Динамика точки и системы / Теоретическая механика
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»
Т.К.Гадельшин, Г.И.Норицина, В.К.Петров, Х.Х.Азметов Под редакцией В.С.Бондаря
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
РАЗДЕЛЫ «СТАТИКА», «КИНЕМАТИКА», «ДИНАМИКА»
учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения по специальностям:
280202.65; 200503.65; 220301.65; 140607.62; 150401.65
Одобрено методической комиссией по естественно-научным и математическим дисциплинам
МОСКВА 2011
2
Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО 2000 г. для специальностей:
280202.65; 200503.65; 220301.65; 140607.62; 150401.65.
на основе рабочей программы дисциплины «Теоретическая механика».
Рецензенты: профессор кафедры «Теоретическая механика» МГТУ «МАМИ» Л.Г.Сухомлинов
профессор кафедры «Теоретическая механика» МГТУ «МАМИ» Ю.М.Темис
Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая механика».
Теоретическая механика. Разделы «Статика», «Кинематика», «Динамика». : учебно-методическое пособие. / Т.К.Гадельшин, Г.И.Норицина, В.К.Петров, Х.Х.Азметов, под редакцией д.ф.-м.н., проф. Бондаря В.С. –
М.: МГТУ «МАМИ», 2011. – 114 с.
В учебно-методическом пособии приведены общие указания для студентов заочной формы обучения, программа курса «Теоретическая механика» (разделы «Статика», «Кинематика», «Динамика»), порядок изучения курса, вопросы для самопроверки, контрольные задания в виде расчетно-графических работ, краткий обзор курса «Теоретическая механика», а также варианты расчетно-графических работ и порядок их оформления.
©Т.К.Гадельшин, Г.И.Норицина, В.К.Петров, Х.Х.Азметов, 2011
©МГТУ «МАМИ», 2011
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическая механика, как одна из важнейших физикоматематических наук, играет важную роль в подготовке инженеров любых специальностей.
На основных законах теоретической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, такие, как сопротивление материалов, строительная механика, гидравлика, теория механизмов и машин, детали машин и др.
Вразличных курсах по машиностроительным, технологическим и другим специальностям широко используются положения курса теоретической механики.
На основе теорем и принципов теоретической механики решаются многие инженерные задачи, и осуществляется проектирование новых машин, конструкций и сооружений.
Чтобы хорошо усвоить курс теоретической механики, нужно не только глубоко изучить его теоретический материал, но и получить твердые навыки в решении задач. Для этого необходимо самостоятельно решить большое количество задач по всем разделам курса и выполнить ряд специальных расчетно-графических заданий.
Вданном учебно-методическом пособии по всем разделам Теоретической механики приведены: программы, краткий теоретический обзор, вопросы для самопроверки, задания на расчетно-графические работы и указания по их выполнению.
4
ПРОГРАММА КУРСА "ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА"
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ
Механическое движение как одна из форм движения материи. Предмет механики. Теоретическая механика и ее место среди естественных и технических наук. Механика как теоретическая база ряда областей современной техники. Объективный характер законов механики. Основные исторические этапы развития механики.
РАЗДЕЛ «СТАТИКА»
Основные понятия и аксиомы статики
Введение в статику. Предмет статики. Основные понятия статики: абсолютно твердое тело, материальная точка, сила, эквивалентные и уравновешенные системы сил, равнодействующая. Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Основные виды связей и их реакции.
Система сходящихся сил
Геометрический и аналитический способы сложения сил. Сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил. Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме. Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил. Теорема о равновесии трех непараллельных сил.
Теория пар сил
Момент силы относительно точки на плоскости. Момент силы относительно центра (точки) как вектор. Понятие о паре сил как о векторе. Теоремы об эквивалентности пар. Сложение пар сил, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия системы пар сил.
Приведение произвольной системы сил к данному центру
Теорема о приведении произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.
5
Система сил, произвольно расположенных на плоскости
Алгебраическая величина момента силы. Вычисление главного вектора и главного момента плоской системы сил. Частные случаи приведения плоской системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил; различные виды систем условий равновесия. Равновесие плоской системы параллельных сил. (Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки; примеры распределенных нагрузок; реакция жесткой заделки). Равновесие систем тел. Статически определимые и статически неопределимые системы. Равновесие при наличии сил трения. Угол и конус трения. Область равновесия. Трение качения.
Произвольная система сил в пространстве
Момент силы относительно оси; зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси, проходящей через этот центр. Формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Вычисление главного вектора и главного момента произвольной системы сил. (Зависимость между главными моментами системы относительно двух произвольно выбранных центров. Инварианты системы сил.) Частные случаи приведения произвольной системы сил; динамический винт. Теорема о моменте равнодействующей. Аналитические условия равновесия системы сил, произвольно расположенных в пространстве; случай параллельных сил.
Центр параллельных сил и центр тяжести
Приведение системы параллельных сил к равнодействующей. Центр параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра параллельных сил. Центр тяжести тела, объема, площади и линии. Статический момент площади плоской фигуры относительно оси. Способы определения положения центров тяжести тел.
РАЗДЕЛ «КИНЕМАТИКА»
Введение в кинематику
Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Система отчета. Задачи кинематики.
6
Кинематика точки
Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная радиуса-вектора по времени. Годограф скорости. Ускорение точки как производная вектора скорости по времени.
Координатный способ задания движения точки (в декартовых координатах). Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.
Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на оси естественного трехгранника; касательное и нормальное ускорения точки.
Кинематика твердого тела
Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений.
Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнение движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения фигуры от выбора полюса. Определение скорости любой точки фигуры как геометрической суммы скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры. Мгновенный центр скоростей. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Определение ускорения любой точки фигуры как геометрической суммы ускорения полюса и ускорения этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. Понятие о мгновенном центре ускорений.
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Углы Эйлера. Уравнения сферического движения. Теорема Даламбера-Эйлера. Понятие мгновенной оси вращения. Определение скоростей и ускорений точек тела при сферическом вращении. Общий случай движения свободного твердого тела.
7
Сложное движение точки и твердого тела
Абсолютное и относительное движение точки; и переносное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Модуль и направление кориолисова ускорения. Случай поступательного переносного движения.
Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся и параллельных осей. Пара мгновенных вращений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.
РАЗДЕЛ «ДИНАМИКА»
Введение в динамику
Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Законы механики Галилея-Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.
Динамика точки
Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения свободной и несвободной материальной точек. Две основные задачи динамики для материальной точки. Решение первой задачи динамики.
Вторая задача динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки в простейших случаях. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям. Свободные колебания материальной точки без сопротивления и с сопротивлением пропорциональном скорости. Вынужденные колебания.
Несвободное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения движения точки по заданной гладкой неподвижной кривой. Определение закона движения и реакции связи. Дифференциальные уравнения относительного движения. Переносная и кориолисова силы инерции.
Введение в динамику механической системы
Механическая система. Масса системы. Центр масс системы и его координаты. Классификация сил, действующих на механическую систему:
8
силы внутренние и внешние, задаваемые силы и реакции связей. Свойства внутренних сил.
Моменты инерции системы и твердого тела относительно плоскости, оси и полюса. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Примеры вычисления моментов инерции тел в простейших случаях.
Общие теоремы динамики
Теорема о движении центра масс
Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения масс.
Теорема об изменении количества движения
Количество движения материальной точки. Импульс силы и его проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Количество движения механической системы и его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической системы.
Теорема об изменении момента количества движения
Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. Понятие о секторной скорости. Закон площадей.
Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.
Теорема об изменении кинетической энергии
Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа си-
9
лы. Работа силы на конечном перемещении. Мощность. Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Кинетическая энергия механической системы. Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
Динамика твердого тела
Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. (Опытное определение моментов инерции тел). Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Принцип Даламбера
Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Определение динамических реакций при несвободном движении материальной точки и системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру: главный вектор и главный момент сил инерции. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела. (Понятие о статической и динамической балансировках).
Элементы аналитической механики
Связи и их уравнения. Классификация связей: голономные и неголономные, стационарные и нестационарные, неосвобождающие и освобождающие связи. Возможные и виртуальные перемещения системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи.
Принцип возможных перемещений. Применение принципа возможных перемещений и определение реакций связей в простейших механизмах. Общее уравнение динамики.
Уравнения Лагранжа
Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их
10
вычисление. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода.
Теория удара
Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ КУРСА
СТАТИКА
Изучение теории
Тема 1. Введение. Теоретическая механика и ее место среди естественных и технических наук. Роль теоретической механики в формировании материалистического мировоззрения. Объективный характер законов механики. Основные исторические этапы развития механики.
Тема 2. Основные понятия статики. Основные понятия и аксиомы статики. Связи и реакции связей. Система сходящихся сил [1, §1-7].
Тема 3. Теория пар сил. Момент силы относительно центра и относительно оси. Пара сил. Момент пары сил. Теорема об эквивалентности пар. Сложение пар сил, произвольно расположенных в пространстве. Условие равновесия пар сил [1, §8-10].
Тема 4. Произвольная система сил.
1.Приведение силы к данному центру, присоединенная пара сил. (Метод Пуансо). Теорема о приведении произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил. Вычисление главного вектора и главного момента системы сил.
2.Случаи приведения системы сил к паре, к равнодействующей, к динаме. Теорема о моменте равнодействующей.
3.Аналитические условия равновесия системы сил, произвольно расположенных в пространстве. Случаи параллельных и сходящихся сил. Плоская система сил [1, §11-21]
Тема 5. Сила трения качения и скольжения [1, §23-27].
Тема 6. Центр параллельных сил и центр тяжести [1, §31-35].