Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
Количество движения системы в ее движении относительно центра масс равно нулю.
N |
d |
N |
0 |
|
|
|
|||
mkvkr = |
|
mk k = 0 |
(8) |
|
|
||||
k =1 |
dt k =1 |
|
|
|
равенство (7) принимает вид
KO = KCr + rC MvC = KCr + mO (Q) |
(9) |
|
где |
N |
|
KCr |
= k mkvkr |
(10) |
k =1
относительный кинетический момент относительно
центра масс C. |
141 |
|
Главный момент количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равен геометрической сумме главного момента количеств движения системы относительно центра масс и
момента главного вектора количеств движений
Q
относительно центра О в предположении, что он приложен в центре масс системы.
142
3.24. Теорема о моменте количества движения материальной точки
Дифференциальное уравнение движения точки
|
d 2r |
= F |
|
m |
dv |
= F |
m dt2 |
или |
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (mv ) = F dt
(1)
(2)
143
Умножим теперь обе части равенства (2) векторно слева на радиус-вектор r
d (mv )
|
|
= r F |
(3) |
|
r dt |
||||
|
||||
Учтем, что
0
d |
|
dr |
mv + r |
d(mv) |
|
dt |
(r mv) = dt |
dt |
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
144
В результате: |
d |
(r mv) = r F |
(5) |
dt |
|||
|
|
В проекциях на неподвижные декартовы оси координат имеем
dkdtx = mx (F )
dky |
(F ) |
|
|||
|
|
|
= my |
(6) |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dkz |
= m (F ) |
|
||
|
|
|
|||
|
dt |
|
z |
|
145 |
|
|
|
|
||
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра (или относительно неподвижной оси) равна моменту равнодействующей всех действующих на точку сил относительно того же центра (или относительно той же оси).
146
Движение точки массой m под действием центральной
|
F |
|
силы |
(линия действия проходит через одну и ту же |
|
неподвижную точку О). |
|
|
mv |
v |
= mO (mv ) = |
|
kO |
|
|
|
(7) |
F
= r mv = const
О
Вектор момента количества движения материальной точки относительно центра силы O постоянен и по величине и по направлению. Следовательно:
1.Траектория точки, движущейся под действием центральной силы, плоская кривая, плоскость которой
проходит через центр силы. |
147 |
|
2. r v = const (так как |
r mv = const) |
|
Момент вектора скорости v |
относительно точки О |
|
остается постоянным: |
|
|
|
mO (v) |
=vh = const |
, - площадь ометаемая радиус-
вектором |
за время t. |
148 |
|
|
|
1 |
(r r ) |
(8) |
2 |
|||
|
|
|
Секторная скорость:
v |
= lim |
|
= |
d |
= |
1 |
(r v) = |
1 |
m (v) |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
dt |
2 |
|
||||||||
|
t→0 |
|
|
|
2 O |
|
|||||
Сравнивая формулы (9) и (7), легко заметить, что
kO = r mv = 2mv = const |
(10) |
149
При движении материальной точки под действием центральной силы секторная скорость точки постоянна, т.е. радиус-вектор точки описывает равные площади в любые одинаковые промежутки времени. Этот результат называется законом площадей (второй закон Кеплера )
Закон установил Кеплер на основе многолетних исследований Тихо Браге. Опубликован в 1609 году в книге «Комментарии о движении Марса».
150