Динамика точки и системы / ДИНАМИКА
.pdf
a =v = r = d 2r dt2
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
m |
d 2 r |
= F (r , r , t) |
(2) |
dt 2 |
|||
|
|
|
11
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на декартовы оси координат.
mx = Fx |
(x, y, z, x, y, z,t); |
|
|
|
|
my = Fy |
(x, y, z, x, y, z,t); |
(3) |
|
|
|
mz = Fz (x, y, z, x, y, z,t). |
|
|
12
Дифференциальные уравнения криволинейного движения свободной материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника:
m |
d2s |
= F ; |
m |
v2 |
= Fn ; Fb |
= 0, |
(4) |
|
dt2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
где — радиус кривизны в текущей точке траектории,
v = v , v = s.
13
3.3. Математическая постановка и решение двух основных задач динамики точки
Первая основная задача. Зная закон движения материальной точки массы m, найти равнодействующую сил, действующих на точку в этом движении в каждый данный момент.
Дано : m
x = x(t); y = y(t); |
z = z(t). |
(1) |
Найти силу F , действующую на эту точку.
14
Решение первой задачи динамики точки сводится к двукратному дифференцированию закона движения точки.
Fx = mx(t),
F = my(t), |
(2) |
y |
|
Fz = mz(t).
15
Пример 3.1. Дано m
x = a(ekt + e−kt ); y = a(ekt −e−kt ),
где a и k = const Определить силу.
Решение. Точка движется по равносторонней
гиперболе: |
x2 – y2 = 4a2. Здесь x |
0 |
= 2a, |
y =0, |
|
|
|
0 |
|
а v0x = 0 и v0y = 2ak. |
|
|
|
|
Проекции силы, действующей на точку: |
|
|
||
F =mak2 |
(ekt +e−kt ); F =mak2(ekt −e−kt ). |
|||
x |
y |
|
|
|
или
2 |
x; |
Fy |
2 |
y. |
|
Fx =mk |
=mk |
16 |
|||
|
|
|
|
|
Вторая основная задача динамики. По заданной силе F , действующей на материальную точку массы m, определить закон движения точки.
Дано: m, F = F (r, r,t )
Найти: |
r (t) |
|
|
Дифференциальные уравнения движения точки: |
|||
|
mx = Fx |
(x, y, z, x, y, z,t); |
|
|
|
|
|
|
my = Fy |
(x, y, z, x, y, z,t); |
(3) |
|
|
|
|
|
mz = Fz (x, y, z, x, y, z,t). |
17 |
|
Решение задачи сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений (3).
Общее решение системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка будет содержать шесть произвольных постоянных
C1, C2, C3, C4, C5, C6.
x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), |
(4) |
y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), |
z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6).
18
Проекции скорости точки на координатные оси:
v x = x = x (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), |
|
vy = y = y (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6), |
(5) |
vz = z = z (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6).
Задание силы выделяет целый класс движений, характеризующийся шестью произвольными постоянными.
19
Для определения произвольных постоянных в конкретной задаче, задают начальные условия: координаты движущейся точки x0, у0, z0 и проекции ее скорости v0x,v0y ,v0z в определенный момент времени (t = 0)
|
x = x , |
|
y = y , |
z = z , |
|
|
|
|
|||
при t=0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
x =v0 x |
|
y =v0 y , |
z =v0 z |
(6) |
|
|
, |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
20