Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Кузнецов_математика

.pdf

Скачиваний:

412

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

15.13. y′′ − y′ = 2ch x.

15.14.y′′ + 25y = 20cos5x −10sin5x + 50e5x .

15.15.y′′′ −16y′ = 48e4x + 64cos4x − 64sin4x.

15.16.y′′ + 2y′ = 2sh2x.

15.17.y′′ + 36y = 24sin6x −12cos6x + 36e6x .

15.18.y′′′ − 25y′ = 25(sin5x + cos5x) − 50e5x .

15.19.y′′ + 3y′ = 2sh3x.

15.20.y′′ + 49y =14sin7x + 7cos7x − 98e7x .

15.21.y′′′ − 36y′ = 36e6x − 72(cos6x + sin6x).

15.22.y′′ + 4y′ =16sh4x.

15.23.y′′ + 64y =16sin8x −16cos8x − 64e8x .

15.24.y′′′ − 49y′ =14e7x − 49(cos7x + sin7x).

15.25.y′′ + 5y′ = 50sh5x.

15.26.y′′ + 81y = 9sin9x + 3cos9x +162e9x .

15.27.y′′′ − 64y′ =128cos8x − 64e8x .

15.28.y′′ + y′ = 2sh x.

15.29.y′′ +100y = 20sin10x − 30cos10x − 200e10x .

15.30.y′′′ − 81y′ =162e9x + 81sin9x.

15.31.y′′′ −100y′ = 20e10x +100cos10x.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

16.1.	y′′ +π 2 y = π 2	cosπ x, y(0) = 3,		y′(0) = 0.
16.2.	y′′ + 3y′ = 9e3x	(1	+ e3x ), y(0) = ln4, y′(0) = 3(1− ln2).
16.3.	y′′ + 4y = 8ctg2x,		y(π 4) = 5,	y′(π 4) = 4.
16.4.	y′′ − 6y′ + 8y = 4 (1+ e−2x ), y(0) =1+ 2ln2, y′(0) = 6ln2.

16.5. y′′ − 9y′ +18y = 9e3x

(1+ e−3x ),

y(0) = 0,

y′(0) = 0.

16.6. y′′ +π 2 y = π 2 sinπ x =1,

y(1 2),

y′(1 2) = π 2

16.7. y′′ +

0) = 2,

y′(0) = 0.

π 2 cos(x π )

π 2

16.8. y′′ − 3y′ =

9e−3x

0) = 4ln4,

y′(

0) = 3(3ln4 −1).

3+ e−3x

16.9. y′′ + y = 4ctg x,

y(π 2) = 4,

y′(π 2) = 4.

16.10. y′′ − 6y′ + 8y = 4 (

2 + e−2x ),

y(0) =1+ 3ln3,

y′(0) =10ln3.

16.11. y′′ + 6y′ + 8y = 4e−2x

(2 + e2x ),

y(0) = 0,

y′(

0) = 0.

16.12. y′′ + 9y = 9 sin3x,

y(π 6) = 4,

y′(π 6) = 3π 2.

16.13. y′′ + 9y = 9 cos3x,

y(0) =1,

y′(0) = 0.

16.14. y′′ − y′ = e− x (2 + e−x ),

y(0) = ln27,

y′(0) = ln9 −1.

16.15. y′′ + 4y = 4ctg2x,

y(π 4) = 3,

y′(π 4) = 2.

16.16. y′′ − 3y′ + 2y =

y(0) =1+ 8ln2,

y′(

0) =14ln2.

3+ e− x

16.17. y′′ − 6y′ + 8y = 4e2x

(1+ e−2x ),

y(0) = 0,

y′(0) = 0.

16.18. y′′ +16y =16 sin4x,

y(π 8) = 3,

y′(π 8) = 2π.

16.19. y′′ +16y =16 cos4x,

0) = 3,

y′(0) = 0.

16.20. y′′ − 2y′ = 4e−2x

(1+ e−2x ),

0) = ln4,

y′(0) = ln4 − 2.

16.21. y′′ +

ctg(x 2),

y(π ) = 2,

y′(π ) =1 2.

16.22. y′′ − 3y′ + 2y =1

(2 + e− x ),

0) =1+ 3ln3,

y′(0) = 5ln3.

16.23. y′′ + 3y′ + 2y = e−x

(

2 + ex ),

0) = 0,

y′(0) = 0.

16.24. y′′ + 4y = 4 sin2x,

y(π 4) = 2,

y′(π 4) = π.

16.25. y′′ + 4y = 4 cos2x,

0) = 2,

y′(0) = 0.

16.26.	y′′ + y′ = ex (2 + ex ), y(0) = ln27, y′(0) =1− ln9.
16.27.	y′′ + y = 2ctg x,	y(π 2) =1,		y′(π 2) = 2.
16.28.	y′′ − 3y′ + 2y =1 (1+ e−x ),		y(0) =1+ 2ln2, y′(0) = 3ln2.
16.29.	y′′ − 3y′ + 2y = ex	(1+ e−x ),		y(0) = 0, y′(0) = 0.
16.30.	y′′ + y =1 sin x,	y(π 2) =1,		y′(π 2) = π 2.
16.31.	y′′ + y =1 cos x,	y(0) =1,	y′(0) = 0.

VI. РЯДЫ

Теоретические вопросы

1.Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2.Теоремы сравнения.

3.Признаки Даламбера и Коши.

4.Интегральный признак сходимости ряда.

5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

7.Понятие равномерной сходимости.

8.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы

ряда.

12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14.Разложение по степеням x бинома (1+ x)m . 15.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням x функций ex , cos x, sin x, ln(1+ x).

Теоретические упражнения.

∞	∞	∞
1. Ряды ∑an	и ∑bn	сходятся. Доказать, что ряд ∑cn сходится, если
n=1	n=1	n=1
an ≤ cn ≤ bn .

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства 0 ≤ cn − an ≤ bn − an .

∞	∞
2. Ряд ∑an	(an ≥ 0) сходится. Доказать, что ряд ∑an2 тоже сходится.
n=1	n=1

Показать, что обратное утверждение неверно.

∞

Ряды ∑an2

и ∑bn2

сходятся. Доказать, что ряд ∑

тоже сходится.

n=1

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство

≤ a2 + b2 .

∞

Ряды ∑an2

и ∑bn2 сходятся.

Доказать, что ряд

∑(an + bn )2

тоже

n=1

сходится.

∞

Пусть ряд

∑an

сходиться и

lim

=1. Можно

ли

утверждать,

что

n=1

n→∞ b

∞

сходиться ряд ∑bn ?

n=1

∑∞ (−1)n

Рассмотреть пример

n=1 n


∞		n
и ∑ (−1)			1
		+		.

n=1	n		n

∞

6. Пусть ряд ∑ fn (x) сходиться равномерно на отрезке [a, b]. Доказать, что

n=1

∞

ряд ∑ fn (x) так же сходиться равномерно на этом отрезке.

n=1

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно, б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно? Рассмотреть примеры:

∞

(−1)

a) ∑

, отрезок [a, b] произвольный;

n + x2

n=1

∞

(

)

[

]

б)

∑

, отрезок

x 1− x2

0, 1 .

n=1

∞

8. Показать, что функция

f (x)

= ∑

sinnx

всюду непрерывна.

n=1 10

∞

sinn

9. Доказать, что ряд ∑

сходится равномерно в интервале (−∞, + ∞).

n=1

Можно ли его дифференцировать в этом интервале?

∞

10. Доказать, что если ряд ∑cn e−nx сходиться в точке x0 , то он сходиться

n=1

абсолютно x > x0 .

Расчетные задания. Задача 1. Найти сумму ряда.

	∞			6
1.1.	∑			6							.


	n=1	9n2		+12n − 5
	∞			6
1.3.	∑			6				.

		9n2		+ 6n −			8
	n=1	9n2		+ 6n −			8
	∞			2
1.5.	∑			2				.

		4n2		+ 8n +
	n=0	4n2		+ 8n +			3
	∞			3
1.7.	∑			3					.

		9n2		+ 3n −
	n=1	9n2		+ 3n −			2
	∞			1
1.9.	∑			1		.
1.9.	∑	n2 + n −			2	.
	n=2	n2 + n −			2
	∞			6
1.11. ∑				6											.

			36n2 − 24n −									5
	n=1		36n2 − 24n −									5
	∞			4
1.13 ∑				4						.

		4n2		+ 4n −
	n=1	4n2		+ 4n −			3
	∞			9
1.15. ∑				9								.

			9n2	+ 3n − 20
	n=1		9n2	+ 3n − 20
	∞			8
1.17. ∑				8										.


	n=1		16n2 − 8n −15
	∞			5
1.19. ∑				5									.

			25n2 + 5n − 6
	n=1		25n2 + 5n − 6
	∞			7
1.21. ∑				7												.

			49n2 − 35n −
	n=1		49n2 − 35n −									6


	∞			24
1.2.	∑			24				.

		9n2 −12n − 5
	n=2	9n2 −12n − 5
	∞			9
1.4.	∑			9					.


	n=1	9n2 + 21n − 8
	∞			14
1.6.	∑			14									.

		49n2 −			28n −			45
	n=1	49n2 −			28n −			45
	∞			7
1.8.	∑			7						.


	n=1	49n2 −			7n −12
	∞			14
1.10. ∑				14												.


	n=1		49n2 −14n − 48
	∞			14
1.12 ∑				14								.

		49n2 −			84n −
	n=1	49n2 −			84n −			13
	∞			7
1.14 ∑				7							.

		49n2 +			35n −			6
	n=1	49n2 +			35n −			6
	∞			14
1.16 ∑				14										.

		49n2 −			42n −			40
	n=1	49n2 −			42n −			40
	∞				7
1.18. ∑					7										.


	n=1		49n2 − 21n −10
	∞			6
1.20. ∑				6		.
1.20. ∑						.
	n=1		4n2 − 9
	∞			1
1.22. ∑				1			.
1.22. ∑							.
	n=2		n2	+ n − 2

∞			12
1.23. ∑			12				.


n=2		36n2	+12n − 35
∞			3
1.25 ∑			3	.

	9n2 − 3n − 2
n=1	9n2 − 3n − 2
∞			8
1.27. ∑			8		.

		16n2	+ 8n −	15
n=1		16n2	+ 8n −	15
∞			12
1.29. ∑			12			.


n=1		36n2	−12n − 35
∞			14
1.31. ∑			14					.


n=1		49n2	− 70n − 24

Задача 2. Найти сумму ряда.

∞

4 − 5n

2.1.

∑

n(n −1)(n − 2)

n=3

∞

5n + 3

2.3.

∑

n(n +1)(n + 3)

n=1

∞

2.5.

∑

n(n +1)(n + 3)

n=1

∞

2.7. ∑

n=1 n(n + 2)(n + 3)

∞

3n − 2

2.9.

∑

n(n +1)(n + 2)

n=1

∞

5n − 2

2.11. ∑

(n −1)n(n +

n=3

∞

3n + 2

2.13. ∑

n(n +1)(n +

n=1

∞

8n −10

2.15. ∑

(n −1)(n − 2)(n +1)

n=3

∞		7
1.24. ∑		7			.


n=1	49n2	+ 21n −10
∞		5
1.26. ∑		5	.

	25n2	− 5n − 6
n=1	25n2	− 5n − 6
∞		14
1.28. ∑		14				.

	49n2	− 56n −
n=1	49n2	− 56n −	33
∞		7
1.30. ∑		7		.


n=1	49n2	+ 7n −12

∞

n + 6

2.2

∑

3)(n + 2)

n=1 n(n +

∞

4n − 2

∑n=3

2.4.

(n2 −1)(n − 2)

∞

3n − 5

2.6.

∑n=3

n(n2 −1)

∞

2.8. ∑

n=3 n(n2 − 4)

∞

n + 2

2.10. ∑

n(n −1)(n − 2)

n=3

∞

2.12. ∑

(n +

2)(n +1)n

n=1

∞

n + 5

2.14. ∑n=3

(n2 −1)(n + 2)

∞

3n −1

2.16. ∑n=3

n(n2 −1)

5n + 9

∞		n − 4
2.17. ∑					.			2.18.
		n(n −1)(n − 2)
n=3
∞		5n − 2
2.19. ∑						.		2.20.
		(n −1)n(n + 2)
n=2
∞		3n + 4
2.21. ∑							.	2.22.
		n(n +1)(n + 2)
n=1
∞		n + 6
2.23. ∑							.	2.24.
		n(n +1)(n + 2)
n=1
∞
2.25. ∑n=2	1		.					2.26.
	n(n2 −1)
∞		3n +1
2.27. ∑				.				2.28.
		(n −1)n(n +1)
n=3
∞		4
2.29. ∑					.			2.30.

		n(n −1)(n − 2)
n=3
∞		3n + 8
2.31. ∑							.
		n(n +1)(n + 2)
n=1

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

∞

∑n=1 n(n +1)(n + 3) .

∞		n −1
∑n=1					.
		n(n +1)(n + 2)
∞		2 − n
∑n=3					.
		n(n +1)(n + 2)
∞		n − 2
∑n=3			.
		(n −1)n(n +1)
∞		1− n
∑n=1				.
		n(n +1)(n + 3)
∞		4 − n
∑n=1					.
	n(n +1)(n + 2)
∞		3− n
∑n=1				.
		(n + 3)(n +1)n

∞

sin

3.1.

∑

n=1

∞

cos

(nπ 2)

3.3.

∑

n(n +1)(n + 2)

n=1

∞

2 + (−1)n

3.5.

∑

n=1

n − lnn

∞

n(2 + cosnπ )

3.7.

∑

n=1

2n2 −1

∞

2 + (−1)

3.2.

∑nsin

n=1

∞

lnn

3.4.

∑

n=1

3 n7

(−1)n

∞

arctg

3.6.

∑

n3 + 2

n=1

∞

arcsin

n −1

3.8.

∑

n=2

3 n3 − 3n

∞

3.9. ∑

sin

n=1 n2 +1

arccos

(−1)n n

∞

n +1

3.11. ∑

n=2

n2 + 2

∞

nlnn

3.13. ∑

n=2

n2 − 3

∞

2 + (−1)

3.15. ∑

sin

π .

4 n3

n=2

∞

1+ sinπ n

3.17. ∑

n=1

(2 + cos

nπ

∞

)

3.19. ∑

4 n7 + 5

n=1

∞

3.21. ∑

sin

n=1

∞

3.23. ∑

n=3 n2 lnn + 3 ln2 n

∞

sin

2n +1

3.25. ∑

n=1

+ sin

π n

∞

3+ (−1)n

3.27. ∑

n+2

n=1

∞arcctg(−1)n

3.29.∑ (2 + n2 ) .n=1 n

∞

+ 3n

3.10. ∑

n=2

n2 − n

∞

ncos

3.12. ∑

n=1

n3 + 5

+ 3

∞

3.14. ∑n=1

n3 (

2 + sin(nπ 2))

∞

lnn

3.16. ∑

n=1

n3 + n +1

∞

cos

2 π n

3.18. ∑

n=1

3n + 2

∞

2 + sin

nπ

3.20. ∑

ctg

n=1

∞

lnn

3.22. ∑

n=1

n5 + n

∞

arctg

n2 −1

3.24. ∑

n=1

n2 − n

∞ 2cos 2π

3.26. ∑ 3n .

n=2 4 n4 −1

∞	arctg		2 + (−1)n
3.28. ∑					.
3.28. ∑	ln(1+ n)				.
n=1	ln(1+ n)
	arcsin	3+ (−1)n
∞
∞			4
3.30. ∑			4	.
3.30. ∑	2n + n			.
n=1	2n + n

∑∞ n3 + 2

3.31. n=1 n2 sin2 n .

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

∞

4.1. ∑

5n−1 + n −1

n=1

∞

+ 5

4.3. ∑ln

n=1

n2 + 4

∞

4.5. ∑

arctg

n −

n=2

3 n −1

∞

+ 2

4.7. ∑

n5 + sin2n

n=1

∞

4.9. ∑

n=1

n − cos2 6n

∞

4.11. ∑

arctg

n=1

3 n

∞

4.13. ∑

sin

n=2

3 n +

−1

∞

(e1

−1).

4.15. ∑

n +

n=1

∞

4.17. ∑

narctg

n=1

∞

4.19. ∑n3tg5 π .

n=3

∞

4.21. ∑ 1

− cos

n=1

∞

(n3−1)

4.23. ∑ e

−1 .

n=2

∞

4.2. ∑

n=1

∞

4.4. ∑

sin

n=1

4.6. ∑∞

(n2 + 3)2

n=1 n5 + ln4 n

∞

+ cosn

4.8. ∑

n=1

3n + sinn

∞

4.10. ∑

sin

5 n +

n=1

∞

4.12. ∑

n=1

n2 − lnn

∞

n + 3

4.14 ∑

arctg

n=1

3 n +

n2 + 5

∞

4.16. ∑ln

n=1

n2 + n + 2

∞

4.18. ∑ln

n=1

n3 +

∞

n +1

4.20. ∑

−1)(n4 n3 −1)

n=2

∞

3 n

4.22. ∑sin

n5 + 2

n=1

∞

2n +1

4.24. ∑sin

(n +1)

n=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб75Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб412Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб527Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб177ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб58ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб66ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc