
|
|
Умножая (4) на dt ( |
|
|
), получим |
|
N |
m v2 |
N |
|
drk |
N |
drk |
|
d |
k k |
= Fk |
|
+ Fk |
|
|
(e) |
|
(i) |
|
(6) |
k =1 |
2 |
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
dT = d'A(Fk(e) ) + |
d'A(Fk(i ) ) |
(7) |
|
k =1 |
|
|
|
k =1 |
|
|
Дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил.
где |
|
Mk |
|
|
|
|
|
Mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e) |
) = |
|
(e) |
drk |
|
(i) |
) = |
|
(i) |
drk |
A(Fk |
|
Fk |
и |
A(Fk |
|
Fk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mk 0 |
|
|
|
|
|
Mk 0 |
|
|
— соответственно полная работа внешних и внутренних сил.
Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме полных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил на соответствующих перемещениях точек приложения этих сил.
Лекция 8 3.37. Примеры решения задач с использованием общих теорем
динамики Пример 3.5.
M – масса платформы; m – масса тела 1;
f – коэф. трения тела о платформу
v0=0 – начальная скорость платформы; u0 – начальная скорость тела 1.
Внешние силы:
Mg |
N |
mg и - силы тяжести; |
- нормальная реакция |
N
Fkx(e) = 0 m(u +v) + Mv = const
Вычитая (4) из (5), имеем:
|
dv |
|
|
|
vdv |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M dt = mg f |
или |
M |
|
dx = mg f |
|
|
откуда |
0 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
vdv = mg f dx |
|
|
|
M |
|
(7) |
|
|
|
|
|
v0= - |
m |
|
0 |
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
m+M |
|
|
|
|
|
Интегрируя равенство (7), находим искомое перемещение платформы
X = − |
mMu2 |
(8) |
2g f (m + M )2 |
|
0 |
|
Интегрируя первое уравнение из (6), находим время движения платформы.
|
|
0 |
|
|
M |
|
|
|
dv = mg f dt |
v |
=- |
m |
u |
0 |
|
|
0 |
|
m+M |
0 |
|
|
|
|
|
откуда
Пример 3.6.
m1 – масса однородного диска радиуса R;
m2 – масса человека;
u=const – относительная скорость человека.
m g |
|
m g |
A |
B |
|
1 |
, |
2 |
, |
R , |
R – внешние силы |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
mz (Fk(e) )= 0 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
Kz0 = Kz = const =0 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
210 |
