Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

# Кузнецов_математика

.pdf
Скачиваний:
412
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
2.87 Mб
Скачать

15.13. y′′ − y′ = 2ch x.

15.14.y′′ + 25y = 20cos5x 10sin5x + 50e5x .

15.15.y′′′ −16y′ = 48e4x + 64cos4x 64sin4x.

15.16.y′′ + 2y′ = 2sh2x.

15.17.y′′ + 36y = 24sin6x 12cos6x + 36e6x .

15.18.y′′′ − 25y′ = 25(sin5x + cos5x) 50e5x .

15.19.y′′ + 3y′ = 2sh3x.

15.20.y′′ + 49y =14sin7x + 7cos7x 98e7x .

15.21.y′′′ − 36y′ = 36e6x 72(cos6x + sin6x).

15.22.y′′ + 4y′ =16sh4x.

15.23.y′′ + 64y =16sin8x 16cos8x 64e8x .

15.24.y′′′ − 49y′ =14e7x 49(cos7x + sin7x).

15.25.y′′ + 5y′ = 50sh5x.

15.26.y′′ + 81y = 9sin9x + 3cos9x +162e9x .

15.27.y′′′ − 64y′ =128cos8x 64e8x .

15.28.y′′ + y′ = 2sh x.

15.29.y′′ +100y = 20sin10x 30cos10x 200e10x .

15.30.y′′′ − 81y′ =162e9x + 81sin9x.

15.31.y′′′ −100y′ = 20e10x +100cos10x.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

 16.1. y′′ +π 2 y = π 2 cosπ x, y(0) = 3, y′(0) = 0. 16.2. y′′ + 3y′ = 9e3x (1 + e3x ), y(0) = ln4, y′(0) = 3(1− ln2). 16.3. y′′ + 4y = 8ctg2x, y(π 4) = 5, y′(π 4) = 4. 16.4. y′′ − 6y′ + 8y = 4 (1+ e−2x ), y(0) =1+ 2ln2, y′(0) = 6ln2.
 16.5. y′′ − 9y′ +18y = 9e3x (1+ e−3x ), y(0) = 0, y′(0) = 0. 16.6. y′′ +π 2 y = π 2 sinπ x =1, y(1 2), y′(1 2) = π 2 2. 16.7. y′′ + 1 y = 1 , y( 0) = 2, y′(0) = 0. π 2 cos(x π ) π 2 16.8. y′′ − 3y′ = 9e−3x , y( 0) = 4ln4, y′( 0) = 3(3ln4 −1). 3+ e−3x 16.9. y′′ + y = 4ctg x, y(π 2) = 4, y′(π 2) = 4. 16.10. y′′ − 6y′ + 8y = 4 ( 2 + e−2x ), y(0) =1+ 3ln3, y′(0) =10ln3. 16.11. y′′ + 6y′ + 8y = 4e−2x (2 + e2x ), y(0) = 0, y′( 0) = 0. 16.12. y′′ + 9y = 9 sin3x, y(π 6) = 4, y′(π 6) = 3π 2. 16.13. y′′ + 9y = 9 cos3x, y(0) =1, y′(0) = 0. 16.14. y′′ − y′ = e− x (2 + e−x ), y(0) = ln27, y′(0) = ln9 −1. 16.15. y′′ + 4y = 4ctg2x, y(π 4) = 3, y′(π 4) = 2. 16.16. y′′ − 3y′ + 2y = 1 , y(0) =1+ 8ln2, y′( 0) =14ln2. 3+ e− x 16.17. y′′ − 6y′ + 8y = 4e2x (1+ e−2x ), y(0) = 0, y′(0) = 0. 16.18. y′′ +16y =16 sin4x, y(π 8) = 3, y′(π 8) = 2π. 16.19. y′′ +16y =16 cos4x, y( 0) = 3, y′(0) = 0. 16.20. y′′ − 2y′ = 4e−2x (1+ e−2x ), y( 0) = ln4, y′(0) = ln4 − 2. 16.21. y′′ + y = 1 ctg(x 2), y(π ) = 2, y′(π ) =1 2. 4 4 16.22. y′′ − 3y′ + 2y =1 (2 + e− x ), y( 0) =1+ 3ln3, y′(0) = 5ln3. 16.23. y′′ + 3y′ + 2y = e−x ( 2 + ex ), y( 0) = 0, y′(0) = 0. 16.24. y′′ + 4y = 4 sin2x, y(π 4) = 2, y′(π 4) = π. 16.25. y′′ + 4y = 4 cos2x, y( 0) = 2, y′(0) = 0.
 16.26. y′′ + y′ = ex (2 + ex ), y(0) = ln27, y′(0) =1− ln9. 16.27. y′′ + y = 2ctg x, y(π 2) =1, y′(π 2) = 2. 16.28. y′′ − 3y′ + 2y =1 (1+ e−x ), y(0) =1+ 2ln2, y′(0) = 3ln2. 16.29. y′′ − 3y′ + 2y = ex (1+ e−x ), y(0) = 0, y′(0) = 0. 16.30. y′′ + y =1 sin x, y(π 2) =1, y′(π 2) = π 2. 16.31. y′′ + y =1 cos x, y(0) =1, y′(0) = 0.

VI. РЯДЫ

Теоретические вопросы

1.Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2.Теоремы сравнения.

3.Признаки Даламбера и Коши.

4.Интегральный признак сходимости ряда.

5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

7.Понятие равномерной сходимости.

8.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы

ряда.

12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14.Разложение по степеням x бинома (1+ x)m . 15.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням x функций ex , cos x, sin x, ln(1+ x).

Теоретические упражнения.

 ∞ ∞ ∞ 1. Ряды ∑an и ∑bn сходятся. Доказать, что ряд ∑cn сходится, если n=1 n=1 n=1 an ≤ cn ≤ bn .

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства 0 cn an bn an .

 ∞ ∞ 2. Ряд ∑an (an ≥ 0) сходится. Доказать, что ряд ∑an2 тоже сходится. n=1 n=1

Показать, что обратное утверждение неверно.

1

 ∞ ∞ ∞ 3. Ряды ∑an2 и ∑bn2 сходятся. Доказать, что ряд ∑ an bn тоже сходится. n=1 n=1 n=1 У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство ab ≤ a2 + b2 . ∞ ∞ ∞ 4. Ряды ∑an2 и ∑bn2 сходятся. Доказать, что ряд ∑(an + bn )2 тоже n=1 n=1 n=1 сходится. ∞ an 5. Пусть ряд ∑an сходиться и lim =1. Можно ли утверждать, что n=1 n→∞ b n

сходиться ряд bn ?

n=1

(1)n

Рассмотреть пример

n=1 n

 ∞ n и ∑ (−1) 1 + . n=1 n n

6. Пусть ряд fn (x) сходиться равномерно на отрезке [a, b]. Доказать, что

n=1

ряд fn (x) так же сходиться равномерно на этом отрезке.

n=1

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно, б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно? Рассмотреть примеры:

 ∞ (−1) n a) ∑ , отрезок [a, b] произвольный; n + x2 n=1 ∞ ( ) [ ] б) ∑ , отрезок x 1− x2 0, 1 . n=1 ∞ 8. Показать, что функция f (x) = ∑ sinnx всюду непрерывна. n n=1 10 ∞ sinn 2 x 9. Доказать, что ряд ∑ сходится равномерно в интервале (−∞, + ∞). 2 n=1 n

Можно ли его дифференцировать в этом интервале?

2

10. Доказать, что если ряд cn enx сходиться в точке x0 , то он сходиться

n=1

абсолютно x > x0 .

Расчетные задания. Задача 1. Найти сумму ряда.

 ∞ 6 1.1. ∑ . n=1 9n2 +12n − 5 ∞ 6 1.3. ∑ . 9n2 + 6n − 8 n=1 ∞ 2 1.5. ∑ . 4n2 + 8n + n=0 3 ∞ 3 1.7. ∑ . 9n2 + 3n − n=1 2 ∞ 1 1.9. ∑ . n2 + n − 2 n=2 ∞ 6 1.11. ∑ . 36n2 − 24n − 5 n=1 ∞ 4 1.13 ∑ . 4n2 + 4n − n=1 3 ∞ 9 1.15. ∑ . 9n2 + 3n − 20 n=1 ∞ 8 1.17. ∑ . n=1 16n2 − 8n −15 ∞ 5 1.19. ∑ . 25n2 + 5n − 6 n=1 ∞ 7 1.21. ∑ . 49n2 − 35n − n=1 6
 ∞ 24 1.2. ∑ . 9n2 −12n − 5 n=2 ∞ 9 1.4. ∑ . n=1 9n2 + 21n − 8 ∞ 14 1.6. ∑ . 49n2 − 28n − 45 n=1 ∞ 7 1.8. ∑ . n=1 49n2 − 7n −12 ∞ 14 1.10. ∑ . n=1 49n2 −14n − 48 ∞ 14 1.12 ∑ . 49n2 − 84n − n=1 13 ∞ 7 1.14 ∑ . 49n2 + 35n − 6 n=1 ∞ 14 1.16 ∑ . 49n2 − 42n − 40 n=1 ∞ 7 1.18. ∑ . n=1 49n2 − 21n −10 ∞ 6 1.20. ∑ . n=1 4n2 − 9 ∞ 1 1.22. ∑ . n=2 n2 + n − 2

3

 ∞ 12 1.23. ∑ . n=2 36n2 +12n − 35 ∞ 3 1.25 ∑ . 9n2 − 3n − 2 n=1 ∞ 8 1.27. ∑ . 16n2 + 8n − 15 n=1 ∞ 12 1.29. ∑ . n=1 36n2 −12n − 35 ∞ 14 1.31. ∑ . n=1 49n2 − 70n − 24

Задача 2. Найти сумму ряда.

 ∞ 4 − 5n 2.1. ∑ . n(n −1)(n − 2) n=3 ∞ 5n + 3 2.3. ∑ . n(n +1)(n + 3) n=1 ∞ 1 2.5. ∑ . n(n +1)(n + 3) n=1 ∞ 1 2.7. ∑ . n=1 n(n + 2)(n + 3) ∞ 3n − 2 2.9. ∑ . n(n +1)(n + 2) n=1 ∞ 5n − 2 2.11. ∑ . (n −1)n(n + 2) n=3 ∞ 3n + 2 2.13. ∑ . n(n +1)(n + 2) n=1 ∞ 8n −10 2.15. ∑ . (n −1)(n − 2)(n +1) n=3
 ∞ 7 1.24. ∑ . n=1 49n2 + 21n −10 ∞ 5 1.26. ∑ . 25n2 − 5n − 6 n=1 ∞ 14 1.28. ∑ . 49n2 − 56n − n=1 33 ∞ 7 1.30. ∑ . n=1 49n2 + 7n −12
 ∞ n + 6 2.2 ∑ . 3)(n + 2) n=1 n(n + ∞ 4n − 2 ∑n=3 2.4. . (n2 −1)(n − 2) ∞ 3n − 5 2.6. ∑n=3 . n(n2 −1) ∞ 1 2.8. ∑ . n=3 n(n2 − 4) ∞ n + 2 2.10. ∑ . n(n −1)(n − 2) n=3 ∞ 2 2.12. ∑ . (n + 2)(n +1)n n=1 ∞ n + 5 2.14. ∑n=3 . (n2 −1)(n + 2) ∞ 3n −1 2.16. ∑n=3 . n(n2 −1)

4

5n + 9
 ∞ n − 4 2.17. ∑ . 2.18. n(n −1)(n − 2) n=3 ∞ 5n − 2 2.19. ∑ . 2.20. (n −1)n(n + 2) n=2 ∞ 3n + 4 2.21. ∑ . 2.22. n(n +1)(n + 2) n=1 ∞ n + 6 2.23. ∑ . 2.24. n(n +1)(n + 2) n=1 ∞ 2.25. ∑n=2 1 . 2.26. n(n2 −1) ∞ 3n +1 2.27. ∑ . 2.28. (n −1)n(n +1) n=3 ∞ 4 2.29. ∑ . 2.30. n(n −1)(n − 2) n=3 ∞ 3n + 8 2.31. ∑ . n(n +1)(n + 2) n=1

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

n=1 n(n +1)(n + 3) .

 ∞ n −1 ∑n=1 . n(n +1)(n + 2) ∞ 2 − n ∑n=3 . n(n +1)(n + 2) ∞ n − 2 ∑n=3 . (n −1)n(n +1) ∞ 1− n ∑n=1 . n(n +1)(n + 3) ∞ 4 − n ∑n=1 . n(n +1)(n + 2) ∞ 3− n ∑n=1 . (n + 3)(n +1)n
 ∞ sin 2 n n 3.1. ∑ . n=1 n n ∞ cos 2 (nπ 2) 3.3. ∑ . n(n +1)(n + 2) n=1 ∞ 2 + (−1)n 3.5. ∑ . n=1 n − lnn ∞ n(2 + cosnπ ) 3.7. ∑ . n=1 2n2 −1
 ∞ n 2 + (−1) 3.2. ∑nsin . n=1 n3 ∞ lnn 3.4. ∑ . n=1 3 n7 1+ (−1)n ∞ arctg n 2 3.6. ∑ . n3 + 2 n=1 ∞ arcsin n −1 3.8. ∑ n . n=2 3 n3 − 3n

5

 ∞ 2 3.9. ∑ sin n . n=1 n2 +1 arccos (−1)n n ∞ n +1 3.11. ∑ . n=2 n2 + 2 ∞ nlnn 3.13. ∑ . n=2 n2 − 3 ∞ n 1 2 + (−1) 3.15. ∑ sin π . 4 n3 n=2 6 ∞ 1+ sinπ n 3.17. ∑ 2 . n2 n=1 (2 + cos nπ ∞ ) n 3.19. ∑ 2 . 4 n7 + 5 n=1 ∞ 2 n 3.21. ∑ sin 2 . 2 n=1 n ∞ 1 3.23. ∑ . n=3 n2 lnn + 3 ln2 n ∞ sin π 2n +1 3.25. ∑ . n=1 3 + sin π n n 4 ∞ 3+ (−1)n 3.27. ∑ . 2 n+2 n=1

arcctg(1)n

3.29. (2 + n2 ) .n=1 n

 ∞ ln n 2 + 3n 3.10. ∑ . n=2 n2 − n ∞ ncos 2 n 3.12. ∑ . n=1 n3 + 5 + 3 ∞ n 2 3.14. ∑n=1 . n3 ( 2 + sin(nπ 2)) ∞ lnn 3.16. ∑ . n=1 n3 + n +1 ∞ cos 2 π n 3.18. ∑ 3 . n=1 3n + 2 ∞ 2 + sin nπ 1 3.20. ∑ 4 ctg . n2 n=1 n ∞ lnn 3.22. ∑ . n=1 n5 + n 3 ∞ arctg n2 −1 3.24. ∑ π . n=1 n2 − n

2cos 2π

3.26. 3n .

n=2 4 n4 1

 ∞ arctg 2 + (−1)n 3.28. ∑ . ln(1+ n) n=1 arcsin 3+ (−1)n ∞ 4 3.30. ∑ . 2n + n n=1

6

n3 + 2

3.31. n=1 n2 sin2 n .

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

 ∞ 2 4.1. ∑ . 5n−1 + n −1 n=1 ∞ n 2 + 5 4.3. ∑ln . n=1 n2 + 4 ∞ 1 1 4.5. ∑ arctg . n − n=2 1 3 n −1 ∞ n 3 + 2 4.7. ∑ . n5 + sin2n n=1 ∞ 1 4.9. ∑ . n=1 n − cos2 6n ∞ 1 π 4.11. ∑ arctg . n=1 3 n 4 n ∞ 1 1 4.13. ∑ sin . n=2 3 n + 5 n −1 ∞ 1 (e1 −1). 4.15. ∑ n n + 3 n=1 ∞ 1 4.17. ∑ 3 narctg . n=1 n3 ∞ 4.19. ∑n3tg5 π . n=3 n ∞ π 4.21. ∑ 1 − cos . n=1 n ∞ (n3−1) n 4.23. ∑ e −1 . n=2
 ∞ 1 1 4.2. ∑ tg . n n=1 n ∞ 1 1 4.4. ∑ sin . n=1 n n 4.6. ∑∞ (n2 + 3)2 . n=1 n5 + ln4 n ∞ 2 n + cosn 4.8. ∑ . n=1 3n + sinn ∞ 1 1 4.10. ∑ sin . 5 n + 1 n=1 n ∞ 1 4.12. ∑ . n=1 n2 − lnn ∞ 1 n + 3 4.14 ∑ arctg . n=1 3 n + 2 n2 + 5 ∞ n 2 +1 4.16. ∑ln . n=1 n2 + n + 2 ∞ n 3 4.18. ∑ln . n=1 n3 + 1 ∞ n +1 4.20. ∑ . (3 −1)(n4 n3 −1) n=2 n ∞ 3 n 4.22. ∑sin . n5 + 2 n=1 ∞ 2n +1 4.24. ∑sin . n2 (n +1) 2 n=1

7