11.3. Теория группирования

Проведем расчет, который позволит получить приближенное выражение для тока, питающего выходной резонатор. Идея расчета состоит в том, чтобы сначала определить, в какой момент времени t₂ электрон, пролетевший через первый резонатор в момент времени t₁, достигает выходного резонатора (точнее, плоскости у = s), а затем вычислить мгновенный ток i₂(t₂) как производную от пространствен­ного заряда q по времени.

Высокочастотные зазоры резонаторов имеют пространственную протяженность. Поэтому электроны затрачивают некоторое время на пролет через резонаторы. При средней скорости на пролет вход­ного зазора шириной d₁ затрачивается d_x/ , с, на пролет выходного шириной d₂ — соответственно d₂/ . В теории ПК момент пролета через резонатор принято соотносить с пересечением середины высо­кочастотного зазора. Именно так расположены отсчетные плоскости на рис. 11.2.

Скорость электронов, покидающих входной резонатор, определя­ется соотношением

(11.6)

Амплитуда возбуждения U_B заменена в (11.6) ее эквивалентным значением U_1э< U_v чтобы учесть изменение высокочастотного поля за то время, пока электрон пересекает зазор резонатора,

. (11.7)

Величину М₁ называют коэффициентом эффективности модуляции. Для зазора с сетками М₁ = sin , где = — угол про­лета электронов между сетками входного резонатора. Типичны значе­ния = /2... , рад, которым соответствуют М₁ = 0,90...0,64.

Введем коэффициент глубины модуляции равенством

/E_p. (11.8)

Положим для простоты <<1. В этом случае (11.6) преобразу­ется в выражение

, (11.9)

т. е. меняется по синусоидальному закону.

Зная скорость электрона можем определить момент пролета t₂ электроном выходного (второго) резонатора как

(11.10)

Здесь t₀ = s/ — среднее время пролета электронов между резонато­рами. При приближенной записи в (11.10) опять использовано усло­вие малости .

Умножая далее обе части (11.10) на круговую частоту со и вводя обозначения: = — угол пролета электронов между резонато­рами; Х= /2 — параметр группирования; = , получаем искомое соотношение

₂ = ₁,-Xsin ₁. (11.11)

Если электроны не оседают на сетках резонаторов и на поверх­ности трубки дрейфа (последнее обеспечивается хорошей магнитной или электростатической фокусировкой луча), то действует закон сохранения заряда. Аналитически он записывается как

(11.12)

где = i₁(t₁) = I₀ (поскольку в первый резонатор поступает немодулированный луч); dq₂ = i₂(t₂)dt₂. Отсюда конвекционный ток, поступающий во второй резонатор,

dt₂= (11.13)

Используя (11.11), находим окончательно

(11.14)

На рис. 11.6, а представлены графики импульсов конвекционного тока через второй резонатор при различных значениях параметра группирования X, полученные подсчетом количества электронов, пересекающих плоскость выходного зазора в момент . При X < 1 единственный на каждом периоде колебаний максимум мгновенного тока i_2м достигается в точках, где значение кратно 2 . При X 1 значение i_2м неограниченно возрастает, график тока приобретает раз­рыв. Разрывов становится два на период, если Х> 1.

Реально /_2м сохраняет конечное значение благодаря электростати­ческому расталкиванию электронов, в результате которого не проис­ходит формирование так называемых сгустков электронов с беско­нечно большой плотностью. Тем не менее острые пики импульсов тока конвекции являются характерной особенностью клистронов. Собственно, отсюда прибор и получил свое название («клизо» озна­чает по-гречески «морской прибой»).

Рис. 11.6. Импульсы конвекционного тока через выходной резонатор двухрезона-торного пролетного клистрона, рассчитанные с использованием линеаризации зависимости времени пролета электронов между резонаторами от u_B(i) (a), и уточненная форма импульса, найденная без использования линеаризации (б)

Согласно (11.14) форма импульсов тока конвекции полностью определена значением параметра группирования X = /2. Таким образом, в рамках изложенной приближенной теории степень группи­рования электронов в сгустки одинаково зависит от уровня напряже­ния на входном резонаторе и времени формирования сгустков. Более детальный анализ приводит к выводу, что максимальное усиление в ПК достигается, если время пролета электронов между резонаторами составляет два-три периода высокой частоты, т. е. при и 10.. .20 рад. Именно такие значения обычно используются на практике.

Отказ от линеаризации зависимости времени пролета электронов между резонаторами от u_B(t) приводит к заметной асимметрии формы импульса выходного тока (рис. 11.6, б), наблюдаемой в реаль­ных ПК. Это явление порождает зависимость фазы первой гармо­ники выходного тока ПК от уровня возбуждения.

Еще одно неявное допущение проведенного анализа — взаимная однозначность соответствия между и Это допущение справедливо

Рис. 11.7. К формированию конвекционного тока на выходе ПК при Х> 1

при X < 1. Однако при Х> 1 зависимость становится немонотонной (рис. 11.7, X = 3). Поэтому в один и тот же интервал времени d могут попасть электроны, пролетевшие через первый резонатор в разнесенных интервалах d , d , d .

Таким образом, в этой ситуации следовало бы вместо (11.13) писать

(11.15)

К счастью, пренебрежение этим обстоятельством мало влияет на конечные результаты.

Конвекционный ток i₂, пересекающий емкостный зазор выход­ного резонатора ПК, периодичен во времени, поэтому он может быть разложен в ряд Фурье в целях определения амплитуд гармонических составляющих. Выполняя необходимые математические процедуры (см. [4]), находим

J_n(nX), (11.16)

где п = 1,2,3, ... — номер гармоники; J_n(nX) — функция Бесселя первого рода порядка п. Сравнение относительного уровня первой и некоторых высших гармоник конвекционного тока (рис. 11.8) пока­зывает, что ПК в принципе может быть эффективен как умножитель частоты, поскольку максимум десятой гармоники лишь примерно вдвое меньше максимальной амплитуды основной составляющей.

Наведенный в резонаторе ток получается умножением амплитуды соответствующей составляющей тока конвекции на коэффициент М₂, аналогичный ранее введенному М₁ [см. (11.7)], т. е.

Рис. 11.8. Иллюстрация соотношения амплитуд гармоник конвекционного тока в пролетном клистроне

(11.17)

С учетом номера гармоники для зазора с сетками

(11.18)

где . Для дальнейшего анализа усилительного режима ПК стоит запомнить, что j₁(X) достигает максимума при X = 1,84; J₁(l,84) = J_1m = 0,583; первый нуль функции j₁(X) имеет место при Х=3,83.

Средняя крутизна ПК по первой гармонике определяется, как обычно, отношением Используя рис. 11.5 и формулу (11.17), находим:

. (11.19)

, (11.20)

где S₀ = у M_xM₂t₀G₀ — малосигнальная крутизна; G₀ - I₀/E_p — проводимость луча по постоянному току; — нелиней­ная поправка.

Оценим значение S₀. Пусть: М₁=М₂ = 0,8; I₀ = 100 мА; Е_р = 2 кВ. Тогда согласно (11.20) 0,3 мА/В, т. е. ПК обладает крохотной по сравнению с транзисторами крутизной.

Рис. 11.9. Зависимость нормированной средней крутизны ПК от параметра груп­пирования

График функции (Х) построен на рис. 11.9. Очевидно, что ПК имеет мягкую колебательную характеристику. При максимальном выходном токе первой гармоники усиление по напряжению состав­ляет 0,63 его значения на малом сигнале, т.е. снижается на 4 дБ.