Кузнецов_математика

Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

f (x, y)dxdy,

.pdf

Скачиваний:

408

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

0,3

20.15. ∫ e−2x2 dx.

20.17.	0,2∫ cos(25x2 )dx.
	0
	0,4	1− e		−x 2
20.19. ∫		1− e			dx.
20.19. ∫			x		dx.
	0		x
	0
	2,5		dx
20.21. ∫			dx			.


	0	3 125 + x3

20.23. 0,5∫ sin(4x2 )dx.

2dx

20.25.∫0 4256 + x4 .

2,5 dx

20.27. ∫0 4625 + x4 .

0,5

20.29. ∫ e−3x225dx.

20.31. 0,1∫cos(100x2 )dx.

0,4

20.16. ∫ sin(5x2)2 dx.

1,5 dx

20.18. ∫0 481+ x4 .

0,1	ln(1	+ 2x)
20.20. ∫	ln(1	+ 2x)	dx.
20.20. ∫			dx.
0		x
0
0,4
20.22. ∫ e−3x2		4dx.
0
0,4

20.24. ∫ cos(5x2)2 dx.

0,5 dx

20.26. ∫0 31+ x3 .

1dx

20.28.∫0 38 + x3 .

20.30. ∫sin x2dx.

VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1.Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

2.Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3.Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4.Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

5.Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).

6.Замена переменных в двойном интеграле.

7.Якобиан, его геометрический смысл.

8.Двойной интеграл в полярных координатах.

9.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10.Тройной интеграл в сферических координатах.

Теоретические упражнения

1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

∫∫xm yndxdy = 0,

x2+ y2≤R2

если m и n - натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно. 2. С помощью теоремы о среднем найти

где f (x, y) - непрерывная функция.

3. Оценить интеграл

∫∫∫		dxdydz					, x02 + y02 + z02 > R2 ,


	(x − x	)2 + (y − y	)2	+ (z − z		)2
x2+ y2+z2≤R2	(x − x	)2 + (y − y	)2	+ (z − z	0	)2
	0	0			0

т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4.Вычислить двойной интеграл

∫∫f (x, y)dxdy,

если область D - прямоугольник {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }, а f (x, y) = F′′	(x, y).
xy

5. Доказать равенство

b d

∫∫ f (x)g(y)dxdy = ∫ f (x)dx∫g(y)dyб

если область D - прямоугольник {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }.

6. Доказать формулу Дирихле

a	x	a	a
∫dx∫ f (x, y)dy = ∫dy∫ f (x, y)dx,				a > 0.
0	0	0	y

7. Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство

∫dy∫ f (x)dx = ∫(a − x) f (x)dx.

8. Какой из интегралов больше

1	1	1		1	1−x	1−x−y
∫dx∫dy∫ f (x, y,z)dz			или	∫dx ∫ dy		∫ f (x, y,z)dz,
0	0	0		0	0	0

если f (x, y,z) > 0?

Расчетные задания

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

−1

1.1. ∫dy

∫

dx + ∫dy ∫

dx.

−2

−1

− 2+ y

− − y

2−y2

1.3. ∫dy∫ f

dx + ∫ dy

∫

dx.

−1

1.5.

∫

f dy + ∫dx∫ f dy.

−

2−x

−1

2+ y

− y

1.7. ∫dy

∫

dx + ∫dy ∫

dx.

−2

−1

2−x2

1.9.

∫

dy + ∫dx∫ f

dy.

−

−1

1.11. ∫dx ∫

dy + ∫dx

∫

dy.

1−x2

ln x

π 4

sin y

π 2

cos y

1.13.

∫ dy ∫

dx + ∫ dy ∫

dx..

π 4

1.15. ∫dy ∫

dx + ∫dy ∫

dx.

ln y

1.17. ∫dy ∫

dx + ∫ dy

∫

dx.

− y

−

2− y2

1.19. ∫ dx

∫

f dy + ∫ dx

∫

f dy.

4−x2 −2

− 4−x2

1.2. ∫dy ∫

dx + ∫ dy ∫

dx.

−

− y

2−y

1.4. ∫dy ∫

dx + ∫dy

∫

dx.

arcsin y

arccos y

1.6.

∫

f dx + ∫

∫

f dx.

−ln y

1.8. ∫dy ∫

dx + ∫dy ∫

dx.

−

−1

−

1.10.

∫ dx

∫

fdy + ∫

∫

fdy.

−2

− 4−x

− 3

4−x

−2

3 y

2−y

1.12. ∫dy ∫

dx + ∫dy ∫

dx.

−1

1.14. ∫dx

∫

dy + ∫dx ∫

dy.

−2

(

2+x

)

−1

−

1.16. ∫dy ∫

f dx + ∫dy

∫

dx.

−

2− y

1.18. ∫dy ∫ f

dx + ∫dy ∫

dx.

−1

1.20. ∫dy

∫

dx + ∫dy ∫

dx.

−2

−(2+ y)

−1

3 y

1.21. ∫dy∫ f

dx + ∫dy ∫

dx.

ln y

π 4

sin x

π 2

cos x

1.23.

∫ dx ∫

f dy + ∫ dx ∫ f

dy.

π 4

2−x

1.25. ∫dx∫ f

dy + ∫dx ∫

dy.

1.27. ∫dx ∫

dy + ∫dx

∫

dy.

− x

−

2−x

2− y2

1.29. ∫dy ∫

dx + ∫ dy

∫

dx.

4−x2

2− 4−x2

− 3

1.31.

∫ dx

∫

f dy + ∫

∫ f dy.

−2

−

Задача 2. Вычислить.

∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy;

2.1.D

D: x =1, y = x2 , y = −x.

∫∫(36x2 y2 − 96x3 y3 )dxdy;

2.3.D

D: x =1, y = 3x, y = −x3.

∫∫(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;

2.5.D

D : x =1, y = x2 , y = −3x.

1		x2								2	2−x2
1.22. ∫dx∫ f						dy + ∫ dx						∫		f		dy.
0		0							1		0
−1				0							0					0
1.24. ∫		dy			∫				f dx + ∫dy ∫ f								dx.
−	2		−		2−y		2						−1			y
			−		2−y

		2− 4−x2													4−x2
3		2− 4−x2									2				4−x2
1.26. ∫ dx				∫				f	dy + ∫ dx							∫ f	dy.
0				0												0
0				0								3				0

											2−x2
1		x							2		2−x2
1.28. ∫dx∫ f					dy + ∫ dx						∫			f		dy .
0		0							1		0

1			x						2		2−x
1.30. ∫dx ∫ f						dy + ∫dx					∫ f					dy.
0		0							1		0

∫∫(9x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;

2.2.D

D: x =1, y = x, y = −x2.

∫∫(18x2 y2 + 32x3 y3 )dxdy;

2.4.D

D : x =1, y = x3, y = −3x.

∫∫(18x2 y2 + 32x3 y3 )dxdy;

2.6.D

D: x =1, y = 3x, y = −x2.

∫∫(18x2 y2 + 32x3 y3 )dxdy;

2.7.D

D : x =1, y = x3, y = −x.

∫∫(4xy + 3x2 y2 )dxdy;

2.9.D

D: x =1, y = x2 , y = −x.

∫∫(8xy + 9x2 y2 )dxdy;

2.11.D

D : x =1, y = 3x, y = −x3.

∫∫(12xy + 27x2 y2 )dxdy;

2.13.D

D: x =1, y = x2 , y = −3x.

4	xy +	9	x2 y2
				dxdy;

2.15. ∫∫D 5		11

D : x =1, y = x3, y = −x.

∫∫(24xy − 48x3 y3 )dxdy;

2.17.D

D: x =1, y = x2 , y = −x.

∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy;

2.19.D

D : x =1, y = 3x, y = −x3.

∫∫(44xy +16x3 y3 )dxdy;

2.21.D

D: x =1, y = x2 , y = −3x.

∫∫(xy − 4x3 y3 )dxdy;

2.23.D

D : x =1, y = x3, y = −x.

∫∫(27x2 y2 + 48x3 y3 )dxdy;

2.8.D

D : x =1, y = x, y = −x3.

∫∫(12xy + 9x2 y2 )dxdy;

2.10.D

D: x =1, y = x, y = −x2.

∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy;

2.12.D

D : x =1, y = x3, y = −3x.

∫∫(8xy +18x2 y2 )dxdy;

2.14.D

D: x =1, y = 3x, y = −x2.

	∫∫D	4		xy + 9x2 y2
2.16.
			5
					dxdy;

D : x =1, y = x, y = −x3.

∫∫(6xy + 24x3 y3 )dxdy;

2.18.D

D: x =1, y = x, y = −x2.

∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy;

2.20.D

D : x =1, y = x3, y = −3x.

∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy;

2.22.D

D : x =1, y = 3x, y = −x3.

∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy;

2.24.D

D : x =1, y = x, y = −x3.


	∫∫D	6x2 y2	+	25	x4 y4
2.25.
				3
						dxdy;

	D : x =1, y = x2 , y = − x.
	∫∫D	3x2 y2	+	50	x4 y4
2.27.
				3
						dxdy;

D: x =1, y = 3x, y = −x3.

∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy;

2.29.D

D : x =1, y = x2 , y = −3x.

∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy;

2.31.D

D : x =1, y = x3, y = −x.

Задача 3. Вычислить.

∫∫yexy/2dxdy;

3.1.D

D : y = ln2, y = ln3, x = 2, x = 4.

∫∫ycos xy dxdy;

3.3.D

D : y = π /2, y = π , x =1, x = 2.

∫∫ysin xy dxdy;

3.5.D

D : y = π /2, y = π , x =1, x = 2.

∫∫4ye2xydxdy;

3.7.D

D : y = ln3, y = ln4, x = 1 , x =1. 2

∫∫(9x2 y2 + 25x4 y4 )dxdy;

2.26.D

D: x =1, y = x, y = −x2.

∫∫(9x2 y2 + 25x4 y4 )dxdy;

2.28.D

D : x =1, y = x3, y = −3x.

∫∫(xy − 9x5 y5 )dxdy;

2.30.D

D: x =1, y = 3x, y = −x2.

∫∫y2 sin	xy	dxdy;
	2
3.2. D

D : x = 0, y = π , y = x. 2

∫∫y2e−xy/4dxdy;

3.4.D

D : x = 0, y = 2, y = x.

∫∫y2 cos 2 dxdy;

3.6. D

D : x = 0, y = π2, y = x2.

∫∫4y2 sin xy dxdy;

	D
	3.8.
	3.8.	π , y = x.
	D: x = 0, y =	π , y = x.
		2

∫∫ycos2xy dxdy;

3.9. D

D : y = π , y = π , x = 1 , x =1.

∫∫12ysin2xy dxdy;

3.11. D

D : y = π , y = π , x = 2, x = 3.

∫∫yexy/4dxdy;

3.13.D

D : y = ln2, y = ln3, x = 4, x = 8.

∫∫2ycos2xy dxdy;

3.15. D

D : y = π , y = π , x =1, x = 2.

∫∫ysin xy dxdy;

3.17.D

D : y = π , y = 2π , x = 1 , x =1. 2

∫∫8ye4xydxdy;

3.19.D

D : y = ln3, y = ln4, x = 1 , x = 1. 4 2

∫∫ycos xy dxdy;

3.21.D

D : y = π , y = 3π , x =12, x =1.

∫∫ysin2xy dxdy;

3.23.D

D : y = π2, y = 3π2, x =12, x = 2.

∫∫y2e−xy/8dxdy;

3.10.D

D : x = 0, y = 2, y = x. 2

∫∫y2 cos xy dxdy;

3.12.D

D: x = 0, y = π , y = x.

∫∫y2 sin2xy dxdy;

3.14.D

D : x = 0, y = 2π , y = 2x.

∫∫y2e− xy/2dxdy;

3.16.D

D: x = 0, y = 2, y = x.

∫∫y2 cos2xy dxdy;

D
3.18.
3.18.	π , y =		x
D : x = 0, y =			x	.
D : x = 0, y =				.
	2	2

∫∫3y2 sin 2 dxdy;

3.20. D

D : x = 0, y = 4π , y = 2 x.
3	3

∫∫y2e−xy/2dxdy;

3.22.D

D : x = 0, y =1, y = x. 2

∫∫y2 cos xy dxdy;

3.24.D

D: x = 0, y = π , y = 2x.

∫∫6yexy/3dxdy;

3.25.D

D : y = ln2, y = ln3, x = 3, x = 6.

∫∫ycos2xy dxdy;

3.27.D

D : y = π2, y = 3π2, x =12, x = 2.

∫∫3ysin xy dxdy;

3.29.D

D: y = π2, y = 3π , x =1, x = 3.

∫∫12ye6xydxdy;

3.31. D

D : y = ln3, y = ln4, x =16, x =13.

Задача 4. Вычислить.

∫∫∫2y2exy dx dy dz;

	V
4.1.	x	= 0, y =1, y = x,
	x	= 0, y =1, y = x,
	V	= 0, z =1.
	z	= 0, z =1.
	∫∫∫y2ch(2xy) dx dy dz;
	V
4.3.	x	= 0, y = −2, y = 4x,
	x	= 0, y = −2, y = 4x,
	V	= 0, z = 2.
	z	= 0, z = 2.
	∫∫∫x2sh(3xy) dx dy dz;
	V
4.5.	x	=1, y = 2x, y = 0,
	x	=1, y = 2x, y = 0,
	V	= 0, z = 36.
	z	= 0, z = 36.

	∫∫y2 sin	xy		dxdy;
3.26.		2
	D

	D: x = 0, y = π , y = x.
3.28.	∫∫y2e−xy/8dxdy;
	D
	D: x = 0, y = 4, y = 2x.
	∫∫y2 cos		xy	dxdy;

3.30.	D	2

D : x = 0, y = 2π , y = 2x.

∫∫∫x2 zsin(xyz) dx dy dz;

	V
4.2.	x	= 2, y = π , z =1,
	x	= 2, y = π , z =1,
	V	= 0, y =1, z = 0.
	x	= 0, y =1, z = 0.
	∫∫∫8y2 z e2xyz dx dy dz;
	V
4.4.	x	= −1, y = 2, z =1,
	x	= −1, y = 2, z =1,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫y2 zcos(xyz) dx dy dz;
	V
4.6.	x	=1, y = 2π , z = 2,
	x	=1, y = 2π , z = 2,
	V	= 0, y =1, z = 0.
	x	= 0, y =1, z = 0.

				π
	∫∫∫y2cos					xy dx dy dz;
		V		4
4.7.		V
4.7.		x	= 0, y			= −1, y = x 2,
		x	= 0, y			= −1, y = x 2,
	V		= 0,			= −π 2.
		z	= 0,		z	= −π 2.
	∫∫∫y2e−xy				dx dy dz;
		V
4.9.		x	= 0, y			= −2, y = 4x,
		x	= 0, y			= −2, y = 4x,
	V		= 0, z			=1.
		z	= 0, z			=1.
		∫∫∫y2ch(2xy) dx dy dz;
		V
4.11.		x		= 0, y =1, y = x,
		x		= 0, y =1, y = x,
		V		= 0, z = 8.
		z		= 0, z = 8.
		∫∫∫y2exy			2 dx dy dz;
		V
4.13.		x		= 0, y = 2, y = 2x,
		x		= 0, y = 2, y = 2x,
		V		= 0, z = −1.
		z		= 0, z = −1.
					π xy
		∫∫∫y2cos				dx dy dz;
		V				2
4.15.		V
4.15.		x		= 0, y = −1, y = x,
		x		= 0, y = −1, y = x,
		V		= 0, z = 2π 2.
		z		= 0, z = 2π 2.

∫∫∫y2cos(π xy) dx dy dz;

4.17.x = 0, y =1, y = 2x,

z = 0, z = π 2.V

∫∫∫x2sh(2xy) dx dy dz;

	V
4.19.	x = −1, y = x, y = 0,
	x = −1, y = x, y = 0,
	V
	z = 0, z = 8.

∫∫∫x2 zsin			xyz		dx dy dz;
∫∫∫x2 zsin					dx dy dz;
	V	4
4.8.	V
	x =1, y = 2π , z = 4,
V
	x = 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫2y2 z e2xyz dx dy dz;
	V
4.10.	x	=1, y =1, z =1,
	x	=1, y =1, z =1,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫x2 z sh(xyz) dx dy dz;
	V
4.12.	x	= 2, y =1, z =1,
	x	= 2, y =1, z =1,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫y2 zcos			xyz		dx dy dz;
	∫∫∫y2 zcos					dx dy dz;
	V	3
4.14.	V
	x = 3, y =1, z = 2π ,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫x2 z sh(xyz) dx dy dz;
	V
4.16.	x	=1, y = −1, z =1,
	x	=1, y = −1, z =1,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫2x2 z sh(2xyz) dx dy dz;
	V
4.18.	x	= 2, y =1 2, z =1 2,
	x	= 2, y =1 2, z =1 2,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫x2 z sin			xyz		dx dy dz;
	∫∫∫x2 z sin					dx dy dz;
	V	2
4.20.	V
	x =1, y = 4, z = π ,
	V	= 0, y = 0, z = 0.
	x	= 0, y = 0, z = 0.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2716 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб75Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб408Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб526Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб175ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб63ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб56ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc