Следовательно:
k =1
Сила инерции:
Фk = −mk ak = −mk d 2rk
dt2
Общее уравнение динамики:
N |
|
d 2rk |
|
|
|
|
Fk |
− mk |
|
|
rk |
= 0 |
(4) |
2 |
k =1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
При любом движении механической системы с идеальными и удерживающими связями в каждый данный момент сумма возможных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.
В аналитической форме:
N |
|
d |
2 |
xk |
|
|
|
|
d |
2 |
yk |
|
|
|
|
d |
2 |
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fkx |
−mk |
|
|
|
|
|
xk |
+ Fky |
−mk |
|
|
|
|
|
yk |
+ Fkz |
−mk |
|
|
|
|
|
zk |
= 0 |
(5) |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
k=1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Силы трения можно включать в число активных сил.
3.57. Уравнения Лагранжа второго рода
Система с голономными, удерживающими и идеальными связями:
N |
|
|
d 2rk |
|
|
|
(1) |
Fk |
− mk |
|
|
|
rk |
= 0 |
|
dt |
2 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
Система имеет n степеней свободы (q1, q2, …, qn):
rk = rk (q1 , q2 , ..., qn , t ) |
(2) |
Преобразуем тождество (6) с учетом тождеств (а) и (б), в результате
drk |
|
rk |
|
d |
|
rk |
|
|
|
= |
rk |
|
− rk |
dt qi |
|
|
|
dt |
qi |
|
Подставим этот результат под знак суммы равенства (5)
n |
N |
d |
|
r |
|
N |
r |
|
= 0 |
|
Qi |
− mk |
|
rk |
k |
|
+ mk rk |
k |
qi |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
k =1 |
dt |
|
qi |
|
k =1 |
qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
n |
|
− |
d |
|
T |
|
+ |
T |
= 0 |
|
Qi |
|
|
|
|
|
qi |
(9) |
i=1 |
|
|
dt |
|
qi |
|
|
qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Лагранжа второго рода.
Если силы, действующие на систему, потенциальные
Qi |
= − |
|
(i = 1, 2, …, n). |
|
|
qi |
d |
|
T |
− |
T |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
(i = 1, 2, …, n). |
dt |
|
q |
|
|
q |
|
q |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
d |
|
(T − ) |
− |
(T − ) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
dt |
q |
q |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|