Кузнецов_математика

Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

f (t)dt = f ψ (x) ψ ′(x)− f ϕ (x) ϕ′(x).

.pdf

Скачиваний:

408

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

IV. ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1.Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.

2.Неопределенный интеграл, его свойства.

3.Таблица неопределенных интегралов.

4.Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5.Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

6.Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций. 7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

8.Интегрирование иррациональных выражений.

9.Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

10.Основные свойства определенного интеграла.

11.Теорема о среднем.

12.Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона

–Лейбница.

13.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

14.Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15.Вычисление площадей плоских фигур.

16.Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.

Теоретические упражнения

	sin x		x = 0, доказать, что она интегрируема на
1. Считая, что функция		равна 1 при

	x
отрезке [0, 1].

2. Какой из. интегралов больше:

1	sin x 2			1	sin x
∫0			dx или	∫0		dx?

		x			x

3.Пусть f (t) – непрерывная функция, а функции ϕ (x) и ψ (x)

дифференцируемые. Доказать, что

x3 (x −1)2

5. Найти точки экстремума функции

f (x) = ∫(t −1)(t − 2)e−t2 dt.

6. Пусть f (x) – непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать,

что

a+T T

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx a.

7.Доказать, что если f (x) – четная функция, то

0			+a		1	+a
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx =					1	∫ f (x)dx.
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx =						∫ f (x)dx.
−a		0		2		−a
8. Доказать, что для нечетной функции f				(x) справедливы равенства
0			+a		a
∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx и ∫ f (x)dx = 0.
−a		0		−a
+1	2	+ x
Чему равен интеграл ∫sin2 xln	2	+ x	dx?
Чему равен интеграл ∫sin2 xln			dx?
−1	2	− x
−1
9. При каком условии,		связывающем		коэффициенты a, b, c			интеграл

∫ax2 + bx + c dx является рациональной функцией?

10. При каких целых значениях n интеграл ∫1+ x4 dx выражается элементарными функциями.

	Расчетные задания
Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы.
1.1. ∫(4 − 3x)e−3xdx.	1.2. ∫arctg		dx.
		4x −1

1.3.	∫(3x + 4)e3xdx.
1.5.	∫(4 −16x)sin4xdx.
1.7.	∫(1	− 6x)e2xdx.
1.9.	∫ln	(4x2 +1)dx.

1.11.∫arctg6x −1dx.

1.13. ∫e−3x (2 − 9x)dx.

1.15. ∫arctg3x −1dx.

1.17. ∫(5x + 6)cos2xdx.

1.19. ∫(x2 − 3)cos2xdx.

1.21. ∫(2x − 5)cos4xdx.

1.23. ∫(x + 5)sin3xdx.

1.25. ∫(4x + 3)sin5xdx.

1.27. ∫(2 − 8x)sin3xdx.

xdx

1.29. ∫sin2 x.

xcos xdx

1.31. ∫ sin3 x .

1.4. ∫(4x − 2)cos2xdx.

1.6. ∫(5x − 2)e3xdx.

1.8. ∫ln(x2 + 4)dx.

1.10. ∫(2 − 4x)sin2xdx.

1.12. ∫e−2x (4x − 3)dx.

1.14. ∫arctg2x −1dx.

1.16. ∫arctg5x −1dx.

1.18.∫(3x − 2)cos5xdx.

1.20. ∫(4x + 7)cos3xdx.

1.22. ∫(8 − 3x)cos5xdx.

1.24. ∫(2 − 3x)sin2xdx.

1.26. ∫(7x −10)sin4xdx.

xdx

1.28. ∫cos2 x.

1.30. ∫xsin2 xdx.

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

0	0	(x2 − 4)cos3xdx.
2.1. ∫(x2 + 5x + 6)cos2xdx.	2.2. ∫	(x2 − 4)cos3xdx.
−2	−2

2.3. ∫0 (x2 + 4x + 3)cos xdx.

−1

2.5. ∫0 (x2 + 7x +12)cos xdx.

−4

2.7. π∫(9x2 + 9x +11)cos3xdx.

2.9. 2∫π (3x2 + 5)cos2xdx.

2.11. 2∫π (3− 7x2 )cos2xdx.

2.13. ∫0 (x2 + 2x +1)sin3xdx.

−1

2.15. π∫(x2 − 3x + 2)sin xdx.

2.17. ∫0 (x2 + 6x + 9)sin2xdx.

−3

2.19. ∫2 (1− 5x2 )sin xdx.

2.21. ∫xln2 xdx.

8	2
2.23. ∫	ln	xdx	.
	3
		2
1		x

2.25. ∫(x −1)3 ln2 (x −1)dx.

2.27. ∫(x +1)2 ln2 (x +1)dx.

2.4. ∫(x + 2)2 cos3xdx.

−2

2.6. π∫(2x2 + 4x + 7)cos2xdx.

2.8. π∫(8x2 +16x +17)cos4xdx.

2.10. 2∫π (2x2 −15)cos3xdx.

2.12. 2∫π (1− 8x2 )cos4xdx.

2.14. ∫3 (x2 − 3x)sin2xdx.

2.16. ∫2 (x2 − 5x + 6)sin3xdx.

2.18. ∫4 (x2 +17,5)sin2xdx.

2.20. ∫3	(3x − x2 )sin2xdx.
π
4
e2			2
2.22. ∫		ln		xdx	.


1				x

2.24. ∫(x +1)ln2 (x +1)dx.

2.26. ∫(x + 2)3 ln2 (x + 2)dx.

−1

2.28. ∫x ln2 xdx.

1− x

2.29.∫ x2 e 2 dx.

2.30. ∫x2 e3x dx.

−1

2.31.∫(x2 + 2)e2 dx.

−2

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

3.1. ∫			dx		.


	x		x2 +1
3.3. ∫			dx	.


	x		x2 −1
3.5. ∫			xdx			.

		x4 + x2 +1
		x4 + x2 +1

3.7. ∫tg xlncos xdx.

3.9. ∫(x2 +1)2 dx.

sin x − cos x 3.11. ∫(cos x + sin x)5 dx.

x3 + x

3.13. ∫ x4 +1 dx.

3.15. ∫ 3 xdxx −1.

(x2 +1)dx

3.17.∫(x3 + 3x +1)5 .

∫x3 dx.2 +3.19.

	x 4
3.21. ∫	2cos x + 3sin x	dx.

	(2sin x − 3cos x)3

3.2. ∫	1+ ln x	dx.
3.2. ∫		dx.
	x
3.4. ∫	x2 + ln x2		dx.
3.4. ∫	x		dx.
	x
3.6. ∫	(arccos x)3			−1
				dx.
	1− x2			dx.
	1− x2

3.8. ∫

tg(x +1)

dx.

cos2 (x +1)

3.10. ∫

1− cos x

dx.

(x − sin x)2

3.12. ∫

xcos x + sin x

dx.

(xsin x)2

3.14. ∫

xdx

x4 − x2 −1

3.16. ∫

1+ ln(x −1)

dx.

x −1

3.18. ∫

4arctg x − x

dx.

1+ x2

3.20. ∫

x + cos x

dx.

x2 + 2sin x

3.22. ∫

8x − arctg2x

dx.

1+ 4x2

1(2x )+1

3.23.∫ ( + x)2 dx.x

3.25. ∫

+1 x

dx.

x2 +1

3.27. ∫

arctg x + x

dx.

1+ x2

3.29.

dx.

∫ x2 +

1−

3.31. ∫

dx.

x (x +

3.24. ∫		x	dx.
	x4 +1
3.26. ∫	x	−1 x		dx.


		x2 +1
3.28. ∫	x − (arctg x)4				dx.

		1+ x2
3.30. ∫	(arcsin x)2 +1
					dx.
		1− x2

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

e2+1

1+ ln(x −1)

4.1. ∫

dx.

x −1

e+1

1 4arctg x − x

4.3. ∫

dx.

1+ x2

2π

x + cos x

4.5. ∫

dx.

x2 + 2sin x

1 2

8x − arctg2x

4.7. ∫

dx.

1+ 4x2

xdx

4.9.

∫ x

4 +1

−1 x

4.11. ∫

dx.

x2 +1

x − (arctg x)4

4.13. ∫

dx.

1+ x2

				(					)
	1					x2			+1 dx
4.2.	∫					3									.
4.2.		(			x		+					)		2	.
	0				x		+		3x +1
	2			x3dx
4.4. ∫										.
4.4. ∫			x2 + 4							.
	0
	π 4					2cos x + 3sin x
4.6. ∫0																dx.
4.6. ∫0					(2sin x − 3cos x)3											dx.
		1 (2									)+1
	4	1 (2								x	)+1
4.8. ∫													dx.
4.8. ∫				(				+ x)				2	dx.
	1			(			x	+ x)

	8		x	+1 x
4.10. ∫			x	+1 x		dx.


				x2 +1
	3			x2 +1

		3 arctg x + x
4.12. ∫							dx.
4.12. ∫				1+ x2			dx.
	0
	1		x3
4.14.					dx.
4.14.					dx.
	∫ x2 +1
	0

sin1

(arcsin x)

+1dx.

4.15. ∫

1− x2

4.17. ∫

x2 +1

4.19. ∫

x2 −1

xdx

4.21. ∫

x4 + x2 +1

π4

4.23.∫ tg xlncos xdx.

		(arccos x)3 −1
1	2	(arccos x)3 −1
4.25. ∫			dx.
4.25. ∫			dx.
0		1− x2

π4 sin x − cos x

4.27.∫0 (cos x + sin x)5 dx.

1 x3 + x

4.29. ∫ dx.

0 x4 +1

9xdx

4.31.∫2 3x −1.

31− x

4.16.∫1 x (x +1)dx.

+ ln x

4.18. ∫

dx.

+ ln x

4.20. ∫

dx.

x3dx

4.22.

∫

(

)

tg(x +1)

4.24. ∫

dx.

cos2 (x +1)

−1

2π

1− cos x

4.26. ∫

dx.

(x − sin x)2

π 2 xcos x + sin x

4.28. π∫4

dx.

(xsin x)2

xdx

4.30. ∫

x4 − x2 −1

Задача 5. Найти неопределенные интегралы.

5.1. ∫		x3 +1
				dx.
		x2	− x	dx.
5.3.		x3 −17					dx.

	∫ x2		− 4x +		3
	∫ x2		− 4x +		3
5.5. ∫		2x3 −1				dx.

		x2 + x − 6
5.7. ∫			x3 + 2x2 + 3					dx.
5.7. ∫		(x −1)(x − 2)(x − 3)						dx.
		(x −1)(x − 2)(x − 3)

5.2. ∫

5.4. ∫

5.6. ∫

5.8. ∫

3x3 +1 x2 −1dx.

2x3 + 5

x2 − x − 2 dx.

3x3 + 25

x2 + 3x + 2 dx.

3x3 + 2x2 +1

(x + 2)(x − 2)(x −1)dx.

5.9.∫(x −1)(x +1)(x + 2)dx.

x3 − 3x2 −12

∫( dx.x − 4)(x − 3)x5.11.


5.13. ∫	3x3 − 2
		dx.
	x3 − x
5.15. ∫	x5 − x3 +1
			dx.
	x2 − x
5.17. ∫	2x5 − 8x3 + 3
				dx.
	x2 − 2x
5.19. ∫	−x5 + 9x3 + 4
	x2 + 3x			dx.
5.21. ∫	x3 − 5x2 + 5x + 23						dx.

	(x −1)(x +1)(x − 5)
5.23. ∫	2x4 − 5x2 − 8x − 8				dx.

	x(x − 2)(x + 2)
5.25. ∫	3x4 + 3x3 − 5x2 + 2					dx.

	x(x −1)(x + 2)

5.27. ∫ x5 − x4 − 6x3 +13x + 6 dx. x(x − 3)(x + 2)

5.29. ∫2x4 + 2x3 − 3x2 + 2x − 9 dx. x(x −1)(x + 3)

5.31. ∫ 2x3 − 40x − 8 dx. x(x + 4)(x − 2)

5.10. ∫

x3 − 3x2 −12

dx.

(x − 4)(x − 3)(x − 2)

5.12. ∫

4x3 + x2 + 2

dx.

x(x −1)(x − 2)

5.14. ∫

x3 − 3x2 −12

dx.

(x − 4)(x − 2)x

5.16. ∫

x5 + 3x3 −1

dx.

x2 + x

5.18. ∫

3x5 −12x3 − 7

dx.

x2 + 2x

5.20. ∫

−x5 + 25x3 +1

x2 + 5x

dx.

5 +

4 −

3 +

2 −

5.22. ∫

dx.

(x + 3)(x −1)x

5.24. ∫

4x4 + 2x2 − x − 3

dx.

x(x −1)(x +1)

5.26. ∫

2x4 + 2x3 − 41x2 + 20

dx.

x(x − 4)(x + 5)

5.28. ∫

3x3 − x2 −12x − 2

dx.

x(x +1)(x − 2)

5.30. ∫

2x3 − x2 − 7x −12

dx.

x(x − 3)(x +1)

	Задача 6. Найти неопределенные интегралы.
6.1. ∫	x3 + 6x2 +13x +	9	dx.		6.2.	∫	x3 + 6x2 +13x +	8	dx.

	(x +1)(x + 2)3						x(x + 2)3
6.3. ∫	x3 − 6x2 +13x − 6					∫	x3 + 6x2 +14x +10
			dx.		6.4.					dx.
	(x + 2)(x − 2)3						(x +1)(x + 2)3
6.5. ∫	x3 − 6x2 +11x −10					∫	x3 + 6x2 +11x + 7
				dx.	6.6.				dx.
	(x + 2)(x − 2)3						(x +1)(x + 2)3

6.7. ∫

2x3 + 6x2 + 7x +1

6.8. ∫

x3 + 6x2 +10x +10

dx.

(x −1)(x +1)3

(x −1)(x + 2)3

6.9. ∫

2x3 + 6x2 + 7x + 2

6.10. ∫

x3 − 6x2 +13x − 8

dx.

x(x +1)3

x(x − 2)3

6.11. ∫

x3 − 6x2 +13x − 7

6.12. ∫

x3 − 6x2 +14x − 6

dx.

(x +1)(x − 2)3

6.13. ∫

x3 − 6x2 +10x −10

6.14. ∫

x3 + x + 2

dx.

(x +1)(x − 2)3

(x + 2)x3

6.15. ∫

3x3 + 9x2 +10x + 2

6.16. ∫

2x3 + x +1

dx.

(x −1)(x +1)3

(x +1)x3

6.17. ∫

2x3 + 6x2 + 7x +

6.18. ∫

2x3 + 6x2 + 5x

dx.

(x + 2)(x +1)3

6.19. ∫

2x3 + 6x2 + 7x

6.20. ∫

2x3 + 6x2 + 5x + 4

dx.

(x − 2)(x +1)3

6.21. ∫

x3 + 6x2 + 4x + 24

6.22. ∫

x3 + 6x2 +14x + 4

dx.

(x − 2)(x + 2)3

6.23. ∫

x3 + 6x2 +18x − 4

6.24. ∫

x3 + 6x2 +10x +12

dx.

(x − 2)(x + 2)3

6.25. ∫

x3 − 6x2 +14x − 4

6.26. ∫

x3 + 6x2 +15x + 2

dx.

(x + 2)(x − 2)3

(x − 2)(x + 2)3

6.27. ∫

2x3 − 6x2 + 7x − 4

6.28. ∫

2x3 − 6x2 + 7x

dx.

(x − 2)(x −1)3

(x + 2)(x −1)3

6.29. ∫

x3 + 6x2 −10x +

dx.

6.30. ∫

x3 − 6x2 +13x − 6

dx.

(x − 2)(x + 2)3

(x + 2)(x − 2)3

6.31. ∫

x3 + 6x2 +13x + 6

dx.

(x − 2)(x + 2)3

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

x3 + 4x2 + 4x + 2 7.1. ∫(x +1)2 (x2 + x +1)dx.

2x3 + 7x2 + 7x −1

7.3. ∫(x + 2)2 (x2 + x +1)dx.

x3 + 6x2 + 9x + 6 7.5. ∫(x +1)2 (x2 + 2x + 2)dx.

3x3 + 6x2 + 5x −1

7.7. ∫ (x +1)2 (x2 + 2) dx.

x3 + 6x2 + 8x + 8

7.9. ∫ (x + 2)2 (x2 + 4)dx.

2x3 − 4x2 −16x −12

7.11. ∫(x −1)2 (x2 + 4x + 5)dx.

x3 + 2x2 +10x

7.13. ∫(x +1)2 (x2 − x +1)dx.

4x3 + 24x2 + 20x − 28

7.15. ∫ (x + 3)2 (x2 + 2x + 2)dx.

x3 + x +1

7.17. ∫(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 + 4x2 + 2x + 2

7.19. ∫(x2 + x +1)(x2 + x + 2)dx.

4x2 + 3x + 4

7.21. ∫(x2 +1)(x2 + x +1)dx.

2x2 − x +1

7.23. ∫(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

7.2. ∫

x3 + 4x2 + 3x + 2

dx.

(

x +1

(

x2 +1

)

7.4. ∫

2x3 + 4x2 + 2x −1

dx.

(

x +1 2

(

x2 + 2x + 2

)

7.6. ∫

2x3 +11x2 +16x +10

dx.

(x + 2)2 (x2 + 2x + 3)

7.8. ∫

x3 + 9x2 + 21x + 21

dx.

(x + 3)2 (x2 + 3)

7.10. ∫

x3 + 5x2 +12x + 4

dx.

(x + 2)2 (x2 + 4)

7.12. ∫

−3x3 +13x2 −13x +1

(

x − 2

)

(

− x +1 dx.

)

7.14. ∫

3x3 + x + 46

dx.

(

x −1

(

x2 + 9

)

7.16. ∫

2x3 + 3x2 + 3x + 2

dx.

(

)(

)

+ x +1

7.18. ∫

x2 + x + 3

dx.

(

)(

)

+ x +1

7.20. ∫

2x3 + 7x2 + 7x + 9

dx.

(

)(

+ x + 2

)

+ x +1

7.22. ∫

3x3 + 4x2 + 6x

dx.

(x2 + 2)(x2 + 2x + 2)

x3 + x2 +1

7.24. ∫(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб75Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб408Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб526Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб175ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб63ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб56ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc