Добавил:
ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
01.06.2021
Размер:
3.03 Mб
Скачать

Следовательно:

N

= 0

 

(Fk +Фk ) rk

(3)

 

 

k =1

Сила инерции:

Фk = −mk ak = −mk d 2rk

dt2

Общее уравнение динамики:

N

 

d 2rk

 

 

 

 

Fk

mk

 

 

rk

= 0

(4)

2

k =1

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

341

При любом движении механической системы с идеальными и удерживающими связями в каждый данный момент сумма возможных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

В аналитической форме:

N

 

d

2

xk

 

 

 

 

d

2

yk

 

 

 

 

d

2

zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fkx

mk

 

 

 

 

 

xk

+ Fky

mk

 

 

 

 

 

yk

+ Fkz

mk

 

 

 

 

 

zk

= 0

(5)

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

k=1

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* Силы трения можно включать в число активных сил.

342

3.57. Уравнения Лагранжа второго рода

Система с голономными, удерживающими и идеальными связями:

N

 

 

d 2rk

 

 

 

(1)

Fk

mk

 

 

 

rk

= 0

 

dt

2

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

Система имеет n степеней свободы (q1, q2, …, qn):

rk = rk (q1 , q2 , ..., qn , t )

(2)

343

 

n

r

 

 

rk

=

k

 

qi

q

 

 

i=1

 

 

 

i

 

 

Подставляем (3) в (1) и меняем местами порядок суммирования

n

N

rk

N

d 2rk rk

 

 

Fk

 

mk

 

 

 

 

 

qi = 0

qi

dt

2

 

 

i=1

k =1

k =1

 

 

qi

 

N

 

 

rk = Qi

 

2

rk

 

drk

 

Fk

 

 

 

d

=

 

 

 

 

 

2

 

k =1

 

 

qi

 

 

 

dt

 

 

 

dt

n

 

 

N

dr

 

 

r

 

 

 

Qi mk

k

 

 

 

k

qi

= 0

dt qi

i=1

 

 

k =1

 

 

 

(3)

(4)

(5)

344

n

 

N

dr

 

r

 

Qi

mk

k

 

k

qi

= 0

 

 

i=1

 

k =1

dt qi

 

Применим тождества:

 

 

 

drk

 

rk

 

d

 

 

 

=

rk

 

 

 

 

 

dt qi

dt

r qk

i

d rk rk dt qi

drk

=

rk

(а)

d

rk

 

=

drk

qi

qi

 

 

 

 

 

 

dt

qi

 

qi

 

 

 

(5)

(6)

(б)

345

Преобразуем тождество (6) с учетом тождеств (а) и (б), в результате

drk

 

rk

 

d

 

rk

 

 

 

=

rk

 

rk

dt qi

 

 

 

dt

qi

 

rk

 

 

 

(7)

 

qi

 

Подставим этот результат под знак суммы равенства (5)

n

N

d

 

r

 

N

r

 

= 0

 

Qi

mk

 

rk

k

 

+ mk rk

k

qi

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

k =1

dt

 

qi

 

k =1

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

346

Далее замечаем

N

d

 

r

 

 

d

 

 

N

m r 2

 

 

d

 

T

 

mk

 

rk

k

 

=

 

 

 

 

k k

 

=

 

 

 

 

 

qi

 

qi

 

 

qi

k =1

dt

 

 

 

dt

k =1

 

2

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

N

 

2

 

 

T

mk rk

 

rk =

 

mk rk

 

=

 

 

qi

k =1

 

qi

qi k =1

 

2

 

 

347

Тогда

n

 

d

 

T

 

+

T

= 0

 

Qi

 

 

 

 

 

qi

(9)

i=1

 

 

dt

 

qi

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения Лагранжа второго рода.

d T

dt q

i

 

 

T

 

 

 

 

= Qi

(10)

 

 

qi

 

 

 

 

(i = 1, 2, …, n).

348

Если силы, действующие на систему, потенциальные

Qi

= −

 

(i = 1, 2, …, n).

 

 

qi

d

 

T

T

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

(i = 1, 2, …, n).

dt

 

q

 

 

q

 

q

 

 

 

 

 

i

 

i

 

i

 

d

 

(T )

(T )

= 0

 

 

 

 

dt

q

q

 

 

 

 

 

i

 

i

 

349

Функция Лагранжа

L (qi , qi , t ) = T П

d

L

 

L

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

qi

dt

qi

 

 

(i = 1, 2, …, n).

(i = 1, 2, …, n).

350