Динамика точки и системы / Теоретическая механика

21

мы?

60.Какое перемещение системы называется возможным?

61.Какие связи называются идеальными?

62.В чем состоит принцип возможных перемещений?

63.Что называется обобщенной силой?

64.Каково аналитическое выражение обобщенной силы?

65.Чему равна обобщенная сила в случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, если обобщенной координатой является угол поворота этого тела?

66.Как пишется общее уравнение динамики системы?

67.Как пишутся в общем виде дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лангранжа)?

68.Что называется обобщенной скоростью?

69.Какой вид имеет уравнение Лагранжа, соответствующее обобщенной координате q1, если эта координата не входит в выражение ни ки-

нетической, ни потенциальной энергии системы?

70.В чем состоит характерная особенность явления удара?

71.Каково перемещение материальной точки за время действия на нее ударной силы?

72. Материальная точка массы m = 2кг движется со скоростью v =1м/ сек . В результате действия на эту точку ударной силы ее скорость становится равной u = 5 м / сек , причем вектор v составляет с векторов u

угол в 60o . Какова величина ударного импульса?

73.В каком случае при действии на материальную точку ударной силы момент количества движения этой точки относительно данной оси остается неизменным?

74.Что называется коэффициентом восстановления?

75.Как можно из опыта найти коэффициент восстановления?

76. Шарик массой m = 0,01кг , движущийся со скоростью, равной 2 м / сек , ударяется о неподвижную поверхность. Чему равна величина скорости, с которой шарик отскочит от этой поверхности, если удар прямой вполне упругий? Какова в этом случае величина ударного импульса?

77.В каком случае при прямом ударе двух шаров эти шары после удара остановятся?

78.В каком случае при прямом ударе двух шаров эти шары после удара обмениваются скоростями?

22

79. Чему равно изменение угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, при действии на это тело ударной силы?

ЛИТЕРАТУРА

1.Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1974 и последующие издания.

2.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Физматгиз, 1973 и последующие издания.

3.Бать К.И. , Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. - М.: Физматгиз, 1975, ч 1 и 2 и последующие издания.

4.Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1970, Т.1 и последующие издания.

5.Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1983 и последующие издания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ В ВИДЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Содержание заданий, выбор вариантов, порядок выполнения работ, пояснения к тексту задач.

В рамках курса «Теоретическая механика» студенты должны выполнить десять контрольных заданий в виде расчетно-графических работ. Кодовые обозначения заданий едины для студентов всех специальностей. В данном учебно-методическом пособии приведены только те задания, которые актуальны для данных специальностей. Задания, обозначенные литерой «С» - по статике, «К» - по кинематике, «Д» - по динамике.

Номер варианта определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки в соответствии с таблицей А. Номер варианта находится на пересечении строки, соответствующей предпоследней цифре номера зачетной книжки, и столбца, соответствующего последней цифре номера зачетной книжки.

Порядок оформления работ подробно описан в конце учебнометодического пособия.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут, и будут возвращаться для доработки.

К работе, представляемой на повторную проверку, должна обязательно прилагаться незачтенная работа.

На экзамене необходимо представить зачтенные по данному разделу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погрешности долж-

23

ны быть исправлены.

Таблица А.

Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к Вашему варианту, т. е. номеру Вашего рисунка или Вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Пример выполнения задания". Там же могут даваться некоторые пояснения, касающиеся построения чертежа для отдельных вариантов задачи.

24

КРАТКИЙ ОБЗОР КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика – это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве с течением времени.

Курс теоретической механики делится на три раздела: статику, кинематику и динамику.

СТАТИКА

Статикой называется раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

1. Основные понятия.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается неизменным в процессе механического явления (покоя или движения). То есть это твердое тело, которое не деформируется.

Одной из характеристик твёрдого тела является масса. Масса измеряется в системе Си в килограммах (кг).

Материальная точка – это тело, имеющее массу, размерами которого можно пренебречь при решении задач механики. Пренебрегать размерами тела не всегда допустимо.

Сила – это количественная мера механического взаимодействия между телами. Все механические явления происходят под действием сил. Реально силы являются распределенными. Если сила действует на точки ка- кой-то поверхности твердого тела, то говорят, что она распределена по поверхности. Сила может быть распределена по объему тела, то есть действовать в каждой точке этого тела. Например, сила тяжести возникает в результате взаимодействия всех точек тела с гравитационным полем Земли.

Сосредоточенная сила - это сила, приложенная в одной точке. Со-

25

средоточенная сила описывается математически, как векторная величина. На рис. 1.1 сила F приложена в точке A. Сосредоточенная сила определяется модулем силы (это положительная скалярная величина, которая измеряется в системе Си в ньютонах (Н)), направлением и точкой приложения.

Пример распределенных сил и их замена сосредоточенными силами. При решении практических задач часто встречаются силы, распреде-

ленные по длине балки (стержня). Такие силы определяются плотностью распределения, которую будем обозначать q . Плотность распределения характеризует силу, действующую на единицу длины, и измеряется в ньютонах деленных на метр (Н/м).

На рис. 1.2 показана сила с постоянной плотностью распределения в каждой точке прямолинейного отрезка AB. Такую силу будем заменять сосредоточенной силой Q так, что Q = q × AB и AD = DB (рис. 1.3).

На рис. 1.3 показана распределенная сила с линейной плотностью распределения. Ее будем заменять сосредоточенной силой Q так, что

2. Связи и их реакции.

Взаимодействие тел происходит в соответствии с третьим законом Ньютона. Силы взаимодействия равны по абсолютной величине, имеют одну линию действия и направлены противоположно. Важно, что эти силы приложены к разным телам и не могут друг друга уравновесить. При решении задачи механики рассматривается состояние равновесия или дви-

26

жения какого-то определенного тела. В этом случае тела, с которыми оно взаимодействует, называют связями. Они ограничивают движение рассматриваемого твердого тела. Сила взаимодействия, которая действует со стороны связи на рассматриваемое твердое тело, называется реакцией связи. Таким образом, если отбрасывается связь, то для того, чтобы механическое состояние твердого тела не изменилось, нужно добавить реакцию связи. Отбросив все связи, и добавив вместо них все реакции связей, рассматриваемое твердое тело отделяется от других тел, с которыми оно взаимодействует, и можно применять методы механики для изучения его механического состояния. Чаще всего реакции являются неизвестными и, решая задачи механики, их нужно определить.

Активные силы - это известные или заданные силы, которые действуют на рассматриваемое твердое тело (пример: сила тяжести).

Реакции связей возникают, как ответ на действие активных сил. Пример: взаимодействие колеса с дорогой. Сила тяги (трения) веду-

щих колес возникает при взаимодействии колес с дорогой, как ответная реакция на приложенный к ним момент вращения со стороны двигателя через трансмиссию.

3. Система сил, действующая на твердое тело.

Множество сил, состоящих из реакций и активных сил, называется системой сил, приложенной к изучаемому твердому телу.

Систему сил обозначают так :

(F1, F2,...,Fm; R1, R2,...,Rn )

Под действием этих сил твердое тело может находиться в определенном механическом состоянии: равновесии или движении.

Чтобы определить механическое состояние, должна быть задана система отсчета, по отношению к которой это состояние определяется. Чаще всего рассматриваются инерциальные системы отсчета, то есть те, которые движутся без ускорения. Существование таких систем отсчета обосновывает первый закон Ньютона. Для таких систем под равновесием материальной точки понимается состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Если система сил расположена в одной плоскости, то она называется плоской, если нет, то пространственной. Если под действием системы сил твердое тело находится в равновесии по отношению к выбранной системе

27

отсчета, то система сил называется уравновешенной или эквивалентной нулю (рис. 1.6).

Рис. 1.6

В статике излагается общее учение о силах и системах сил, а также изучается равновесие материальных тел. В частности, с помощью математических уравнений определяется, когда система сил будет уравновешенной.

4. Аксиомы о системах сил.

Аксиома 1. Система из двух сил будет уравновешенной, если эти две силы имеют одну линию действия, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны (рис. 1.7).

F1 = −F2 , (F1;F2 )~ 0

Рис. 1.7

Аксиома 2. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к этой системе добавить или от нее отбросить уравновешенную систему сил.

Следствие. Силу можно переносить вдоль линии ее действия, не изменяя ее воздействия на твердое тело.

Аксиома 3. (Правило параллелограмма.) Две силы, приложенные в одной точке, можно заменить одной силой, приложенной в той же точке и

29

и конца вектора силы. Проекция считается положительной, если движение от проекции начала вектора к проекции конца вектора происходит в положительном направлении отсчета оси координат. Для примера на рис. 1.9

Fx = -F cosα , Fy = F sin α

7.Проекция силы на оси координат в пространстве.

Проекции силы на оси координат в пространстве определяются методом двойного проецирования. Сначала сила F проецируется на плоскость xOy и на ось Oz. Затем сила Fxy проецируется на оси Ox и Oy (рис. 1.10).

Рис. 1.10

8. Момент силы относительно точки на плоскости (скалярный момент силы).

Рис. 1.11