q(t) = C1cos kt + C2 sin kt
Амплитудная форма решения
q(t) = A sin (kt + ).
A = 
C12 + C22
tg = C1
C2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
q |
2 |
+ |
q0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
q0k |
|
|
|
|
|
|
k |
= arctg |
- начальная фаза |
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
|
|
|
|
|
371 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Период свободных колебаний T - промежуток времени, в течение которого фаза колебаний изменяется на 2 , т.е. это наименьший промежуток времени, после которого движение повторяется.
[k (t + T ) + ] – [k t + ]= 2 .
Независимость периода и частоты колебаний от начальных условий называется
изохронностью колебаний.
Лекция 16 3.61. Линейное сопротивление и диссипативная функция
Пусть на точки системы, когда она выведена из положения устойчивого равновесия, кроме потенциальных сил, начинают действовать еще и силы вязкого сопротивления Rk, которые линейно зависят от скоростей точек системы, т.е.
|
|
Rk |
= − kvk |
= − k rk |
|
|
(1) |
где k – постоянный коэффициент сопротивления |
|
|
|
|
|
N |
|
|
rk |
|
N |
|
rk |
|
Q |
Ф |
= Rk |
= − k rk |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
q |
|
k =1 |
|
q |
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
= |
|
k |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
qi |
|
qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
N |
rk |
|
|
N |
k rk2 |
Q |
= − k rk |
|
= − |
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
q |
|
q k=1 |
2 |
Введем функцию Ф, называемую диссипативной функцией Релея
N |
r2 |
N |
v2 |
|
Ф = |
k k |
= |
k k |
(5) |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
2 |
k=1 |
2 |
|
По структуре диссипативная функция Ф аналогична кинетической энергии системы, только вместо массы точек в неё входят коэффициенты сопротивления k.
Рассмотрим механическую систему, на которую действуют только потенциальные и диссипативные силы, и запишем для этой системы теорему о кинетической энергии в следующем виде
|
dT |
N |
dAП |
N |
dAФ |
|
|
|
= |
k |
+ |
k |
(11) |
|
|
|
|
|
dt |
k=1 |
dt |
k=1 |
dt |
|
|
N |
dAП |
= Q |
П |
dq |
= − |
П |
q = − |
dП |
|
k |
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
k =1 |
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
N |
dAkФ |
Ф dq |
|
Ф |
2 |
|
|
|
|
=Q |
|
|
= − |
|
q = −B(q)q |
= −2Ф |
(13) |
k=1 |
dt |
|
dt |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (12) и (13) в (11) имеем
|
|
|
|
dT |
= − |
dП |
− 2Ф |
|
1 |
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
Ф = |
B(q)q 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d(T + П) |
|
|
|
|
|
= −2Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
при отсутствии внешнего возмущения, удвоенное значение диссипативной функции равно скорости убывания полной механической энергии системы.
Для консервативной системы (Ф = 0) из (15) получаем хорошо известное соотношение Т +
Подставим эти значения производных в уравнение Лагранжа (1)
q + 2nq + k2q = 0 |
где k2 = c/a, 2n = b/a. |
(4) |
Постоянная k – круговая частота собственных колебаний системы без учета сил сопротивления, а постоянная n = b/2a называется коэффициентом затухания. Размерность n такая же, как и круговой частоты.
Характеристическое уравнение (5) имеет два корня
