Добавил:

Vezen Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Кузнецов_математика

.pdf

Скачиваний:

408

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

2.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2726 27 > Следующая >>>

e′	= e + e		2	− 5e			,
1	1		2		3
e′	= (5 6)e − e					2	,
2				1		2
4.21.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		−6,			6}.
e′	= e + e		2	− 6e		3	,
1	1		2			3
e′	= (6 7)e − e					2	,
2				1		2
4.23.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		7, −7}.
e′	= e + e		2	− 7e			,
1	1		2			3
e′	= (7 8)e − e					2	,
2				1		2
4.25.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {3,		−8,			8}.
′	= e + e			+	(8 9)e					,
e	= e + e			+	(8 9)e					,
1	1		2						3
e′2 = −8e1 − e2 ,
4.27.
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {9,		9,			2}.
′	= e + e			+	(9 10)e						,
e	= e + e			+	(9 10)e						,
1	1		2							3
e′2 = −9e1 − e2 ,
4.29.
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {10,		10,			7}.
e′	= e + e		2	+11e			3	,
1	1		2				3
e′	= (11 10)e − e							2	,
2					1			2
4.31.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		10,			10}.

′	= e + e			+ (5 6)e							,
e	= e + e			+ (5 6)e							,
1	1		2							3
e′2 = −5e1 − e2 ,
4.22.
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {6,		6,				2}.
′	= e + e			+ (6 7)e							,
e	= e + e			+ (6 7)e							,
1	1		2							3
e′2 = −6e1 − e2 ,
4.24.
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {7,		7,				2}.
e′	= e + e		2	− 8e			3	,
1	1		2				3
e′	= (8 9)e			1	− e		2	,
2				1			2
4.26.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		−9,				9}.
e′	= e + e		2	− 9e			3	,
1	1		2				3
e′	= (9 10)e					− e			2	,
2				1					2
4.28.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {3,		−10,					10}.
e′	= e + e		2	+10e					3	,
1	1		2						3
e′	= (10 9)e − e								2	,
2					1				2
4.30.	= −e1 + e2 + e3,
e′3	= −e1 + e2 + e3,
x = {1,		9,			18}.

Задача 5.	Пусть	x = (x1,			x2 , x3 ).	Являются ли линейными следующие
преобразования:
Ax = (6x1 − 5x2 − 4x3, −3x1 − 2x2 − x3, x2 + 2x3 ),
5.1. Bx = (6 − 5x2 − 4x3,			3x1 − 2x2 − x3,			x2 + 2),
Cx = (x34 , 3x1 − 2x2 − x3, x2 + 2x3 ).
Ax = (5x1 − 4x2 − 3x3, 2x1 − x2 , x2 + 2),
5.2. Bx = (5x1 − 4x2 − 3x3,			0,		x24 + 2x3 ),
Cx = (5x1 − 4x2 − 3x3, 2x1 − x2 , x2 + 2x3 ).
Ax = (4x1 − 3x2 − 2x3, x1, x1 + 2x24 + 3x3 ),
5.3. Bx = (4x1 − 3x2 − 2x3,			x1,		x1 + 2x2 + 3x3 ),
Cx = (4x1 − 3x2 − 2x3, x1, x1 + 2x2 + 3).
Ax = (3x1 + 2x2 + x3, x3, 2x1 − 3x2 − 4x3 ),
5.4. Bx = (3x1 + 2x2 + x3,			1,	2x1 − 3x2 − 4),
Cx = (3x1 + 2x2 + x3, x3, 2x14 − 3x2 − 4x3 ).
Ax = (x1, x1 − 2x2 − 3, 4x1 − 5x2 − 6),
5.5. Bx = (x1,	x1 − 2x2 − 3x3,				4x14 − 5x2 − 6x3 ),
Cx = (x1, x1 − 2x2 − 3x3, 4x1 − 5x2 − 6x3 ).
Ax = (2x1 + x2 , x2 − 2x3, 3x1 − 4x22 − 5x3 ),
5.6. Bx = (2x1 + x2 ,		x2 − 2x3,			3x1 − 4x2 − 5x3 ),
Cx = (2x1 + x2 , x2 − 2, 3x1 − 4x2 − 5).
Ax = (x1, x1 + 2x2 + 3x3, 4x1 + 5x2 + 6x3 ),
5.7. Bx = (x1,	x1 + 2x2 + 3,			4x1 + 5x2 + 6),

Cx = (x1, x1 + 2x2 + 3x3, 4x14 + 5x2 + 6x3 ).

Ax = (3x1 − 2x2 − x3, 1, x1 + 2x2 + 3),

5.8. Bx = (3x1 − 2x2 − x3,		0,	x13 + 2x2 + 3x3 ),
Cx = (3x1 − 2x2 − x3, x3, x1 + 2x2 + 3x3 ).
Ax = (2x1 − x2 , x3, x1 + 2x2 + 3x34 ),
5.9. Bx = (2x1 − x2 , x3,		x1 + 2x2 + 3x3 ),
Cx = (2x1 − x2 , 1, x1 + 2x2 + 3).
Ax = (x3, 2x1 + 3x2 + 4x3, 5x1 + 6x2 + 7x3 ),
5.10. Bx = (x3,	2x1 + 3x2 + 4,			5x1 + 6x2 + 7),
Cx = (x3, 0, 5x14 + 6x2 + 7x3 ).
Ax = (6x1 − 5x2 − 4x3, 3x1 − 2x2 − x3, 0),
5.11. Bx = (6x1 − 5x2 − 4,		3x1 − 2x2 − x3, 0),
Cx = (6x1 − 5x2 − 4x3, 3x1 − 2x2 − x32 , 0).
Ax = (5x1 − 4x2 − 3, 2x1 − x2 , x32 ),
5.12. Bx = (5x1 − 4x2 − 3x3,			2x1 − x2 , 1),
Cx = (5x1 − 4x2 − 3x3, 2x1 − x2 , x3 ).
Ax = (4x1 − 3x2 − 2x3, x12 , x2 + 2x3 ),
5.13. Bx = (4x1 − 3x2 − 2x3,			x1,	x2 + 2x3 ),
Cx = (4x1 − 3x2 − 2, x1, x2 + 2).
Ax = (3x1 + 2x2 + x3, 0, x1 − 2x2 − 3x3 ),
5.14. Bx = (3x1 + 2x2 +1,		0,	x1 − 2x2 − 3),
Cx = (3x1 + 2x2 + x3, 0, x12 − 2x2 − 3x3 ).
Ax = (x1, x2 − 2x3, 3x1 − 4x2 − 5),
5.15. Bx = (x1,	x22 − 2x3,	3x1 − 4x2 − 5),

Cx = (x1, x2 − 2x3, 3x1 − 4x2 − 5x3 ).

Ax = (2x1 + x2 , x32 , 2x1 − 3x2 − 4x3 ),

5.16. Bx = (2x1	+ x2 ,	x3,	2x1 − 3x2 − 4x3 ),
Cx = (2x1 + x2 , x3, 2x1 − 3x2 − 4).
Ax = (x1, x2 + 2x3, 3x1 + 4x2 + 5x3 ),
5.17. Bx = (x1,	x2 + 2x3,		3x1 + 4x2 + 5),
Cx = (x1, x22 + 2x3, 3x1 + 4x2 + 5x3 ).
Ax = (3x1 − 2x2 −1, 0, x1 + 2x2 + 3x3 ),
5.18. Bx = (3x12 − 2x2 − x3,			0,	0),
Cx = (3x1 − 2x2 − x3, 0, x1 + 2x2 + 3x3 ).
Ax = (2x12 − x2 , x3, 2x2 + 3x3 ),
5.19. Bx = (2x1 − x2 ,		x3,	2x2 + 3x3 ),
Cx = (2x1 − x2 , x3, 2x2 + 3).
Ax = (0, x1 + 2x2 + 3x3, 4x1 + 5x2 + 6x3 ),
5.20. Bx = (0,	x1 + 2x2 + 3x3,			4x1 + 5x2 + 6),
Cx = (0, x12 + 2x2 + 3x3, 4x1 + 5x2 + 6x3 ).
Ax = (6x1 − 5x2 − 4x3, 3x1 − 2x2 − x3, x2 ),
5.21. Bx = (6x1 − 5x2 − 4,			3x1 − 2x2 − x3, x2 ),
Cx = (6x1 − 5x2 − 4x33, 3x1 − 2x2 − x3, 0).
Ax = (5x1 − 4x2 − 3, 2x1 − x2 , x1 + 2x2 + 3x3 ),
5.22. Bx = (5x1 − 4x2 − 3x33,			2x1 − x2 ,		x1 + 2x2 + 3x3 ),
Cx = (5x1 − 4x2 − 3x3, 2x1 − x2 , x1 + 2x2 + 3x3 ).
Ax = (4x1 − 3x23 − 2x3, x1 + x3, 0),
5.23. Bx = (4x1 − 3x2 − 2x3,			x1 + x3,		2x1 + 3x2 + 4x3 ),

Cx = (4x1 − 3x2 − 2, x1 + x3, 2x1 + 3x2 + 4x3 ).

Ax = (3x1 + 4x2 + 5x3, 6x1 + 7x2 + 8x3, 9x1 + x3 ),


5.24. Bx = (3x1 + 4x2 + 5,			6x1 + 7x2 + 8, 9x1 + x3 ),
Cx = (3x1 + 4x2 + 5x33, 6x1 + 7x2 + 8x3, 0).
Ax = (2x1 + 3x2 + 4, 5x1 + 6x2 + 7, 8x1 + x3 ),
5.25. Bx = (2x1 + 3x2 + 4x33,				5x1 + 6x2 + 7x3,			0),
Cx = (2x1 + 3x2 + 4x3, 5x1 + 6x2 + 7x3, 8x1 + x3 ).
Ax = (x13 + x3, 2x1 + 3x2 + 4x3, 0),
5.26. Bx = (x1 + x3,		2x1 + 3x2 + 4x3,				5x1 + 6x2 + 7x3 ),
Cx = (x1 +1, 2x1 + 3x2 + 4, 5x1 + 6x2 + 7x3 ).
Ax = (3x1 − 2x2 − x3, x2 + 2x3, 3x1 + 4x2 + 5x3 ),
5.27. Bx = (3x1 − 2x2 −1,			x2 + 2,		3x1 + 4x2 + 5x3 ),
Cx = (3x1 − 2x2 − x33, x2 + 2x3, 0).
Ax = (2x1 − x2 , x1 + 2x2 + 3, 4x1 + 5x2 + 6x3 ),
5.28. Bx = (2x1 − x23,		x1 + 2x2 + 3x3,				0),
Cx = (2x1 − x2 , x1 + 2x2 + 3x3, 4x1 + 5x2 + 6x3 ).
Ax = (x13 + 2x2 + 3x3, 4x1 + 5x2 + 6x3, 7x1 + 8x2 ),
5.29. Bx = (x1 + 2x2 + 3x3,				4x1 + 5x2 + 6x3,			7x1 + 8x2 ),
Cx = (x1 + 2x2 + 3, 4x1 + 5x2 + 6, 7x1 + 8x2 ).
Ax = (x2 + 2x3, 3x1 + 4x2 + 5x3, 6x1 + 7x2 + 8x3 ),
5.30. Bx = (x2 + 2,		3x1 + 4x2 + 5,			6x1 + 7x2 + 8x3 ),
Cx = (x23 + 2x3, 3x1 + 4x2 + 5x3, 6x1 + 7x2 + 8x3 ).
Ax = (x12 ,	x1 − x3,		x2 + x3 ),
5.31. Bx = (1,	x1 − x3,		x2 + x3 ),
Cx = (x1,	x1 − x3,		x2 + x3 ).

Задача	6.	Пусть	x ={x1, x2 , x3},
Bx ={x2 , 2x3,	x1}. Найти:

6.1. ABx.

6.4. B4 x.

6.7. (A2 + B2 )x.

6.10. B(2A− B)x.

6.13. (A− B)2 x.

6.16. (3A2 + B)x.

6.19. (2B − A2 )x.

6.22. (A(B + A))x.

6.25. 2(B + 2A2 + B2 )x.

6.28. (B(A+ B))x.

6.31. (B(2A+ B))x.

6.2. A2 x.

6.5. B2 x.

6.8. (B2 + A)x.

6.11. A(2B − A)x.

6.14. (B − 2A2 )x.

6.17. (A2 + B)x.

6.20. B3x.

6.23. (AB2 )x.

6.26. (B(A− B))x.

6.29. (A+ BA− B)x.

Ax ={x2 − x3, x1, x1 + x3},

6.3. (A2 − B)x.

6.6. (2A+ 3B2 )x.

6.9. BAx.

6.12. 2(AB + 2A)x.

6.15. BA2 x.

6.18. (A2 − B2 )x.

6.21. (B2 − 2A)x.

6.24. (A(B − A))x.

6.27. (B − A+ B2 )x.

6.30. (3B + 2A2 )x.

Задача 7. Найти матрицу в базисе (e′,										e′	,		e′), где
								1		2			3
	e1′ = e1 − e2 + e3, e2′ = −e1 + e2 − 2e3, e3′ = −e1 + 2e2 + e3 ,
если она задана в базисе (e1, e2 , e3 ).
	1		0	2			2		1			0			0 2			3
		3	−1	0				3		0		4				4	1	0
7.1.		3	−1	0	.	7.2.		3		0		4	.	7.3.		4	1	0	.
		1	1	−2				1		−1		2				2	−1	−2
		1	1	−2				1		−1		2				2	−1	−2
	1		2	0			2 0					1			0 3			2
		3	0		.			3		0		2				2	1
7.4.		3	0	−1	.	7.5.		3		0		2	.	7.6.		2	1	−1 .
		2	1					−1 1				2				0	−1	2
		2	1	−1				−1 1				2				0	−1	2

	1		3			0
	2		1
7.7.	2		1		−1 .
	0		2			1
	0		2			1
		1			1		0
		0		−1			1
7.10.		0		−1			1	.
		2			3		1
		2			3		1
		1			2		1
		0			2		0
7.13.		0			2		0	.
		−1			1		1
		−1			1		1
		1		1		3
		1		0		1
7.16.		1		0		1	.
		2		0		1
		2		0		1
		2			0		0
		1			−1		1
7.19.		1			−1		1		.
		−1			2		1
		−1			2		1
		0			0		1
		2			1
7.22.		2			1		−1 .
		−1			1		1
		−1			1		1
		2		0		1
		0		1
7.25.		0		1		−1 .
		1		1
		1		1		−1
		2			1		0
		1			0		1
7.28.		1			0		1	.
		1		−1			1
		1		−1			1
		0			1		1
		−1			0
7.31.		−1			0		1 .
		1			−1
		1			−1		1

	2		1	2
	3		0	2
7.8.	3		0	2		.
	1		0	1
	1		0	1
		2	1			1
		0	0			2
7.11.		0	0			2		.
		1	3
		1	3		−1
		1		1		2
		0		2		1
7.14.		0		2		1		.
		1	−1			0
		1	−1			0
		1		0		1
		0	−1			2
7.17.		0	−1			2		.
		3	−1			1
		3	−1			1
		1	1		0
		1	1		1
7.20.		1	1		1		.
		0	2		1
		0	2		1
		0		1		1
		0		2
7.23.		0		2		1 .
		−1		2
		−1		2		1
		2	0			1
		1	1			1
7.26.		1	1			1		.
		0	2
		0	2		−1
		2		1		0
		0		1
7.29.		0		1		−1 .
		−1		1		1
		−1		1		1

	0		1		2
	4		0		1
7.9.	4		0		1	.
	−1		−2		1
	−1		−2		1
		3	0		1
		1	−1		0
7.12.		1	−1		0		.
		2	1
		2	1		−1
		1	1	1
		2	0
7.15.		2	0	1 .
		0	1
		0	1	1
		1	0		2
		3	0
7.18.		3	0		−1 .
		1	−2		1
		1	−2		1
		0	1	1
		1	1	0
7.21.		1	1	0	.
		2	1	1
		2	1	1
		0	2	1
		0	3	2
7.24.		0	3	2		.
		1	1
		1	1	−1
		2	1		−1
		−1	3		1
7.27.		−1	3		1		.
		0	1		0
		0	1		0
		2	−1			0
		−1	0			1
7.30.		−1	0			1		.
		1	1
		1	1		−1

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора:

8.1.проектирования на ось Оx;

8.2.проектирования на плоскость z = 0;

8.3.проектирования на ось Oz;

8.4.зеркального отражения относительно плоскости Oyz;

8.5.проектирования на ось Oy;

8.6.проектирования на плоскость y = 0;

8.7.зеркального отражения относительно плоскости x − y = 0;

8.8.зеркального отражения относительно плоскости y + z = 0;

8.9.проектирования на плоскость y − z = 0;

8.10.проектирования на плоскость y = 3x;

8.11.проектирования на плоскость Oyz;

8.12.зеркального отражения относительно плоскости x − z = 0;

8.13.зеркального отражения относительно плоскости Oxy;

8.14.поворота относительно оси Ox на угол π2 в положительном направлении;

8.15.проектирования на плоскость x − y = 0;

8.16.проектирования на плоскость y + z = 0;

8.17.зеркального отражения относительно плоскости x + y = 0;

8.18.зеркального отражения относительно плоскости y − z = 0;

8.19.проектирования на плоскость x + y = 0;

8.20.проектирования на плоскость x − z = 0;

8.21.зеркального отражения относительно плоскости x + z = 0;

8.22.поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол π2;

8.23.проектирования на плоскость 3y + z = 0;

8.24.зеркального отражения относительно плоскости Oxz;

8.25.поворота в положительном направлении относительно оси Oy на угол π2;

8.26.проектирования на плоскость x + z = 0;

8.27.проектирования на плоскость y + 3z = 0;

8.28.проектирования на плоскость 3x + z = 0;

8.29.проектирования на плоскость 3x + y = 0;

8.30.поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол π4;

8.31.проектирования на плоскость x − 3z = 0;

Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

	4			−2		−1
	−1			3
9.1.	−1			3		−1 .
	1			−2		2
	1			−2		2
	5			−1		−1
	0			4
9.4.	0			4		−1 .
	0			−1		4
	0			−1		4
	2			0		−1
	1			1
9.7.	1			1		−1 .
	−1			0		2
	−1			0		2
		5		1		−1
		2		4
9.10.		2		4		−1 .
		−2 1				6
		−2 1				6
		3		−2		2
		0		3		0
9.13.		0		3		0	.
		0		2		1
		0		2		1
		7		−6		6
		4		−1		4
9.16.		4		−1		4	.
		4		−2		5
		4		−2		5
		7		2		−	2

		3		3			3
		3		3			3
9.19.			4		5	−	2	.
9.19.			3		3	−	3	.
			3		3		3

	0			0		1

	2		−1		0
	−1		2		0
9.2.	−1		2		0		.
	1		−1		1
	1		−1		1
	6		−2			−1
	−1		5
9.5.	−1		5			−1 .
	1		−2
	1		−2			4
	2		1		0
	1		2		0
9.8.	1		2		0	.
	−1		1		3
	−1		1		3
		5	−4			4
		2	1			2
9.11.		2	1			2	.
		2	0			3
		2	0			3
		5	−2			2
		0	5			0
9.14.		0	5			0	.
		0	2			3
		0	2			3
		7	−6			6
		2	3			2
9.17.		2	3			2	.
		2	2			3
		2	2			3

		3	0				0
		2	7						4
9.20.		2	7			−			4	.
9.20.						−				.
		3	3				3
		2		2			5
		2	−	2			5
			−	3
	3			3				3

	3		−1			1
	0		2
9.3.	0		2			−1 .
	0		−1			2
	0		−1			2
	3		1			−1
	2		2
9.6.	2		2			−1 .
	−2		1			4
	−2		1			4
	4		1			0
	1		4			0
9.9.	1		4			0	.
	−1		1			5
	−1		1			5
		3	−2				2
		2	−1				2
9.12.		2	−1				2	.
		2	−2				3
		2	−2				3
		7	−4				4
		2	3				2
9.15.		2	3				2	.
		2	0				5
		2	0				5
	13		2				−2
		6	9				−6
9.18.		6	9				−6				.
		2		−2				5
		2		−2				5

		5	0					0
		1	13							4
9.21.		1	13				−			4		.
9.21.							−					.
		3	3					3
		2			2			11
		2	−		2			11
			−
	3		3						3


	19 3		2 3 −2 3					4 1					−1				2		1 −1
		2		5	−2				2		3		−2					1	2
9.22.		2		5	−2	.	9.23		2		3		−2	.		9.24.		1	2	−1 .
		2 3	−2 3 11 3						1		−1		2					0
		2 3	−2 3 11 3						1		−1		2					0	0 1
	3 0			0				5 0					0				6		1 −1
		1 2								1	4							2	5	−2
9.25.		1 2		−1 .			9.26.			1	4		−1 .			9.27.		2	5	−2	.
		1 −1								1	−1		4					1	−1 4
		1 −1		2						1	−1		4					1	−1 4
		3		−2	−2			5 3				−2 3 −4 3
		−2 3	5 3		−2 3						0		1		0
9.28.		−2 3	5 3		−2 3	.	9.29.				0		1		0	.
		−2 3	2 3 −13 3							−2 3			2 3		7 3
		−2 3	2 3 −13 3							−2 3			2 3		7 3
	7 −4			−2				4 −3					−3
		−2	5	−2						1	2		1
9.30.		−2	5	−2	.		9.31.			1	2		1		.
		0	0 9							−1 1			2
		0	0 9							−1 1			2

Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом

Лагранжа.

10.1.x12 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2 x3 + 4x32.

10.2.4x12 + 4x1x2 + 8x1x3 − 3x22 + 4x32.

10.3.4x12 +8x1x2 + 4x1x3 + x32.

10.4.4x12 +8x1x2 + 4x1x3 + 3x22 − 2x32.

10.5.x12 + 4x1x2 + 4x1x3 + 3x22 + 4x2 x3 + x32.

10.6.x12 + 4x1x2 + 4x2 x3 + x32.

10.7.x12 + 2x1x2 + 2x1x3 −3x22 − 6x2 x3 − 2x32.

10.8.x12 + 4x1x2 + 2x1x3 + 3x22 + 2x2 x3 + x32.

10.9.x12 + 4x1x3 − x22 − 2x2 x3 + 4x32.

10.10.x12 + 2x1x2 + 2x1x3 + x32.

10.11.x12 + 4x1x2 + 4x1x3 +8x22 +12x2 x3 + 4x32.

10.12.4x12 + 4x1x2 +8x1x3 + 5x22 +8x2 x3 + 4x32.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2726 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
20.06.2014380.9 Кб75Доказательства по линейной алгебре.docx
#
20.06.20142.87 Mб408Кузнецов_математика.pdf
#
20.06.2014951.81 Кб526Ответы на вопросы к экзамену по математике (шпаргалки).doc
#
20.06.20142.31 Mб175ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №1.doc
#
20.06.2014380.42 Кб63ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №2.doc
#
20.06.2014539.14 Кб56ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №3.doc
#
20.06.20141.09 Mб65ТПУ Линейная алгебра 1курс ИДЗ №4.doc