Кузнецов_математика

Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

12x − x + 7x

3.7. 24x1 − 2x2 +14x3 + 22x4 − 2x5 = 0,

.pdf

Скачиваний:

414

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2725 26 27 > Следующая >>>

14.29.	M (−1,	0,	1), 2x + 4y − 3 = 0.
14.30. M (3,		3,	3), 8x + 6y + 8z − 25 = 0.
14.31. M (−2,		0,	3), 2x − 2y +10z +1= 0.

X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Теоретические вопросы

1.Линейное пространство. Базис. Координаты.

2.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3.Линейный оператор. Матрица оператора.

4.Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5.Действия над линейными операторами.

6.Собственные векторы и собственные значения.

7.Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

8.Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9.Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Теоретические упражнения

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L пространства R3 , если L задано уравнением x1 − 2x2 + x3 = 0.

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное

подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3.	Найти координаты многочлена		P	(x) = a		+ a x + a	2	x2 + a x3	в базисе
			3		0	1	2	3
1, (x −1), (x −1)2 , (x −1)3 .
4.	Линейный оператор A в базисе (e1,		e2 ,		e3 ) имеет матрицу
	−1	0		1

	2	1	−2
		1		2
	1	1		2

Найти матрицу этого же оператора в базисе (e1, e1+ e2 , e1+ e2 + e3 ).

5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6. Пусть x и y — собственные векторы оператора		A, относящиеся к различным
собственным значениям. Доказать, что вектор	z =αx + βy, α ≠ 0, β ≠ 0 не является
собственным вектором оператора A.
7. Пусть x = {x1, x2 , x3}, Ax = {α1x1,	α2 x2 ,	α3x3} . Будет ли оператор A

самосопряженным?

8. Доказать, что если матрица оператора A — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).

Расчетные задания Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором

определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число α ?

1.1.Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;

сумма a + b, произведение α a.

1.2.Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a + b, произведение α a.

1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из

осей;

сумма a + b, произведение α a.

1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма a + b, произведение α a.

1.5.Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма a + b, произведение α a .

1.6.Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x,

y, z;

сумма a + b, произведение α a.

1.7.Множество всех функций a = f (t), b = g(t), принимающих положительные

значения;

сумма f (t) g(t), произведение f α (t).

1.8.Множество всех непрерывных функций a = f (t), b = g(t), заданных на

[0, 1];

сумма f (t) + g(t), произведение α f (t).

1.9. Множество всех четных функций a =

(

)

, b = g

(

)

, заданных на

[

−1,

]

;

сумма

f (t) g(t), произведение f α (t).

1.10.

Множество всех нечетных функций

a = f (t),

b = g(t), заданных

на

[

−1,

]

+1 ;

сумма f (t) + g(t), произведение α f (t).

1.11. Множество всех линейных функций a = f (x1, x2 ), b = g(x1, x2 );

сумма f (x1, x2 ) + g(x1, x2 ), произведение α f (x1, x2 ).

1.12.Множество всех многочленов третьей степени от переменной x; сумма a + b, произведение α a.

1.13.Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных x, y;

сумма a + b, произведение α a.
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел
a = {x1,		x2 ,	...,	xn},	b = {y1,	y2 ,	...,	yn};
сумма{x1 + y1,	x2 + y2 ,		..., xn + yn} , произведение {α x1,					α x2 , ..., α xn} .
1.15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел
a = {x1,		x2 ,	...,	xn},	b = {y1,	y2 ,	...,	yn};
сумма{x1 y1,	x2 y2 ,	...,	xn yn}	, произведение {α x1,			α x2 ,	..., α xn} .

1.16. Множество всех сходящихся последовательностей a = {un}, b = {υn} ;

сумма {un +υn} , произведение {αun} .

1.17.Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или

равной n;

сумма a + b, произведение α a.

1.18.Множество всех многочленов от одной переменной степени n;

сумма a + b, произведение α a.

α a.

1.19. Множество всех диагональных матриц

a =

aik

b =

bik

k =1,

...,

сумма

aik + bik

, произведение

αaik

1.20. Множество всех невырожденных матриц

a =

aik

b =

bik

k =1,

...,

сумма

aik

bik

, произведение

αaik

1.21. Множество всех квадратных матриц

a =

aik

b =

bik

k =1,

...,

сумма

aik + bik

, произведение

αaik

1.22. Множество всех диагональных матриц a =

aik

b =

bik

размера n n;

сумма

aik

bik

, произведение

αaik

1.23. Множество всех квадратных матриц

a =

aik

b =

bik

, i =1,

2, ..., m;

k =1,

2, ...,

сумма

aik + bik

, произведение

αaik

1.24. Множество всех симметричных матриц

a =

aik

(aik

= aki ),

b =

bik

(bik

= bki ),

i, k =1,

..., n;

сумма

aik + bik

, произведение

αaik

1.25.Множество всех целых чисел; сумма a + b, произведение [α a].

1.26.Множество всех действительных чисел; сумма a + b, произведение α a.

1.27.Множество всех положительных чисел;

сумма a b, произведение aα .

1.28. Множество всех отрицательных чисел; сумма − a b , произведение − aα .

1.29. Множество всех действительных чисел; сумма a b, произведение

1.30.Множество всех дифференцируемых функций a = f (t), b = g(t); сумма f (t) + g(t), произведение α f (t).

1.31.Множество всех дифференцируемых функций a = f (t), b = g(t); сумма f (t) g(t), произведение α f (t).

Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

2.1. a = {1,

6},

b = {1,

−1,

1},

c = {1,

3}.

2.2. sinx, cosx,

tgx на (−π 2, π 2).

2.3. a = {2,

−3,

1},

b = {3,

−1,

5},

c = {1,

−4,

3}.

2.4. 2, sinx,

sin2 x,

cos2 x на (−∞, +∞).

2.5. a = {5,

3},

b = {3,

2},

c = {8,

3}.

2.6. 1, x, sinx на (−∞, +∞).

2.7. a = {1,

1},

b = {0, 1,

1}, c = {0,

1}.

2.8. ex , e2x , e3x

на (−∞, +∞).

2.9. a = {1,

−1,

2},

b = {−1,

−1},

c = {2,

−1,

1}.

2.10. x, x2 ,

(1+ x)2

на (−∞, +∞).

2.11. a = {1,

3},

b = {4,

6},

c = {7, 8, 9}.

2.12. 1, x, x2 ,

(1+ x)2

на (−∞, +∞).

2.13. a = {1,

1},

b = {1,

3},

c = {1,

6}.

2.14. cosx,

sinx,

sin2x на (−π 2, π 2).

2.15. a = {3,

−5},

b = {8,

−2},

c = {2,

−1,

−8}.

2.16. ex , e−x , e2x на (−∞, +∞).

2.17. a = {3, 2, −4}, b = {4, 1, −2}, c = {5, 2, −3}.

2.18. 1+ x + x2 , 1+2x + x2 , 1+3x + x2 на (−∞, +∞).

2.19. a = {0, 1, 1}, b = {1, 0, 1}, c = {1, 1, 0}.

2.20. 1, ex , shx на (−∞, +∞).

2.21. a = {5,

−6, 1},

b = {3,

−5,

−2}, c = {2,

−1,

3}.

2.22. 1 x, x,

1 на (0, 1).

2.23. a = {7,

1, −3},

b = {2,

−4},

c = {3,

−3,

5}.

2.24. 1,

tgx,

ctgx на

(0, π 2).

2.25. a =

{1, 2,

3},

b = {6,

9}, c = {7,

9}.

2.26. x,

1+x,

(1+ x)2

на (−∞, +∞).

2.27. a =

{2,

0},

b = {−5,

3},

c = {3,

3}.

2.28. ex ,

xex ,

x2 ex

на (−∞, +∞).

2.29. a =

{2,

2},

b = {1,

−1, 0},

c = {0,

−1, −2}.

2.30. ex ,

shx,

chx на (−∞, +∞).

2.31. a = {−2,

5},

b = {4,

−3, 0},

c = {0,

−1, 10}.

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного

пространства решений системы.

3x + x − 8x + 2x + x = 0,

7x + 2x − x − 2x + 2x = 0,

3.1. 2x1 − 2x2 − 3x3 − 7x4 + 2x5

= 0,

3.2. x1

− 3x2 + x3 − x4 − x5

= 0,

+11x

−12x

+ 34x − 5x

= 0.

+ 5x

+ 2x

+ x

+ x = 0.

x + x +10x + x − x = 0,

6x − 9x + 21x − 3x −12x = 0,

3.3. 5x1 − x2 + 8x3 − 2x4 + 2x5 = 0,

3.4. −4x1 + 6x2 −14x3 + 2x4 + 8x5 = 0,

− 3x

−12x

− 4x

+ 4x

= 0.

−

+ 7x

− x

− 4x

= 0.

2x − x + 2x − x + x = 0,

5x − 2x + 3x − 4x − x = 0,

3.5. x1

+10x2 − 3x3 − 2x4 − x5 = 0,

3.6. x1

+ 4x2 − 3x3 + 2x4 − 5x5

= 0,

+19x

− 4x

− 5x

− x

= 0.

+ 2x

− 2x

− 6x

= 0.

2x − x + 3x − x − x = 0,
	1 2	3	4	5
3.9. x1	+ 5x2 − x3 + x4 + 2x5 = 0,
x	+16x	− 6x	+ 4x	+ 7x	= 0.
1	2	3	4	5

8x + x + x − x + 2x = 0,
		1	2		3			4	5
3.11. 3x1 − 3x2 − 2x3 + x4 − 3x5										= 0,
5x			+ 4x + 3x				− 2x		+ 5x			= 0.
		1		2		3		4	5
7x −14x + 3x − x + x = 0,
		1		2			3	4	5
3.13. x1		− 2x2 + x3 − 3x4 + 7x5 = 0,
5x			−10x		+ x		+ 5x		−13x			= 0.
		1		2	3			4		5
x + x + x − x − x = 0,
	1		2		3		4	5
3.15. 2x1 + x2				− 2x3 − x4 − 2x5 = 0,
x		+ 2x		+ 5x		− 2x − x = 0.
	1		2		3			4	5
x + 2x − 3x +10x − x = 0,
	1		2		3			4	5
3.17. x1 − 2x2 + 3x3 −10x4 + x5										= 0,
x		+ 6x		− 9x		+ 30x			− 3x			= 0.
	1		2		3			4	5
2x − 2x − 3x − 7x + 2x = 0,
		1		2		3		4		5
3.19. x1		+11x2 −12x3 + 34x4 − 5x5 = 0,
x		− 5x		+	2x	−		16x	+ 3x		= 0.
	1		2		3			4	5
x + 3x − 5x + 9x − x = 0,
	1		2		3			4	5
3.21. 2x1 − 2x2 − 3x3 − 7x4 + 2x5												= 0,
x		− 5x		+ 2x		−16x			+ 3x		= 0.
	1		2		3			4	5
3x + 2x − 2x − x + 4x = 0,
		1		2		3		4	5
3.23. 7x1 + 5x2 − 3x3 − 2x4 + x5										= 0,
x + x + x								− 7x = 0.
	1		2		3				5


x + 2x + x + 4x + x = 0,
1						2			3						4				5
3.8. 2x1 − x2 + 3x3 + x4 − 5x5 = 0,
x + 3x							− x			−			6x				− x			= 0.
1					2			3							4			5
	3	x			+		5	x		+		5		x			+ x			=		0,
		x			+			x		+				x			+ x			=		0,
			1					2							3			4
2							4				7
3					+		1		+		2						+	2				= 0,
3.10.			x1					x2							x3				x4
3.10.			x1					x2							x3				x4
5							2				7							5
1			x1		+		1	x2	+				2			x3 +			2		x4 = 0.

							6
5							6				21							15
x + 3x − x +12x − x = 0,
1							2			3							4			5
3.12. 2x1 − 2x2 + x3 −10x4 + x5																								= 0,
3x				+ x									+ 2x									= 0.
			1				2										4
x + 2x + 3x + x − x = 0,
1							2				3						4			5
3.14. 2x1 − 2x2 − 5x3 − 3x4 + x5																								= 0,
3x				− 2x + 3x											+ 2x				− x					= 0.
			1					2					3					4				5
2x + x − 3x + x − x = 0,
			1				2				3						4		5
3.16. 3x1 − x2 + 2x3 − x4 + 2x5																						= 0,
x			− 2x					+ 5x					− 2x					+ 3x						= 0.
1							2				3						4					5
2x + x − x + 7x + 5x = 0,
			1				2			3							4			5
3.18. x1			− 2x2 + 3x3 − 5x4 − 7x5																					= 0,
3x				− x				+ 2x					+ 2x					− 2x						= 0.
			1				2				3						4					5
3x + x − 8x + 2x + x = 0,
			1				2				3						4			5
3.20. x1			+11x2 −12x3 + 34x4 − 5x5 = 0,
x			− 5x					+ 2x					−16x						+ 3x					= 0.
1							2				3							4					5
5x + 2x − x + 3x + 4x = 0,
			1					2			3						4					5
3.22. 3x1 + x2 − 2x3 + 3x4 + 5x5																							= 0,
6x + 3x − 2x															+ 4x + 7x									= 0.
			1					2					3					4					5
6x + 3x − 2x + 4x + 7x = 0,
			1					2					3					4					5
3.24. 7x1 + 4x2 − 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0,
x			+ x				− x			−			2x				−	3x		=			0.
1					2			3							4				5

3x − 5x + 2x + 4x = 0,										x + x + 3x − 2x + 3x = 0,
	1	2	3				4				1	2		3				4		5
3.25. 7x1 − 4x2 + x3 + 3x4							= 0,			3.26. 2x1 + 2x2 + 4x3 − x4 + 3x5 = 0,
5x + 7x − 4x					− 6x			= 0.		x + x +				5x	−		5x		+	6x = 0.
	1	2	3				4				1	2		3			4			5
x + 2x + 3x − 2x + x = 0,										6x		+ 3x		+ 2x			+ 3x			+ 4x = 0,
1	2	3				4		5			1		2			3			4	5
3.27. x1 + 2x2		+ 7x3 − 4x4 + x5							= 0,	3.28. 4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0,
x	+ 2x	+11x		− 6x				+ x	= 0.	2x		+ x	+ x		+ x			+ x = 0.
1	2	3				4		5			1	2		3			4			5
3x + 2x + 4x + x + 2x = 0,										x + x + x + 2x + x = 0,
	1	2	3			4			5		1	2		3			4			5
3.29. 3x1 + 2x2 − 2x3 + x4									= 0,	3.30. x1 − 2x2 − 3x3 + x4 − x5 = 0,
3x + 2x +16x						+ x	4	+ 6x = 0.		2x		− x	− 2x			+ 3x			4	= 0.
	1	2		3			4		5		1	2		3					4
x − x + x − 2x + x = 0,
1	2	3				4		5
3.31. x1 + x2 − 2x3 − x4 + 2x5 = 0,
x	− 3x	+ 4x	− 3x					= 0.
1	2	3				4
Задача 4. Найти координаты вектора x в базисе (e′,														e′ ,		e′ ), если он задан в
												1		2			3
базисе (e1,	e2 ,	e3 ).

e′	= e + e			+ 2e			,
1	1		2			3
e′2 = 2e1 − e2 ,
4.1.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {6,		−1,			3}.
e′	= e + e		2	+ 4e			,
1	1		2			3
e′	= (4 3)e − e					2	,
2				1		2
4.3.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		3,			6}.
′	= e + e			+ (4 3)e				,
e	= e + e			+ (4 3)e				,
1	1		2				3
e′2 = 4e1 − e2 ,
4.5.
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {6,		3,			1}.

e′	= e + e		2	+ 3e	3	,
1	1		2		3
e′	= (3 2)e − e				2	,
2				1	2
4.2.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		2,		4}.
′	= e + e			+ (3 2)e			,
e	= e + e			+ (3 2)e			,
1	1		2			3
e′2 = 3e1 − e2 ,
4.4.
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {2,		4,		1}.
e′	= e + e		2	+ 5e	3	,
1	1		2		3
e′	= (5 4)e − e				2	,
2				1	2
4.6.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		4,		8}.

′		= e + e				+ (			5 4)e						,
e		= e + e				+ (			5 4)e						,
	1		1		2									3
e′2 = 5e1 − e2 ,
4.7.
e′3 = −e1 + e2 + e3,
x = {8,				4,			1}.
′		= e + e				+ (			6 5)e						,
e		= e + e				+ (			6 5)e						,
	1		1		2									3
e′2 = 6e1 − e2 ,
4.9.
e′3 = −e1 + e2 + e3,
x = {10,					5,			1}.
		′	= e + e				+		(7 6)e							,
e			= e + e				+		(7 6)e							,
		1	1			2									3
e′2 = 7e1 − e2 ,
4.11.
e′3			= −e1 + e2 + e3,
	x = {−12,						6, 1}.
e′			= e	+ e		2	− e			3	,
		1	1			2				3
e′			= (1 2)e					− e			2		,
		2				1					2
4.13.			= −e1 + e2 + e3,
e′3			= −e1 + e2 + e3,
	x = {−3,					2,				4}.
e′			= e + e			2	− 2e							,
		1	1			2						3
e′			= (2 3)e − e									2		,
		2				1						2
4.15.			= −e1 + e2 + e3,
e′3			= −e1 + e2 + e3,
	x = {2,				6,				−3}.
e′			= e + e			2	− 3e							,
		1	1			2					3
e′			= (3 4)e − e									2		,
		2				1						2
4.17.			= −e1 + e2 + e3,
e′3			= −e1 + e2 + e3,
	x = {1,			−4,					8}.
e′			= e + e			2	− 4e							,
		1	1			2						3
e′			= (4 5)e					− e				2		,
		2				1						2
4.19.			= −e1 + e2 + e3,
e′3			= −e1 + e2 + e3,
	x = {7,				−5,					10}.

e′	= e + e			2	+ 6e				,
1		1		2				3
e′	= (6 5)e − e							2	,
2					1			2
4.8.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {2, 5,						10}.
e′		= e + e			2	+ 7e				3	,
	1	1			2					3
e′		= (7 6)e − e								2	,
	2					1				2
4.10.		= −e1 + e2 + e3,
e′3		= −e1 + e2 + e3,
x = {1,			6,				12}.
e′		= e + e			2	+ 8e				3	,
	1	1			2					3
e′		= (8 7)e					− e			2	,
	2				1					2
4.12.		= −e1 + e2 + e3,
e′3		= −e1 + e2 + e3,
x = {−1,					7,		14}.
	′	= e + e				+ (1 2)e						,
e		= e + e				+ (1 2)e						,
	1	1			2						3
e′2 = −e1 − e2 ,
4.14.
e′3		= −e1 + e2 + e3,
x = {2,				4,			3}.
	′	= e + e				+ (2 3)e							,
e		= e + e				+ (2 3)e							,
	1	1			2						3
e′2 = −2e1 − e2 ,
4.16.
e′3		= −e1 + e2 + e3,
x = {12,					3,		−1}.
e′		= e + e			2	− 3e					,
	1	1			2				3
e′		= (3 4)e − e								2	,
	2				1					2
4.18.		= −e1 + e2 + e3,
e′3		= −e1 + e2 + e3,
x = {1,			4,				−8}.
	′	= e + e				+ (4 5)e							,
e		= e + e				+ (4 5)e							,
	1	1			2						3
e′2 = −4e1 − e2 ,
4.20.
e′3		= −e1 + e2 + e3,
x = {5,				−5,				−4}.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2725 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб76Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб414Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб530Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб180ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб58ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб66ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc