7.2.2. Расчет частоты автоколебаний. Необходимое условие фазовой устойчивости стационарного режима

Расчет АГ обычно начинают с определения частоты автоколеба­ний. Если принять сделанные выше допущения и ограничиться ана­лизом автогенераторов без значительного запаздывания в кольце обратной связи, т.е. положить в (7.6), (7.13), (7.16) т = 0, то уравне­ние баланса фаз (7.16) можно записать в виде

(7.17)

Определение частоты автоколебаний f сводится к решению урав­нения (7.17) относительно f.

Получим такое решение сначала для одноконтурного АГ, т.е. такого, у которого есть единственная резонансная частота, вблизи которой может выполняться равенство (7.17). У таких АГ фазочас-тотная характеристика (ФЧХ) управляющего сопротивления в окрестности резонансной частоты f₀ имеет вид

(7.18)

где Q — добротность колебательного контура.

Предположим также, что АЭ выбран так, что фаза крутизны (φ_S< 0) по абсолютному значению много меньше единицы и практически не изменяется с изменением частоты в пределах полосы пропускания колебательного контура.

Рис. 7.3. Графическое решение уравнений балансов фаз для одноконтурного АГ (а) и для двухконтурного АГ с немонотонной ФЧХ (б)

Тогда уравнение (7.17) приводится к виду:

. (7.19)

Его графическое решение показано на рис. 7.3, а. Из рисунка видно, что из-за запаздывания фазы первой гармоники тока коллектора отно­сительно фазы входного напряжения АЭ (φ_s < 0) частота автоколеба­ний f несколько ниже резонансной частотыконтура f₀, причем разность (f₀ - f) тем меньше, чем меньше |φ_S| и круче ФЧХ управляющего сопротивления, т. е. чем выше добротность контура.

В этом случае решение уравнения (7.19) находится в явной форме и имеет вид

. (7.20)

Для того чтобы колебание с такой частотой существовало в тече-е длительного времени (стационарный режим), оно должно быть ойчиво по отношению к малым возмущениям, вызывающим отклонения от уравнений баланса фаз и баланса амплитуд. В реальных схемах такие возмущения существуют. Одним из факторов, привоящих к ним, является действие шумов АЭ.

Будем называть колебание в АГ устойчивым, если после сколь угодно малых отклонений сдвига фазы по кольцу обратной связи и амплитуды колебаний от их стационарных значений условия баланса таз и баланса амплитуд восстанавливаются и стационарный режим сохраняется.

Строгий анализ процессов в АГ, происходящих под действием возмущений, выполняется с использованием дифференциальных уравнений АГ. Изложение такого подхода выходит за рамки данного учебного пособия. С ним можно ознакомиться, например, по книгам [5, 18]. Однако ряд важных для практики признаков устойчивости и неустойчивости стационарных режимов излогается на качественном уровне в данном пособии. Для удобства часто рассматривают отде­льно условия фазовой устойчивости и амплитудной устойчивости.

Условие фазовой устойчивости считается выполненным, если после малых возмущений сдвига фаз по кольцу баланс фаз восста­навливается. В частности, если в результате возмущения к сдвигу фаз в уравнении (7.17) добавится приращение Аф₅, то для сохранения баланса фаз частота колебаний / должна измениться на А/ так, что новое уравнение примет вид

= 0.

Линеаризуя функции φ_s(f +∆f ) и φ_у(f+ ∆f) по малым прираще­ниям частоты, получаем равенство

∆φ_S= (7.21)

связывающее изменение частоты автоколебаний с вызвавшим их изменением сдвига фаз.

Если считать, что φ_s практически не зависит от частоты f, то для одноконтурного АГ в соответствии с (7.18)

(7.22)

Колебание в одноконтурном генераторе с частотой, определяемой из условия (7.17), при выполнении условий амплитудной устойчи­вости, как будет показано далее, является устойчивым. Поскольку условие (7.22) для заведомо устойчивого генератора выполняется, оно может рассматриваться как необходимое условие фазовой устой­чивости. Исследования показали, что условие (7.22) являемся необхо­димым условием устойчивости стационарного режима любого АГ. Если оно выполнено, то нужно проверить другие условия. Если нет — стационарный режим заведомо не может быть устойчивым.

На рис. 7 3, б показан пример ФЧХ одного из видов двухконтурных АГ. Уравнение баланса фаз (7.17) при такой ФЧХ выполняется на трех частотах: f₁,f₂ и f₃. На частотах f₁ и f₃ условие (7.22) выпол­нено, и на них возможны устойчивые колебания. Для них имеет смысл проверить другие условия устойчивости. На частоте f₂ усло-

вие (7.22) не выполнено, и устойчивых колебаний на этой частоте быть не может.

Отметим, что, как видно из (7.21), для АГ, удовлетворяющего условию (7.22), знак приращения частоты ∆f всегда совпадает со знаком звавшего его приращения сдвига фаз по кольцу обратной связи.