Добавил:
ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.06.2021
Размер:
3.03 Mб
Скачать

Устойчивость – свойство, когда все величины, определяющие её состояние, при малых возмущениях остаются вблизи тех их значений, которые характеризуют невозмущенное состояние системы.

361

Теорема Лагранжа – Дирихле.

Если в некотором положении консервативной механической системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия системы.

Достаточные условия устойчивого равновесия консервативной механической системы с одной степенью свободы (при q = 0):

 

 

= 0

,

 

2

 

0

(1)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

q

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

362

Пример 3.20.

Астатический обращенный маятник. m – масса маятника

l – длина маятника

ОА= h

с – жесткость пружин

q ≡ φ – обобщенная координата

( ) = 1 + 2.

1 = – mg y= – mgl (1 – cos ).

= 2

c( xA )2

= с(h )2 .

2

2

363

 

Тогда

( ) = 12 (2ch mgl) 2

Положение равновесия определяется из условия

= (2ch mgl) = 0

= 0

Условие устойчивости:

2

= 2ch mgl 0

c

mgl

2

2h

364

3.59.Кинетическая и потенциальная энергия системы с одной степенью свободы

при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия

Кинетическая энергия системы

 

1

N

1

N

T =

mkvk2 =

mk rk2

 

 

 

2 k =1

2 k =1

rk = rk (q)

r =

dr

=

dr

q

 

 

 

k

dt

 

dq

 

 

 

365

 

1

N

dr 2

 

1

 

T =

 

mk

 

 

q2

=

 

A(q)q2

 

 

 

 

2 k =1

dq

 

 

2

 

 

 

A

 

2 A

 

q2

A(q) = A0

+

 

q +

 

2

 

 

 

+...

 

 

 

 

 

q 0

 

q

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T= 12 aq2

а= const – обобщенный коэффициент инерции

366

Потенциальная энергия

 

 

П

 

2 П

 

q2

 

3 П

 

q3

П(q) = П0

+

 

q +

 

2

 

 

 

+

 

3

 

 

 

+...

q

 

2

q

 

6

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П(q) = 1 2 П q2

2 q2 0

 

2 П

с = const – обобщенный

с =

q

2

 

коэффициент жесткости

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

П(q) =

1

сq2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

367

 

 

 

 

 

 

3.60. Свободные колебания механической

системы с одной степенью свободы

Уравнение Лагранжа

d

T

T

= −

 

 

 

 

q

q

 

dt

q

 

 

T =

1

aq2

П(q) =

1

 

сq2

 

 

 

 

2

 

2

 

T

= 0,

T

= aq,

d T

= aq,

П

= сq.

 

 

 

 

 

q

q

dt q

q

 

 

 

 

368

q + k 2q = 0

где

k2 = c/a;

 

 

 

 

k = c

a

- частота колебаний

 

 

 

Характеристическое уравнение

2 + k 2 = 0

Корни чисто мнимые 1,2 = ki.

369

Решение:

q(t) = C1cos kt + C2 sin kt.

Произвольные постоянные C1 и C2 определим из начальных условий:

при t = 0 q = q0 и q = q0

C = q ;

C

 

 

=

q0

 

2

 

1

0

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

q(t) = q

cos kt +

q0

sin kt

0

k

370

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.