Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кузнецов_математика

.pdf
Скачиваний:
408
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
2.87 Mб
Скачать

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

arctg x3 − x

2

sin

 

,

 

1.9. f (x) =

 

 

 

3x

 

x = 0.

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

x + arcsin x

 

sin

 

 

,

 

 

1.11. f (x) =

 

 

 

x

 

=0, x 0.

x ≠ 0;

 

5

 

 

1.10. f (x) = sin x cos

 

,

x ≠ 0;

x

 

x = 0.

 

 

0,

 

 

x ≠ 0;

 

 

(

)

 

1.12. f (x) = tg(2

x

2 cos 1 8x

 

−1+ x), x ≠ 0;

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

0, x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

arctgx sin

 

 

,

x ≠ 0;

 

1.13. f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 11

 

 

x ≠ 0;

x

 

cos

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

1.15. f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

lncos x

,

x ≠ 0;

 

 

 

1.17. f (x) =

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

ex2

− cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.19. f (x) =

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

x2 sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.21. f (x) = 3

 

 

 

x

−1+ 2x,

x ≠ 0;

0,

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ x

2

 

 

 

1

 

x ≠ 0;

2x

 

 

cos

 

 

,

 

 

 

 

1.14. f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

9x

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ x

2

 

 

 

1

 

 

x ≠ 0;

2x

 

 

cos

 

,

 

 

 

 

 

1.16. f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

+ xsin

1

 

 

x ≠ 0;

6x

 

,

 

 

 

1.18. f (x) =

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

xsin

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.20. f (x) = e

 

x −1,

x ≠ 0;

 

0,

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x

2

 

2

−1,

x ≠ 0;

1+ln

 

1

 

cos

 

 

 

 

1.22. f (x) =

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

xsin

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tgx − 2sin x

 

 

 

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.23. f (x) = e

 

5x −1,

x ≠ 0;

 

 

1.24. f (x) =

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

− x

2

 

 

1

 

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

sin

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.25. f (x) =

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.26. f (x) = e

 

 

 

 

 

 

−1+ x2 ,

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.27. f (x) = 3 1

− 2x3 sin

 

 

 

 

−1+ x,

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

1

 

 

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.28. f (x) =

x

 

e

 

 

sin

x2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

ln(1+ 2x2 + x3 )

, x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.29. f (x) =

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x − cos3x

,

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.30. f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− cos xsin

 

 

 

,

x ≠ 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.31. f (x) =

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение

касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой x0 .

2.1.

y = (4x − x2 )

4, x0 = 2.

2.2. y = 2x2 + 3x −1, x0

= −2.

 

y = x − x3, x

= −1.

 

 

 

 

2.3.

2.4. y = x2 + 8 x −32,

x = 4.

 

0

 

 

 

 

0

2.5. y = x +

 

 

 

 

x3 ,

x

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

2.6. y = 3 x2

20,

x

 

= −8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7. y =

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2.8. y = 84 x 70,

x

=16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9. y = 2x2 3x +1,

 

x0

=1.

 

 

 

 

 

2.10. y = (x2 3x + 6)

 

 

 

x2 ,

 

 

x0 = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.12. y = (x3 + 2)

(x3 2),

 

= 2.

2.11. y =

 

 

x 33

x,

 

 

 

x0

= 64.

 

 

 

 

x0

2.13. y = 2x

2 + 3,

 

x

 

= −1.

 

 

 

 

 

2.14. y =

x29

+ 6

 

,

 

x

 

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 +1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.15. y = 2x +

1

 

,

x0

=1.

 

 

 

 

 

 

2.16. y = −2(x8 + 2) (3(x4 +1)),

x0

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.17. y =

x5 +1

,

 

x

=1.

 

 

 

 

 

 

 

2.18. y =

x16 + 9

,

 

x

 

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 +1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15x2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.19. y = 3(3

 

 

2

 

 

),

x0 =1.

2.20. y =1 (3x + 2),

 

 

 

 

x0

= 2.

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

2.21. y = x (x2 +1),

 

 

 

x0 = −2.

2.22. y = (x2 3x + 3)

3,

x0

= 3.

2.23. y = 2x

 

(x2 +1),

 

x0 =1.

2.24. y = −2(3

 

+ 3

 

 

 

 

 

),

 

 

 

=1.

 

 

x

x

x0

2.25. y =

1+ 3x2

 

 

 

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

x

 

 

 

 

 

 

2.26. y =14

 

x 153

 

x + 2,

 

 

x

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3+ x2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.28. y = (3x 2x3 )

 

 

 

 

 

=1.

 

 

2.27. y = 34

x

 

x,

 

 

 

x0

=1.

 

 

 

 

 

3,

 

 

x0

 

 

2.29. y = x2

10 + 3,

 

 

 

x0 = 2.

 

 

 

 

 

2.30. y = (x2 2x 3)

4,

 

x0

= 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.31. y = 63

 

x 164

x

3,

 

x

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти дифференциал dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. y = xarcsin(1 x)+ ln

x +

 

x2 1

,

x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. y = tg(2arccos

 

 

 

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12x2

x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. y =

1+ 2x ln

x +

 

1+ 2x

.

3.4. y = x2 arctg

x2 1

 

x2 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5. y = arccos(11+ 2x2 ), x > 0.

3.7. y = arctg(sh x) + (sh x)lnch x.

3.9. y = ln(cos2 x + 1+ cos4 x).

3.11. y =

 

ln

x

 

 

1

ln

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

2

 

 

+ x2

 

1

 

2

1

3.13. y = x4 x2 + aarcsin(x2).

3.15. y = 2x + ln sin x + 2cos x .

3.17. y = ln

x +

x2 +1

 

 

.

 

 

2x

3.19.y = arctg x2 1. x

3.21. y = arctg tg x +1 .

2

3.23. y = ln cosx + x tgx.

3.25. y = x(sinln x cosln x).

3.27. y = cos x lntg x lntg x. 2

 

y =

 

 

(1+ x)arctg

 

 

 

 

3.29.

x

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.31.

y = x

 

 

x2 1 + ln

x +

x2 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.6. y = xln x + x2 + 3 x2 + 3.

3.8.y = arccos((x2 1)(x2 2)).

3.10.y = ln(x + 1+ x2 )1+ x2 arctg x.

3.12.y = ln(ex + e2x 1)+ arcsinex .

3.14. y = lntg(x2)xsin x.

3.16. y = ctg x tg3 x3.

x + 2

3.18. y = 3 x 2.

3.20. y = ln x2 1 1 . x2 1

3.22. y = ln 2x + 2x2 + x +1.

3.24. y = ex (cos2x + 2sin2x).

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

x1

 

3.26. y =

x 1

 

e

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3.28. y = 3+ x2 xln x + 3+ x2 .

3.30. y = xarctg x ln 1+ x2 .

Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.

y = 3 x,

x = 7,76.

4.2.

y = 3

x3 + 7x, x =1,012.

 

y = (x +

 

 

) 2, x = 0,98.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3.

 

5 x2

4.4.

y = 3

x, x = 27,54.

12x12

4.5. y = arcsin x, x = 0,08.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.7. y = 3 x,

x = 26,46.

4.9. y = x11, x =1,021.

4.11. y = x21,

x = 0,998.

4.13. y = x6 ,

x = 2,01.

4.15. y = x7 ,

x =1,996.

 

 

 

 

 

 

4.17. y =

4x 1, x = 2,56.

4.19. y = 3

 

 

 

x = 8,36.

x,

4.21. y = x7 ,

x = 2,002.

4.23. y =

 

 

x = 0,98.

x3 ,

4.25. y = 5

 

 

x =1,03.

x2 ,

 

 

 

4.27. y =

1+ x + sin x, x = 0,01.

 

y = 4

 

 

 

, x =1,02.

4.29.

2x sin(π x 2)

 

 

 

 

4.31.

y =1 2x +1, x =1,58.

Задача 5. Найти производную.

5.1. y = 2(3x3 + 4x2 x 2). 151+ x

x4 8x2

5.3. y = 2(x2 4).

5.5. y = (1+ x8 )1+ x8 .

5.7. y = (x2 6)(4 + x2 )3 . 120x5

4.6. y = 3

x2 + 2x + 5,

 

x = 0,97.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.8. y =

x2 + x + 3,

x =1,97.

4.10. y = 3

 

 

 

 

x =1,21.

x,

4.12. y = 3

 

 

 

x =1,03.

x2 ,

4.14. y = 3

 

 

 

x = 8,24.

x,

4.16. y = 3

 

 

 

x = 7,64.

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

4.18. y =1

 

 

2x2 + x +1, x =1,016.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.20. y =1

 

 

x , x = 4,16.

 

 

 

 

 

 

 

4.22. y =

 

4x 3,

x =1,78.

4.24. y = x5,

x = 2,997.

4.26. y = x4 ,

x = 3,998.

 

 

 

 

 

 

4.28. y = 3 3x + cos x,

 

x = 0,01.

 

 

 

 

 

4.30. y =

 

x2 + 5,

x =1,97.

5.2. y = (2x2 1)1+ x2 . 3x3

5.4. y = 2x2 x 1. 32 + 4x

x2

5.6.y = . 2 13x4

5.8. y = (x2 8)x2 8 . 6x3

5.9. y =

 

4

+ 3x3

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x3

(

2 + x3 )2

5.11. y = x6 + x3 2.

 

 

 

1x3

5.13. y =

 

1+ x2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

1+ 2x2

5.15. y = (1+ x2 )3 . 3x3

5.17.y = 2x + 3(x 2). x2

5.19. y = (2x2 + 3)x2 3 . 9x3

5.21.y = (2x +1)x2 x . x2

5.23. y =

1

 

.

 

 

 

(x + 2)

 

 

x2 + 4x + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.25. y = 3 3

 

(x +1)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.27. y =

x

x +1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + x +1

5.29. y = (x + 3)

 

 

.

 

2x 1

 

 

 

2x + 7

5.31. y =

3x6

+ 4x4 x2 2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 1+ x2

5.10. y = 3 (1+ x34 )2 .

x32

5.12. y = (x2 2)4 + x2 . 24x3

5.14. y = x 1(3x + 2). 4x2

5.16. y = x6 + 8x3 128. 8 x3

5.18. y = (1x2 )5x3 + 1. x

x 1

5.20. y = (x2 + 5) x2 + 5 .

5.22. y = 2

1

x

 

.

 

 

 

1+

x

5.24.y = 3 3x2 + x +1. x +1

x + 7

5.26. y = . 6 x2 + 2x + 7

5.28. y =

 

x2 + 2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x

4

2

 

 

5.30. y = 3x + x . x2 + 2

Задача 6. Найти производную.

6.1. y = x ln(2 + ex + 2e2x + ex +1).

6.3. y = 1 arctg ex 3.

22

6.5.y = 2 ex +1 + ln ex +1 1.

ex +1 +1

6.7. y = 12 ln(e2x +1)2arctgex.

 

 

(

 

arctg

 

)

 

2

2x 1

2x 1

6.9. y =

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

ln2

6.2. y = e2x (2 sin2x cos2x)8.

11+ 2x

6.4.y = ln4 ln12x .

6.6. y = 23 (arctgex )3 .

6.8. y = ln

(

ex +1 +

18e2x

+ 27ex

+11

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

(

)

3

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.10. y = 2(x 2)

 

 

 

 

 

 

1+ ex

1

.

1+ ex 2ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ ex

+1

 

6.11. y =

eαx (α sin β x β cosβ x)

6.12. y =

eαx

(β sin β x α cosβ x)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

.

 

 

α2 + β 2

 

 

 

α2 + β 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

acos2bx + 2bsin2bx

 

 

 

 

 

6.13. y = eax

 

+

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2(a2

+ 4b2 )

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.14. y = x +

1

ln(1+ ex ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ ex

 

6.15. y = x 3ln (1+ ex6 )1+ ex3 3arctgex6.

6.16. y = x +

 

8

.

 

+ ex 4

1

 

6.17. y = ln(ex + e2x 1)+ arcsinex.

6.18.y = x ex arcsinex ln(1+ 1e2x ).

6.19.y = x ln(1+ ex )2ex2 arctgex2 (arctgex2 )2 .

ex3

6.20. y = 1+ x3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a

 

 

6.21. y =

 

 

 

 

 

 

 

arctg emx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

ab

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.23. y = ln

 

 

 

1+ ex + e2x ex 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ ex + e2x ex +1

 

 

6.25. y =

ex

 

 

 

2

1)cos x + (x 1)

2

 

2

 

(x

 

 

 

 

sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.22. y = 3e3x (3x2 23x + 2).

 

sin x

1

6.24. y = e

x

 

.

 

 

 

cos x

6.26. y = arctg(ex ex ).

6.27. y = 3e3x (3x5 53x4 + 20x 603x2 +1203x 120).

e3x

6.28. y = − 3sh3 x.

 

 

 

2

 

(

 

)

 

 

 

 

6.30. y = −

1

ex2

 

 

 

 

6.29. y = arcsinex 1e2x .

 

 

x4 + 2x2 + 2

 

.

ex2

6.31.y = 1+ x2 .

Задача 7. Найти производную.

7.1. y = x ln(x + x + a )x + a.

7.3. y = 2x 4ln(2 + x ).

7.5. y = ln(x + x +1).

7.7. y = ln2 (x + cos x).

x2

7.9.y = ln1x2 .

7.11. y = ln 4 1+ 2x. 12x

2x + 4 7.13. y = lnsin x +1 .

7.2. y = ln(x + a2 + x2 ).

7.4. y = ln x2 . 1ax4

a2 + x2

7.6. y = ln a2 x2 .

7.8. y = ln3 (1+ cos x).

 

π

 

 

x

 

 

 

 

7.10. y = lntg

+

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

7.12. y = x +

1

 

ln

2

 

+ aπ

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x +

2

 

 

7.14. y = log16 log5tg x.

2

.

7.15. y = log4 log2tg x.

7.17. y = lncos

2x + 3

.

 

 

 

 

 

 

 

x +1

7.19. y = log

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x4

 

1

7.21. y = lnarcsin 1e2x .

7.23. y = ln(bx + a2 + b2 x2 ).

1

7.25.y = ln arccos .

x

7.27. y = ln 5 + tg(x2). 5 tg(x2)

7.29. y = lnlnsin(1+1x).

7.31. y = lnln2 ln3 x.

Задача 8. Найти производную.

8.1. y = sin 3 + 1 sin2 3x.

3cos6x

8.3.y = tglg 1 + 1 sin2 4x. 3 4 cos8x

8.5. y = cossin5 sin2 2x. 2cos4x

8.7. y = cosln7 sin2 7x. 7cos14x

8.9. y = ctg(cos2)+ 1 sin2 6x .

 

 

 

 

 

6 cos12x

8.11. y =

1

 

 

1

 

+

 

1 sin2 10x

 

 

cos tg

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

10 cos20x

7.16. y = x(cosln x + sinln x)2.

7.18. y = lgln(ctg x).

7.20. y = 12 ln(2 tg x + 1+ 2tg2 x).

7.22. y = lnarccos1e4x .

7.24. y = ln x2 +1 + x2 . x2 +1 x2

7.26. y = ln(ex + 1+ e2x ).

7.28. y = ln ln x . sin(1x)

7.30. y = lnln3 ln2 x.

8.2. y = cosln2 1 cos2 3x.

3sin6x

8.4.y = ctg 35 1 cos2 4x. 8 sin8x

8.6. y = sincos3 cos2 2x. 4sin4x

8.8. y = cos(ctg2)1 cos2 8x. 16 sin16x

8.10. y = 3 ctg2 1 cos2 10x. 20 sin20x

8.12. y = lnsin 1 1 cos2 12x.

224 sin24x

8.13. y = 8sin(ctg3)+ 1 sin2 5x . 5 cos10x

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

cos tg

 

 

 

sin

 

 

15x

 

 

 

 

 

 

8.15. y =

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

.

 

15cos30x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

ctg sin

 

 

 

 

 

 

 

17x

 

 

 

 

 

 

 

8.17. y =

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

17cos34x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.19. y =

tg(ln2) sin2 19x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

19cos38x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 21x

.

 

8.21. y = tg4 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21cos42x

8.23. y = lncos

1

+

 

sin2 23x

.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

23cos46x

8.25. y = sinln2 + sin2 25x . 25cos50x

8.27. y = 7 tg(cos2) + sin2 27x . 27cos54x

8.29. y = cos2 sin3+ sin2 29x . 29cos58x

8.31. y = tg cos(1 3) + sin2 31x . 31cos62x

Задача 9. Найти производную.

8.14. y =

cos(ctg3) cos2 14x

 

 

 

 

 

 

 

.

28sin28x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

2

 

 

 

 

sin tg

 

 

 

16x

 

 

 

8.16. y =

 

7

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

32sin32x

8.18. y = 5ctg2 cos2 18x. 36sin36x

8.20. y = ctg(cos5)1 cos2 20x. 40 sin40x

8.22. y = cos(ln13)1 cos2 22x. 44 sin44x

 

1

 

 

 

1 cos2 24x

8.24. y = ctg sin

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

13

 

 

48 sin48x

8.26. y = 3cos2 1 cos2 26x. 52 sin52x

8.28. y = sin 3 tg2 cos2 28x . 56sin56x

8.30. y = sin3 cos2 cos2 30x . 60sin60x

9.1. y = arctg

tg x

ctg x

.

 

 

 

 

9.2. y = arcsin

 

 

x

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

2x 1

 

 

+

9

arcsin

2x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3. y =

 

2 + x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

8

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.4. y = arctg

 

1+ x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x