Последовательность действий при решении задач :
1)определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты;
2)вычислить кинетическую энергию системы через обобщенные координаты qi и обобщенные скорости qi ;
3)составить выражения для работы активных сил (и сил трения), на возможном перемещении и определить обобщенные силы;
4)вычислить производные в левой части уравнений Лагранжа;
5)составить уравнения Лагранжа;
6)решить дифференциальные уравнения.
Лекция 14
3.57. Уравнения Лагранжа второго рода
Рассмотрим голономную механическую систему, состоящую из N точек на которую наложены идеальные и удерживающие связи.
N |
|
|
d |
2 |
rk |
|
|
|
|
Fk |
− mk |
|
|
rk |
= 0 |
|
|
|
2 |
(1) |
k =1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
Допустим, что рассматриваемая система имеет n степеней свободы, тогда ее положение определяется n обобщенными координатами q1, q2, …, qn,
rk = rk(q1, q2, …, qn,, t). |
(2) |
Преобразуем тождество (6) с учетом тождеств (а) и (б), в результате
|
dr |
|
r |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
= |
|
|
|
|
rk |
|
|
|
rk |
|
. |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt qi |
|
|
|
rk |
|
|
|
|
− rk |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
qi |
|
|
qi |
|
|
Подставим этот результат под знак суммы равенства (5) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
N |
|
|
d |
|
rk N |
|
|
|
rk |
|
(8) |
Qi − mk |
|
|
|
rk |
|
|
+ mk rk |
|
|
|
qi = 0 |
|
|
|
qi |
|
|
|
|
i=1 |
|
k =1 |
|
dt |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее замечаем
N |
rk |
|
|
|
N |
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
mk rk |
|
|
mk rk |
|
= q |
|
|
= q |
355 |
q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i k =1 |
|
|
|
i |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
При решении задач аналитической динамики с помощью уравнений Лагранжа второго рода следует соблюдать следующую последовательность действий:
1)определить число степеней свободы рассматриваемой механической системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты;
2)вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном
движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты qi и обобщенные скорости
3)изобразить действующие на систему активные силы (и силы трения), составить выражения для работы этих сил на возможном перемещении и из этого выражения определить обобщенные силы соответствующие выбранным обобщенным координатам;
4)вычислить производные, входящие в левую часть уравнений Лагранжа;
5)подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа;
6)найти решения получившихся дифференциальных уравнений,
соответствующие заданным начальным условиям.
Лекция 15 3.58. Основы теории малых колебаний
около положения устойчивого равновесия
Механическая система называется колебательной, если все или некоторые обобщенные координаты, определяющие положение системы, изменяются не монотонно, а претерпевают многократное их возрастание и убывание.
Положение системы называется положением равновесия, если в начальный момент времени система была приведена в это положение при нулевых скоростях и все время остается в этом положении.
