Кузнецов_математика
.pdfV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теоретические вопросы
1.Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования
иединственности решения задачи Коши.
2.Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.
3.Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.
4.Уравнения в полных дифференциалах.
5.Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.
6.Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
7.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
8.Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.
9.Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
10.Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.
11.Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
12.Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.
13.Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
14.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).
15.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).
16.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
Теоретические упражнения
1. Пусть y1 — решение дифференциального уравнения L[y] = 0. Показать, что
введение новой искомой функции u = yy1 приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка.
2.Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения y′ = f (x, y).
3.Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения y′ = f (x, y), соответствующие максимумам и минимумам. Как
отличить максимум от минимума?
4. Линейное дифференциальное уравнение останется линейным при замене независимой переменной x = ϕ (t), где функция ϕ (t) произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз: Доказать это утверждение для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
5. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейный при преобразовании искомой функции
y = α (x)z + β (x).
Здесь z — новая искомая функция, α (x) и β (x) — произвольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.
6. Составить общее .решение уравнения y′ + p(x)y = 0, если известно ненулевое частное решение y1 этого уравнения.
7. Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции y1 (x) и
y2 (x) являются решениями линейного дифференциального уравнения.
y y1 y2
y′ y1′ y2′ = 0. y′′ y1′′ y2′′
8. Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения y1 = x, y2 = x2 .
Показать, что функции x и x2 линейно -независимы в интервале (−∞, ∞).
5.10. (3ycos2y − 2y2 sin2y − 2x)y′ = y, |
|
|
|
|
|
= π 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.11. 8(4y3 + xy − y)y′ =1, |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
x=16 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.12. (2ln y − ln2 y)dy = ydx − xdy, |
|
|
|
|
|
|
|
= e2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.13. 2(x + y4 )y′ = y, y |
|
|
|
|
= −1. |
|
|
|
|
|
|
x=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.14. y3 (y −1)dx + 3xy2 (y −1)dy = (y + 2)dy, |
|
|
= 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.15. 2y2dx + (x + e1 y )dy = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
=1 4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
x=e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5.16. (xy + |
|
|
|
)dy + y2dx = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y |
|
y |
|
x=−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5.17. sin2ydx = (sin2 2y − 2sin2 y + 2x)dy, |
|
y |
|
x=−1 2 |
= π 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.18. (y2 + 2y − x)y′ =1, |
|
y |
|
x=2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.19. 2y |
ydx − (6x y + 7)dy = 0, |
|
y |
|
x=−4 |
=1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5.20. dx = (sin y + 3cos y + 3x)dy, |
|
|
|
|
= π 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
x=eπ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.21. 2(cos2 y cos2y − x)y′ = sin2y, |
|
|
y |
|
|
|
= 5π 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.22. ch ydx = (1+ xsh x)dy, |
|
y |
|
x=1 = ln2. |
|
x=3 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5.23. (13y3 − x)y′ = 4y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.24. y2 (y2 + 4)dx + 2xy(y2 + 4)dy = 2dy, |
|
|
|
|
|
|
= 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
x=π 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.25. (x + ln2 y − ln y)y′ = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2, |
|
|
|
|
|
y |
|
x |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.26. (2xy + |
|
|
|
|
)dy + 2y2dx = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
x=−1 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.27. ydx + ( |
2x − 2sin2 y − ysin2y)dy = 0, |
|
|
|
|
= π 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.28. 2(y3 − y + xy)dy = dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
x=3 2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
x=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.29. (2y + xtg y − y2 tg y)dy = dx, |
|
y |
|
|
x=0 |
|
= π. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.30. 4y2dx + (e1 (2 y) + x)dy = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
x=e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.31. dx + (2x + sin2y − 2cos2 y)dy = 0, |
|
|
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача 6. Найти решение задачи Коши. |
|
|
x=−1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6.1. y′ + xy = (1+ x)e−x |
y2 , |
|
|
y(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.2. xy′ + y = 2y2 ln x, |
y(1) =1 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6.3. 2 |
(xy′ + y) = xy2 , |
y(1) = 2. |
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.4. y′ + 4x3 y = 4 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x3 +1 e−4x |
y2 , |
|
y |
|
0 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6.5. xy′ − y = −y2 (ln x + 2)ln x, |
|
|
y(1) =1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.6. 2 |
(y′ + xy) = (1+ x)e−x |
|
y2 , |
|
|
y( |
0) = 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6.7. 3 |
(xy′ + y) = y2 ln x, |
y(1) = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6.8. 2y′ + ycos x = y−1 cos x(1+ sin x), |
|
y(0) =1. |
|||||||||||||||||||||||||||
6.9. y′ + 4x3 y = 4y2 e4x |
( |
− x3 |
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
= −1. |
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
, |
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
6.10. 3y′ + 2xy = 2xy−2 e−2x2 |
, |
|
|
y(0) = −1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.11. 2xy′ − 3y = − |
( |
5x2 |
+ |
|
) |
y3, |
|
( |
) |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
y 1 |
|
2. |
|
|
||||||||||||||||||||
6.12. 3xy′ + 5y = (4x − 5)y4 , |
|
|
y(1) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.13. 2y′ + 3ycos x = e2x (2 + 3cos x)y−1, |
y(0) =1. |
||||||||||||||||||||||||||||
6.14. 3(xy′ + y) = xy2 , |
y(1) = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.15. y′ − y = 2xy2 , y(0) =1 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.16. 2xy′ − 3y = − |
( |
20x2 +12 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
3 |
, |
|
y 1 |
=1 2 |
2. |
|||||||||||||||||||
6.17. y′ + 2xy = 2x3 y3, |
y(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.18. xy′ + y = y2 ln x, |
y(1) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.19. 2y′ + 3ycos x = (8 +12cos x)e2x |
y−1, |
|
y(0) = 2. |
||||||||||||||||||||||||||
6.20. 4y′ + x3 y = (x3 + 8)e−2x |
y2 , |
|
y(0) =1. |
|
|