Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Кузнецов_математика

.pdf

Скачиваний:

408

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2719 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

z = 32(x2 + y2 )+ 3,

14.7.

z= 3− 64x.

z= 2 − 4(x2 + y2 ),

14.9.

z = 8x + 2.

z = 24(x2 + y2 )+1,

14.11.

z = 48x +1.

z = −16(x2 + y2 )−1,

14.13.

z = −32x −1.

z = 26(x2 + y2 )− 2,

14.15.

z= −52x − 2.

z= −2(x2 + y2 )−1,

14.17.

z= 4y −1.

z= 30(x2 + y2 )+1,

14.19.

z= 60y +1.

z= 2 −18(x2 + y2 ),

14.21.

z= 2 − 36y.

z= 22(x2 + y2 )+ 3,

14.23.

z= 3− 44y.

z= 4 − 6(x2 + y2 ),

14.25.

z=12y + 4.

z= 28(x2 + y2 )+ 3,

14.27.

z = 56y + 3.

z = 4 − 6 (x −1)2 + y2 ,
14.8.
z =12x − 8.
z = 22	(x −1)2	+ y2	+ 3,
14.10.
z = 47 − 44x.
z = 2 −18 (x +1)2 + y2 ,
14.12.
z = −36x − 34.
z = 30	(x +1)2	+ y2	+1,
14.14.
z = 60x + 61.
z = −2	(x −1)2	+ y2	−1,
14.16.
z = 4x − 5.
z = 26	(x −1)2	+ y2	− 2,
14.18.
z = 50 − 52x.
z = −16 (x +1)2 + y2 −1,
14.20.
z = −32x − 33.
z = 24	(x +1)2	+ y2	+1,
14.22.
z = 48x + 49.
z = 2 − 4 (x −1)2 + y			2 ,
14.24.
z = 8x − 6.
z = 32	(x −1)2	+ y2	+ 3,
14.26.
z = 67 − 64x.
z = 4 −14 (x +1)2 + y2 ,
14.28.

z = −28x − 24.

z = 2 − 20(x2 + y2 ),	z = 8	(x +1)2	+ y2	+ 3,
14.29.	14.30.
z = 2 − 40y.	z =16x +19.

z =10(x2 + y2 )+1,

14.31.

z =1− 20y.

Задача 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.

1≤ x2 + y2 + z2											≤ 49,							1≤ x2 + y2 + z2 ≤ 64,

15.1. −	x2	+ y2					≤ z ≤							x2		+ y2			x2 + y2								≤ z ≤						x2 + y2
																	,	15.2.																			,
		35														3	,	15.2.	15													3					,
		35														3			15													3
−x ≤ y ≤ 0.
−x ≤ y ≤ 0.																		− 3x ≤ y ≤ 0.
4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 64,																		4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 36,
15.3.																		15.4.
15.3.		x	2	+ y				2					x					15.4.					x	2			+ y		2										x
z ≤		x		+ y					,		−		x		≤ y ≤ 0.			z ≥ −					x				+ y				, 0 ≤ y ≤ −								x	.
				3							−															63

												3																				3
1≤ x2 + y2 + z2											≤ 36,							25 ≤ x2 + y2 + z2														≤100,
15.5.																		15.6.
15.5.		x	2	+ y				2										15.6.					x	2			+ y		2
z ≥		x		+ y						, − 3x ≤ y ≤ 3x.								z ≤ −					x				+ y			,					3x ≤ y ≤ − 3x.
z ≥			99							, − 3x ≤ y ≤ 3x.								z ≤ −								99				,					3x ≤ y ≤ − 3x.
			99																							99
1≤ x2 + y2 + z2											≤ 49,							25 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 49,

						x2		+ y2													x2	+ y2
15.7. 0 ≤ z ≤												,						15.8. −										≤ z ≤ 0,
15.7. 0 ≤ z ≤								24				,						15.8. −				24						≤ z ≤ 0,
								24														24
		x																y ≥ −				x			, y ≥ −											x.
y ≤ −		x			, y ≤ − 3x.																	x												3

																						3
			3																			3
4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 64,																		16 ≤ x2 + y2 + z2 ≤100,

15.9. −	x2	+ y2					≤ z ≤							x2		+ y2					x2 + y					2		≤ z ≤						x2 + y2
																	,	15.10.																				,
		35														3	,	15.10.																				,
		35														3			15													3
x ≤ y ≤ 0.
x ≤ y ≤ 0.																				3x ≤ y ≤ 0.

16 ≤ x2 + y2 + z2 ≤100,																											16 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 64,

																									15.12. z ≥ −														x2 + y2						,
15.11.
				x2 + y						2													x


z ≤												, − 3x ≤ y ≤ −													.														63
							3
																							3							x
																											−									≤ y ≤ −
																																														3x.



																															3
4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 49,																									36 ≤ x2 + y2 + z2																					≤121,
15.13.																							15.14.
15.13.				x	2		+ y			2													15.14.											x			2		+ y		2
z ≥				x			+ y					, y ≤ 0, y ≤ 3x.														z ≥ −								x					+ y				, y ≥ 0, y ≥ 3x.
z ≥					99							, y ≤ 0, y ≤ 3x.														z ≥ −													99				, y ≥ 0, y ≥ 3x.
					99																																		99
4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 64,																									36 ≤ x2 + y2 + z2																					≤144,

15.15. 0 ≤ z ≤								x2		+ y2																		x2				+ y2
														,										15.16. −																≤ z ≤ 0,
										24				,										15.16. −							24									≤ z ≤ 0,
										24																					24
y ≤					x, y ≤								x				.									y ≥							x, y ≥											x			.
			3										x																		3													x


										3																															3
9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 81,																															36 ≤ x2 + y2 + z2 ≤144,

	x2			+ y2															x2 + y2																			x2 + y2											x2	+ y2
15.17. −									≤ z ≤											,					15.18. −																					≤ z ≤					,
15.17. −			3						≤ z ≤					35						,					15.18. −																					≤ z ≤					,
			3											35																									3											35
0 ≤ y ≤ −x.
0 ≤ y ≤ −x.																															0 ≤ y ≤ − 3x.
36 ≤ x2 + y2 + z2															≤144,										36 ≤ x2 + y2 + z2																					≤100,

																																		x2					+ y		2
																																									2
15.19.			x2 + y							2											x			15.20. z ≥ −																		,


z ≤											,					3x ≤ y ≤						.																	63
							3
																				3						x		≤ y ≤

																																								3x.



																											3
9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 64,																									49 ≤ x2 + y2 + z2																					≤144,

15.21. z ≥				x2 + y						2	,													15.22. z ≤ −										x2					+ y		2	,
15.21. z ≥					99						,													15.22. z ≤ −															99			,
					99																																		99
y ≤		x				,		y ≤ −					x					.								y ≥			x						,				y ≥ −					x				.


			3											3																	3														3

9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 81,

15.23. 0 ≤ z ≤					x2		+ y2			,
15.23. 0 ≤ z ≤							24			,
							24
y ≤ 0,				y ≤			x		.

							3
							3
16 ≤ x2 + y2 + z2 ≤100,

	x2	+ y2									x2 + y2
15.25. −						≤ z ≤							,
15.25. −		3				≤ z ≤				35			,
		3								35
0 ≤ y ≤ x.
64 ≤ x2 + y2 + z2										≤196,
15.27.
15.27.		x	2	+ y			2			x
z ≤		x		+ y				,		x		≤ y ≤ 0.
				3
										3
										3
16 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 81,

15.29. z ≥		x2		+ y			2	,

				99
				99

y ≤ 0, y ≤ −3x.

16 ≤ x2 + y2 + z2 ≤100,

15.31. 0 ≤ z ≤	x2	+ y2
				,
		24		,
		24
y ≤ 0, y ≤		x	.

		3
		3

49 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 81,

15.24. −

+ y2

≤ z ≤ 0,

y ≥ 0,

y ≥

64 ≤ x2 + y2 + z2 ≤196,

+ y2

x2 + y2

15.26. −

≤ z ≤ −

0 ≤ y ≤ 3x.

64 ≤ x2 + y2 + z2

≤144,

15.28.

+ y

z ≥ −

, 0 ≤ y ≤

64 ≤ x2 + y2 + z2

≤169,

15.30. z ≤ −

+ y

y ≥ 0,

y ≥ −

3x.

Задача 16. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность.

Найти массу тела.

64(x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 = 4,

16.1. y = 0,

z = 0

(y ≥ 0,

z ≥ 0),

= 5(x2 + y2 ) 4.

x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =1,

(

)

x = 0

(

x ≥

)

16.2.

x2 + y2 ≤1 ,

;

= 4

x2 + y2 =1, x2 + y2 = 2z,

16.3. x = 0,

y = 0,

z = 0

(x ≥ 0,

y ≥ 0);

=10x.

x2 + y2 =

z2 , x2 + y2 =

16.4. x = 0,

y = 0,

(x ≥ 0,

y ≥ 0);

= 80yz.

x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4z2 ,

16.5. x = 0,

y = 0,

(x ≥ 0,

y ≥ 0,

z ≥ 0);

= 20z.

36(x2 + y2 )= z2 , x2 + y2 =1,

16.6. x = 0,

(

z = 0

(x ≥ 0,

z ≥ 0),

)

x2 + y2

x2 + y2 + z2 =16,

x2 + y2

= 4,

16.7.(x2 + y2 ≤ 4);

= 2 z .

x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 8z,

16.8. x = 0,

y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

= 5x.

x2 + y2 =

z2 , x2 + y2 =

16.9. x = 0,

y = 0, (x ≥ 0, y ≥ 0);

= 28xz.

x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = z2 ,

16.10. x = 0,

y = 0,

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0);

= 6z.

25(x2 + y2 )= z2 , x2 + y2 = 4,

x = 0,

y = 0,

z = 0

16.11. (x ≥ 0, y ≥ 0,

z ≥ 0),

= 2(x2 + y2 ).

x2 + y2 + z2 = 9, x2 + y2 = 4,

16.12. (x2 + y2 ≤ 4),

y = 0 (y ≥ 0);

x2 + y2 =1, x2 + y2 = 6z,

16.13. x = 0,

y = 0,

z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

= 90y.

x2 + y2 =

z2 , x2 + y2 =

16.14. x = 0,

y = 0,

(x ≥ 0, y ≥ 0);

=14yz.

x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 9z2 ,

16.15. x = 0,			y = 0,		(x ≥ 0,	y ≥ 0, z ≥ 0);
=10z.
9(x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 = 4,
x = 0,			y = 0,		z = 0
16.16. (x ≥ 0,			y ≥ 0,		z ≥ 0),
= 5(x2 + y2 ) 3.
x2 + y2 + z2 = 4,						)
16.17. x2 + y2			=1,	(	x2 + y2
						≤1 ;
=	z	.

x2 + y2 =1, x2 + y2 = z,
x = 0,			y = 0, z = 0,

16.18.(x ≥ 0, y ≥ 0);

=10y.

x2 + y2 = 1 z2 , x2 + y2 = 1 z,

	49		7
16.19. x = 0,	y = 0,	(x ≥ 0,	y ≥ 0);
=10xz.
x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 4z2 ,
16.20. x = 0,	y = 0,	(x ≥ 0,	y ≥ 0,	z ≥ 0);
=10z.
16(x2 + y2 )= z2 , x2 + y2 =1,
16.21. x = 0,	y = 0,	z = 0	(x ≥ 0,	y ≥ 0, z ≥ 0),

= 5(x2 + y2 ).

x2 + y2 + z2				=16,
16.22. x2 + y2			= 4	(x2 + y2		≤ 4);
=	z	.

x2 + y2			= 4, x2 + y2 = 4z,
16.23. x = 0, y = 0,					z = 0	(x ≥ 0,	y ≥ 0);
= 5y.
x2 + y2			= z2 ,		x2 + y2 = z,
16.24. x = 0, y = 0,					(x ≥ 0,	y ≥ 0);
= 35yz.
x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = z2 ,
16.25. x = 0, y = 0,					(x ≥ 0,	y ≥ 0,	z ≥ 0);
= 32z.
x2 + y2			= z2 , x2 + y2 = 4,
x = 0,			y = 0,		z = 0
16.26. (x ≥ 0,			y ≥ 0,		z ≥ 0),
= 5(x2 + y2 ) 2.
x2 + y2 + z2 = 9, x2 + y2 = 4,
16.27. (x2 + y2 ≤ 4),					z = 0	(z ≥ 0);
= 2z.
x2 + y2			=1, x2 + y2 = 3z,
x = 0, y = 0,					z = 0

16.28.(x ≥ 0, y ≥ 0);

=15x.

x2 + y2 = 4 z2 , x2 + y2 = 2 z,

	49		7
16.29. x = 0,	y = 0,	(x ≥ 0,	y ≥ 0);
= 20xz.
x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 = 9z2 ,
16.30. x = 0,	y = 0,	(x ≥ 0,	y ≥ 0, z ≥ 0);
= 5z.
4(x2 + y2 )= z2 , x2 + y2 =1,
16.31. y = 0,	z = 0	(y ≥ 0,	z ≥ 0),
=10(x2 + y2 ).

VIII. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Теоретические вопросы

1.Скалярное поле. Производная по направлению.

2.Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента.

3.Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл.

4.Формула Остроградского.

5.Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение дивергенции. Свойства дивергенции.

6.Соленоидальное поле, его основные свойства.

7.Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и физический смысл.

8.Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл.

9.Формула Стокса.

10.Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное определение ротора.

11.Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

12.Потенциальное поле. Условия потенциальности.

Теоретические упражнения

1. Найти производную скалярного поля u = u(x, y, z) по направлению градиента скалярного поля υ =υ (x, y, z).

2.Найти градиент скалярного поля u = Cr, где C — постоянный вектор, а r —

радиус-вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по отношению к вектору C?

3.Доказать, что если S — замкнутая кусочно-гладкая поверхность и C — ненулевой постоянный вектор, то

∫∫ cos( , )dS = 0,

n C

где n — вектор, нормальный к поверхности S .

4. Доказать формулу

∫∫ϕan0dS = ∫∫∫(ϕdiva + agradϕ )dV,

где ϕ = ϕ (x, y, z); S — поверхность, ограничивающая объем V ; n0 — орт внешней

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2719 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб75Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб408Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб526Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб175ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб63ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб56ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc